第13講二次函數(shù)圖象與性質(zhì)（講義）

第13講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點(diǎn)一二次函數(shù)的相關(guān)概念題型01判斷函數(shù)類型題型02判斷二次函數(shù)題型03已知二次函數(shù)的概念求參數(shù)值題型04利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式類型一一般式類型二頂點(diǎn)式類型三交點(diǎn)式考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型01根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)題型02將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式題型03二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)題型04利用五點(diǎn)法繪二次函數(shù)圖象題型05二次函數(shù)平移變換問題題型06已知拋物線對稱的兩點(diǎn)求對稱軸題型07根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值題型08根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值題型09根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求字母的取值范圍題型10根據(jù)二次函數(shù)的最值求字母的取值范圍題型11根據(jù)規(guī)定范圍二次函數(shù)自變量的情況求函數(shù)值的取值范圍題型12根據(jù)二次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍考點(diǎn)三二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系題型01根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號題型02二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號題型03二次函數(shù)、一次函數(shù)綜合題型04二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象綜合題型05兩個二次函數(shù)圖象綜合考點(diǎn)四二次函數(shù)與方程、不等式題型01求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)題型02求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)個數(shù)題型03拋物線與x軸交點(diǎn)問題題型04根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況題型05圖象法確定一元二次方程的近似根題型06求x軸與拋物線的截線長題型07圖象法解一元二次不等式題型08根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集題型09二次函數(shù)與斜三角形相結(jié)合的應(yīng)用方法

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測二次函數(shù)的相關(guān)概念通過對實(shí)際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義.二次函數(shù)作為初中三大函數(shù)中考點(diǎn)最多，出題最多，難度最大的函數(shù)，一直都是各地中考數(shù)學(xué)中最重要的考點(diǎn)，年年都會考查，總分值為1520分，預(yù)計(jì)2024年各地中考還會考.而對于二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的考察，也主要集中在二次函數(shù)的圖象、圖象與系數(shù)的關(guān)系、與方程及不等式的關(guān)系、圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等幾大方面.題型變化較多，考生復(fù)習(xí)時需要熟練掌握相關(guān)知識，熟悉相關(guān)題型，認(rèn)真對待該考點(diǎn)的復(fù)習(xí).二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)能畫二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)，知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對稱軸的關(guān)系.會求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應(yīng)自變量的值，能解決相應(yīng)的實(shí)際問題.二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系理解二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)與方程、不等式知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系，會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.考點(diǎn)一二次函數(shù)的相關(guān)概念二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中，x是自變量，a、b、c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：1）函數(shù)關(guān)系式是整式；2）自變量的最高次數(shù)是2；3）二次項(xiàng)系數(shù)a≠0，而QUOTEb?，??cb，c可以為零根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式的方法：1）先找出題目中有關(guān)兩個變量之間的等量關(guān)系；2）然后用題設(shè)的變量或數(shù)值表示這個等量關(guān)系；3）列出相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系式.二次函數(shù)的常見表達(dá)式：名稱解析式前提條件一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)當(dāng)已知拋物線上的無規(guī)律的三個點(diǎn)的坐標(biāo)時,常用一般式求其表達(dá)式.頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(或者是對稱軸)時，常用頂點(diǎn)式求其表達(dá)式.交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若題目已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)時，常用交點(diǎn)式求其表達(dá)式.相互聯(lián)系1）以上三種表達(dá)式是二次函數(shù)的常見表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.2)一般式化為頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，主要運(yùn)用配方法、因式分解等方法.二次函數(shù)的特殊形式：二次函數(shù)的特殊形式：1)當(dāng)b＝0時，y＝ax2＋c（a≠0）2)當(dāng)c＝0時，y＝ax2＋bx（a≠0）3)當(dāng)b＝0，c＝0時，y＝ax2（a≠0）題型01判斷函數(shù)類型【例1】（2022·北京·統(tǒng)考一模）線段AB=5．動點(diǎn)以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿線段AB運(yùn)動至點(diǎn)B，以線段AP為邊作正方形APCD，線段PB長為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為t，正方形APCD周長為y，⊙B的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系C．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【答案】C【分析】根據(jù)題意分別列出與，與的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：依題意：AP=t，BP=5t,故y=4t，S=（5t）2故選擇：C【點(diǎn)睛】本題考查了列函數(shù)表達(dá)式，正比例函數(shù)與二次函數(shù)的識別，根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2021上·北京海淀·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，動點(diǎn)M、N分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā)，點(diǎn)M從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個單位長的速度移動，點(diǎn)N從點(diǎn)C開始沿CB向點(diǎn)B以每秒2個單位長的速度移動．設(shè)運(yùn)動的時間為t，點(diǎn)M、C之間的距離為y，△MCN的面積為S，則A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【答案】D【分析】求出y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的類型進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意得，AM＝t，CN＝2t，∴MC＝AC?AM＝5?t，即y＝5?t，∴S＝12MC?CN＝5t?t2因此y是t的一次函數(shù)，S是t的二次函數(shù)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)，理解一次函數(shù)、二次函數(shù)的意義是正確解答的前提，求出y與t，S與t的函數(shù)關(guān)系式是正確判斷的關(guān)鍵．【變式12】（2023·北京·統(tǒng)考二模）如圖，某小區(qū)有一塊三角形綠地ABC，其中∠B=90°，AB=BC．計(jì)劃在綠地上建造一個矩形的休閑書吧PMBN，使點(diǎn)P，M，N分別在邊AC，BC，AB上．記PM=xm，PN=ym，圖中陰影部分的面積為Sm

A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系C．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【答案】A【分析】先求出∠A=∠C=45°，再證明△PCM【詳解】解：∵∠B∴∠A∵四邊形PMBN是矩形，∴∠PMB=∠PMC∴△PCM∴CM=∴PM+PM=∴y=-x∴S=∴y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的定義等等，正確求出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．題型02判斷二次函數(shù)【例2】（2023·山東濟(jì)寧·校聯(lián)考三模）以下函數(shù)式二次函數(shù)的是（

）A．y=ax2C．y=ax【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（【詳解】解：A、當(dāng)a=0時，yB、由y=2xC、該等式的右邊是分式，不是整式，不符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)錯誤；D、由原函數(shù)解析式得到y(tǒng)=應(yīng)選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，掌握定義，會根據(jù)定義進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A．y=x+13 B．y=【答案】C【分析】二次函數(shù)的解析式必須是含自變量的整式，二次項(xiàng)系數(shù)不為0．【詳解】解：A、y=B、y=ax2+C、y=3xD、y=3故選：C．【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義及條件：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的定義條件是：a、【變式22】（2023·廣東云浮·校考一模）關(guān)于x的函數(shù)y=a-A．a(chǎn)≠b B．a(chǎn)=b C．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，直接求解即可得到答案；【詳解】解：∵y=∴a-解得：a≠故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的條件，二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)不為0．判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)的方法：在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡、整理(去括號、合并同類項(xiàng))后，能寫成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則,它就不是二次函數(shù).題型03已知二次函數(shù)的概念求參數(shù)值【例3】（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）若y=m2+mA．-1 B．0 C．2 D．-1【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可，形如y=【詳解】解：y=m2+由m2-m=2可得由m2+m≠0可得綜上m故答案為：C【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，涉及了一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義．題型04利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式類型一一般式【例4】（2023·陜西西安·高新一中?？既＃┒魏瘮?shù)=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且ax-1013y-353①ac②當(dāng)x>1時，y的值隨x③4是方程ax④當(dāng)-1<xA．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法先求解拋物線的解析式為：y=-x2+3x+3；可得ac<0，可判①；根據(jù)函數(shù)的對稱軸為直線x=32，函數(shù)圖象開口向下，可得當(dāng)x≥32時，y的值隨x值的增大而減?。豢傻芒诓环项}意；由ax2+b【詳解】解：當(dāng)x=0時，y=3，則當(dāng)x=-1時，y=-1；當(dāng)則有a-∴a∴y①ac<0，故①②函數(shù)的對稱軸為直線x=∴當(dāng)x≥32時，y的值隨x③ax2+∴x=4或x=-3④ax∴x=3或x∴當(dāng)-1<x<3時，a故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)而作出準(zhǔn)確的判斷是解本題的關(guān)鍵．【變式41】（2023·天津河北·統(tǒng)考三模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（ax…--012…y…1m--n…且當(dāng)x=-12時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y>0，有下列結(jié)論：①abc<0；②-2和3是關(guān)于A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】①用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，得出a、b、c的值，即可判定①；②把x=-2，x=3代入ax2+③把x=-1，y=m，x=2，y=n，代入y=12【詳解】解：由表格可知：x=-2，y=1，x=0，y=-2，分別代入y=4a-2∴y=∴abc故①錯誤；把x=-2代入方程1左邊=12×∴左邊=右邊把x=3代入方程1左邊=12×∴左邊=右邊∴-2和3是關(guān)于x的方程ax故②正確；把x=-1，y=mm=把x=2，y=nn∴m故③錯誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，能夠從表格中獲取信息確定出對稱軸是解題的關(guān)鍵．【變式42】（2023·浙江·一模）已知二次方程x2+bx+c=0的兩根為-1A．當(dāng)x=2時，函數(shù)的最大值是9． B．當(dāng)x=-2時，函數(shù)的最大值是C．當(dāng)x=2時，函數(shù)的最小值是-9． D．當(dāng)x=-2【答案】C【分析】根據(jù)二次方程x2+bx+c=0的兩根為-1【詳解】解：∵二次方程x2+bx+c∴1-b解得b=-4∴二次函數(shù)y=∵1>0，∴當(dāng)x=2時，y有最小值，最小值為-故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是求函數(shù)解析式．類型二頂點(diǎn)式【例5】（2023·江西撫州·金溪一中?？寄M預(yù)測）一個二次函數(shù)的圖象與拋物線y=3x2的形狀相同，且頂點(diǎn)為1【答案】y=3x【分析】根據(jù)題意，可設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=±3x-h【詳解】解：∵一個二次函數(shù)的圖象與拋物線y=3∴可設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=±3∵該二次函數(shù)的頂點(diǎn)為1，∴該二次函數(shù)的解析式為y=±3∴該二次函數(shù)的解析式為y=3x2故答案為：y=3x2【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解圖象形狀相同的兩個二次函數(shù)其二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值相等是解題關(guān)鍵．【變式51】（2022上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），與y軸的交點(diǎn)為（0，m－2），則a的值為．【答案】－2【分析】利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=a(x－1)2+m，將（0，m－2）代入得：a+m=m－2，解得：a=－2，故答案為：－2．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法步驟，設(shè)為頂點(diǎn)式求解是解答的關(guān)鍵．類型三交點(diǎn)式【例6】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)-1,0、3,0【答案】3【分析】根據(jù)題意可得交點(diǎn)式y(tǒng)=ax-3【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2∴拋物線的解析式為y=把0,3代入得：-3a=3∴函數(shù)的解析式為y=-即y=-∴當(dāng)x=2時，y故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．【變式61】（2022·安徽宿州·?？寄M預(yù)測）已知拋物線y=ax2+bx+ca<0與x軸交于點(diǎn)（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）點(diǎn)M，N是拋物線上的兩個動點(diǎn)，且這兩個點(diǎn)之間的水平距離為定值s1≤s≤2，設(shè)h為點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)之和的最大值，則h【答案】1,47.5/15【分析】（1）先用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后化成頂點(diǎn)式，即可寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）先設(shè)出點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，然后表示出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，再求二次函數(shù)的最值，并結(jié)合s的取值范圍即可確定h的最大值．【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx∴設(shè)y=將點(diǎn)C(0,3)代入得：3=解得：a∴函數(shù)的表達(dá)式是：y化為頂點(diǎn)式：y∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4故答案為：1,4（2）如圖．

依據(jù)題意，點(diǎn)M、點(diǎn)N均在拋物線y=-故設(shè)點(diǎn)M則：h整理成關(guān)于t為自變量的二次函數(shù)得：h當(dāng)t=2-sh∵1≤s∴s=1時，h最大，此時此時t=2-故答案為：7.5【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的最大值求法．求二次函數(shù)解析式的一般方法：1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c.代入三個點(diǎn)的坐標(biāo)列出關(guān)于a,b,c的方程組，并求出a,b,c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式.2）頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k.根據(jù)頂坐標(biāo)點(diǎn)（h,k)，可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k,再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.3）交點(diǎn)式y(tǒng)=a(xx1)(xx2).當(dāng)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為(x1,0)、(x2,0)時，可設(shè)y=a(xx1)(xx2)，再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象特征二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).基本形式y(tǒng)=ax2y=ax2+ky=a(xh)2y=a(xh)2+ky=ax2+bx+c圖象a>0a<0對稱軸y軸y軸x=hx=hx=-頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(-b2a最值a>0開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時y有最小值；a<0開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時y有最大值.【小結(jié)】二次函數(shù)最小值(或最大值)為0（k或4ac-增

減

性a>0在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大.a<0在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小.二、二次函數(shù)的圖象變換1）二次函數(shù)的平移變換平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(xh+n)2+k左加向右平移n個單位y=a(xn)2+b(xn)+cy=a(xhn)2+k右減向上平移n個單位y=ax2+bx+c+ny=a(xh)2+k+n上加向下平移n個單位y=ax2+bx+cny=a(xh)2+kn下減2）二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(xh)2+k繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=a(xh)2+ka變號，h、k均不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=a(x+h)2ka、h、k均變號沿x軸翻折y=a(xh)2ka、k變號，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號三、二次函數(shù)的對稱性問題拋物線的對稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：1）求一個點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；2）已知拋物線上兩個點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，求其對稱軸.解此類題的主要根據(jù)：若拋物線上兩個關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y)，(x2，y)，則拋物線的對稱軸可表示為直線x=x1解題技巧：1.拋物線上兩點(diǎn)若關(guān)于直線，則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與x=-b22若二次函數(shù)與x軸有兩個交點(diǎn)，則這兩個交點(diǎn)關(guān)于直線x=-b2a3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2bx+c的圖象關(guān)于y軸對稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2bxc的圖象于x軸對稱.四、二次函數(shù)的最值問題自變量取值范圍圖象最大值最小值全體實(shí)數(shù)a>0當(dāng)x=-b2a<0當(dāng)x=-b2x1≤x≤x2a>0當(dāng)x=x2時，二次函數(shù)取得最大值y2當(dāng)x=-b2當(dāng)x=x1時，二次函數(shù)取得最大值y1當(dāng)x=-b2當(dāng)x=x2時，二次函數(shù)取得最大值y2當(dāng)x=x1時，二次函數(shù)取得最小值y1備注：自變量的取值為x1≤x≤x2時，且二次項(xiàng)系數(shù)a<0的最值情況請自行推導(dǎo).11.拋物線的增減性問題，由a的正負(fù)和對稱軸同時確定，單一的直接說，y隨x的增大而增大(或減小)是不對的，必須附加一定的自變量x取值范圍.2.拋物線在平移的過程中，a的值不發(fā)生變化，變化的只是頂點(diǎn)的位置，且與平移方向有關(guān).3.涉及拋物線的平移時，首先將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k的形式，因?yàn)槎魏瘮?shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，因此可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式.題型01根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)【例1】（2022·廣東江門·鶴山市沙坪中學(xué)?？寄M預(yù)測）關(guān)于二次函數(shù)y=A．圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)B．圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0C．圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為-2,0和D．y的最小值為-【答案】D【分析】把二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以判斷各個選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=∴該函數(shù)的對稱軸是直線x=-1，在y軸的左側(cè)，故選項(xiàng)A當(dāng)x=0時，y=-8，即該函數(shù)與y軸交于點(diǎn)0，當(dāng)y=0時，x=2或x=-4，即圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為2,0和-當(dāng)x=-1時，該函數(shù)取得最小值y=-9，故選項(xiàng)故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2022·福建龍巖·校考模擬預(yù)測）若A-6,y1，B-3,y2，C1,y3A．y3<y2<y1 B．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸為y軸，根據(jù)對稱性可得x=-1時的函數(shù)值與x=1時的函數(shù)值相等，等于y3，由解析式可知a=1>0開口向上，則x<0時，y隨x的增大而減小，即可判斷y【詳解】解：由二次函數(shù)y=x2-m即x=-1時的函數(shù)值與x=1時的函數(shù)值相等，等于當(dāng)x<0時，y隨x∵-6<-3<-1∴y3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式12】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）下列關(guān)于拋物線y=x2①開口方向向上；②對稱軸是直線x=-4；③當(dāng)x<-2時，y隨x的增大而減??；④當(dāng)x<-5或xA．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】將解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而判斷①②③，令y=0，得出與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷④【詳解】解：∵y=x∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-2，當(dāng)x<-2時，y隨故①正確，②錯誤，③正確；令y=0，即x解得：x1=1，∴拋物線開口向上，與x軸交于1,0，-5,0∴當(dāng)x<-5或x>1時，故④正確，綜上所述，正確的有：①③④，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【變式13】（2022·湖北武漢·校考三模）拋物線y=ax-h2+k（a、h、k是常數(shù)，a<0，0<h<12）過點(diǎn)A-1,0．下列四個結(jié)論：①k<0；②該拋物線經(jīng)過點(diǎn)2h+1,0；③一元二次方程ax【答案】②③④【分析】根據(jù)題意，畫出二次函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想求解．【詳解】解：根據(jù)題意，拋物線拋物線y=對稱軸是直線x=h，過點(diǎn)A

①：根據(jù)圖象可知：k>0，所以②：根據(jù)拋物線的對稱性可知，拋物線也過點(diǎn)2h+1,0，所以③：一元二次方程ax-h2+k根據(jù)題意和圖象可知，有一個交點(diǎn)在1和2之間．所以③是正確的；④：根據(jù)圖象可知，y1∴y所以④是正確的．故正確結(jié)論為：②③④．【點(diǎn)睛】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【變式14】（2023·江蘇南京·?？既＃┮阎組=a2①M(fèi)的值可能為4；②當(dāng)a>1時，M的值隨a③當(dāng)a為小于0的實(shí)數(shù)時，M的值大于0；④不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得M的值小于-1其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的知識，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，依次判斷，即可．【詳解】①當(dāng)M=4∴M=解得：a1=1+5∴M的值可能為4，∴①正確；②設(shè)函數(shù)的解析式為：M=a∴對稱軸為：x=-∴當(dāng)a>1，函數(shù)M隨a∴②正確；③同理，當(dāng)x<1，函數(shù)M隨a∴當(dāng)a<0時，函數(shù)M在y軸是上方，即M∴③正確；④設(shè)函數(shù)的解析式為：M=a∴當(dāng)a=1時，函數(shù)M有最小值，最小值為：∴無論a取任何數(shù)，M∴④正確；綜上所述：正確的為：①②③④故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，實(shí)數(shù)的性質(zhì)．題型02將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式【例2】（2022·廣東湛江·統(tǒng)考一模）將二次函數(shù)y=x2A．y=x+4C．y=x+2【答案】B【分析】用配方法將拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即得答案．【詳解】解：yyy故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的一般式y(tǒng)=【變式21】（2023·湖南長沙·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校校考三模）關(guān)于二次函數(shù)y=-x2A．最小值為1 B．最小值為2 C．最大值為3 D．最大值為-【答案】C【分析】將二次函數(shù)解析式一般式化為頂點(diǎn)式即y=-【詳解】解：∵二次函數(shù)的解析式為y=-∴y=-∵a=-1<0∴y=-x2故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式22】（2023·浙江溫州·?？既＃佄锞€y=x2-2ax+【答案】3【分析】首先求出拋物線y=x2【詳解】解：y=∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為a,-∵拋物線y=x2∴a,-a2∴-∴b∵1>0，∴拋物線開口向上，∴當(dāng)a=1時，b有最小值3故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．【變式23】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）若拋物線y=-x2+4x-n【答案】n>4/【分析】先將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，再利用頂點(diǎn)在x軸下方，即可求出n的范圍．【詳解】解：y=-化為頂點(diǎn)式為：y=-∵4-n∴n故答案為：n>4【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的頂點(diǎn)式解析式，解題關(guān)鍵是理解當(dāng)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于0時，頂點(diǎn)位于x軸下方．【變式24】（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=(1)用配方法將函數(shù)y=-x(2)設(shè)該函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)記作D，求四邊形ADBC的面積．【答案】(1)y=-x-22(2)4．【分析】（1）利用配方法把二次函數(shù)的一般形式改寫成頂點(diǎn)式，即可得到函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）令x=0求出與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0求出與本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握配方法和頂點(diǎn)式的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題意得：y=-∴對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)2,1（2）根據(jù)題意畫圖，令x=0，則y∴點(diǎn)C0,-3，則OC令y=0，則-x2+4x∴A1,0，B∴AB=2由（1）得：D2,1∴S四邊形=1=4．題型03二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)【例3】（2022·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若二次函數(shù)y=a2x2+bx-c的圖象過不同的六點(diǎn)A-1,n，B5,n-1，A．y2<y1<y3 B．【答案】B【分析】由二次項(xiàng)系數(shù)可知，拋物線開口向上，由點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A'x1,n的橫坐標(biāo)x1須滿足5<x1<6得到y(tǒng)2>【詳解】由二次項(xiàng)系數(shù)可知，拋物線開口向上，∵A-1,n，B∴點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A'x1,∴拋物線對稱軸x=x0∴y2又點(diǎn)E到對稱軸距離小于52-2<1.5，點(diǎn)∴y1從而y1故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知a、b(0<a<b)為拋物線y=(xA．b-a B．a(chǎn)-b C．a(chǎn)-【答案】A【分析】由題意可作二次函數(shù)圖象，當(dāng)x=c時，y=-2<0【詳解】解：由題意可作如圖：

當(dāng)x=c時，由圖可知：a<則|a則|a-c故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、化簡絕對值，根據(jù)題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式32】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知二次函數(shù)y=mxA．當(dāng)m=1時，函數(shù)圖象的對稱軸是yB．當(dāng)m=2C．當(dāng)m>0D．如果m<0，當(dāng)x>12時，【答案】D【分析】A、把m=1代入解析式，判斷即可；B、把m=2代入解析式，判斷即可；C、當(dāng)m>0時，開口向上，判斷最值即可；D、當(dāng)m<0時，可知對稱軸在【詳解】解：A、m=1時，y=x2+1B、m=2時，y=2x2-x，x=0C、m>0時，即二次函數(shù)開口向上，所以有最小值，故CD、m<0時，對稱軸為直線x=-1-m2m>0，即對稱軸在y故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．【變式33】（2023·浙江杭州·校考二模）已知拋物線y=ax2+A．若m>2時都有n>B．若m>1時都有n<C．若m<0時都有n>D．若m<0時都有n<【答案】C【分析】根據(jù)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，可求得拋物線的對稱軸為直線【詳解】解：∵拋物線y=ax2+∴拋物線的對稱軸為直線x=對于A選項(xiàng)，若m>2∴2-m又n>∴此時，y隨x的增大而減?。鄴佄锞€開口向上．∴a>0，故A對于B選項(xiàng)，若m>1∴0<1<m此時0,c關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)為2,若n<∴a>0或a∴選項(xiàng)B不符合題意．若m<0∴m<0<1又n>∴此時，y隨x的增大而減?。鄴佄锞€開口向上．∴a>0，故C若m<0∴m<0<1又n<∴此時，y隨x的增大而增大．∴拋物線開口向下．∴a<0，故D故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時需要熟練掌握并靈活運(yùn)用．【變式34】（2022·福建福州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,yA．若x1-xB．若x1-C．若y1>yD．若y1>【答案】D【分析】先將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，然后得到函數(shù)的頂點(diǎn)即為點(diǎn)B，再由a的正負(fù)分情況討論，得到y(tǒng)之間的大小關(guān)系．【詳解】解：∵y=-∴函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,32a當(dāng)a>0時，拋物線開口向下，則當(dāng)x越靠近3時，y∴當(dāng)|x1-當(dāng)|x1-當(dāng)a<0時，拋物線開口向上，則當(dāng)x越靠近3時，y∴當(dāng)|x1-故選項(xiàng)A，B無法確定，不符合題意；當(dāng)y1>y3≥y2時，y2是最小值，此時∴|x1-x2|>|故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知由拋物線的開口方向和點(diǎn)到對稱軸的距離大小決定對應(yīng)y值的大小是解題關(guān)鍵．題型04利用五點(diǎn)法繪二次函數(shù)圖象【例4】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）請結(jié)合圖像完成下列問題：(1)請?jiān)趫D中畫出函數(shù)：y=

(2)結(jié)合圖像直接寫出方程：x+4=-x+6(3)在圖中畫出函數(shù)y=x2-2

【答案】(1)作圖見解析(2)x(3)x=0或x=-3或【分析】（1）先列表、然后描點(diǎn)、再連線即可得出函數(shù)圖象；（2）作出一次函數(shù)y=-x+6（3）先列表、然后描點(diǎn)、再連線即可得出函數(shù)圖象；方程x2-4x+3=x+3【詳解】（1）解：列表：x…--0510…y…1494914…描點(diǎn)，連線，如圖所示：

（2）解：如圖，一次函數(shù)y=-x+6與函數(shù)y∴方程x+4=-x+6故答案為：x=1

（3）解：列表：x…---0123…y…7434347…描點(diǎn)，連線：

方程x2-4如圖，函數(shù)y=x2-2x+4的圖象與函數(shù)y=2∴方程x2-2x+4=2x+即方程x2-4x+3=x+3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象求方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)圖象的作圖方法，數(shù)形結(jié)合．【變式41】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）已知，拋物線y=2(1)列表，描點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=2

(2)將y=2x2-4的圖象【答案】(1)見解析(2)y【分析】（1）采用“五點(diǎn)作圖”法即可求解；（2）左右平移改變自變量的值：左加右減；上下平移改變因變量的值：上加下減．據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：列表如下：--0124---4圖象如圖所示：

（2）解：將y=2x2-4可得：y即：y【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及平移．掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律是關(guān)鍵．【變式42】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在初中函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)并對其性質(zhì)進(jìn)行應(yīng)用的過程．小麗同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對函數(shù)y=x2(1)作圖探究：①下表是y與x的幾組對應(yīng)值：x…---2-01234…y…830m0-10n8…m=___________，n=②在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象：

(2)深入思考：根據(jù)所作圖象，回答下列問題：①方程x2-2|②如果y=x2-2x的圖象與直線y=(3)延伸思考：將函數(shù)y=x2【答案】(1)①-1；3；②(2)①x=-2或x=0或x=2；(3)將函數(shù)y=x2-2x的圖象向左平移【分析】（1）①把x=-1與x（2）①根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到答案；②根據(jù)函數(shù)圖象可得答案；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)則：左加右減，上加下減，可得答案.【詳解】（1）解：①當(dāng)x=-1當(dāng)x=3時，n答案為：-1；3②描點(diǎn)，連線，該函數(shù)的圖象如圖，

（2）①由函數(shù)圖象可得方程x2-2|x|=0的解是x②根據(jù)y=x2-2x的圖象與直線y=答案為：①x=-2或x=0或x=2；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)則可得：將函數(shù)y=x2-2x的圖象向左平移【點(diǎn)睛】本題考查的是求解函數(shù)的函數(shù)值，畫二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)圖象的平移，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.題型05二次函數(shù)平移變換問題【例5】（2022·上海崇明·統(tǒng)考二模）將拋物線y=2x2向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得新拋物線和原拋物線相比，不變A．對稱軸 B．開口方向 C．和y軸的交點(diǎn) D．頂點(diǎn)．【答案】B【分析】求出平移后的拋物線，再比較對稱軸，頂點(diǎn)，開口方向，與y軸交點(diǎn)，進(jìn)而求解．【詳解】y=2x2的對稱軸為y軸，開口向上，與y軸交點(diǎn)（0，0將拋物線y=2x2向右平移1個單位，再向上平移∴平移后對稱軸為x=1，開口向上，與y軸交點(diǎn)（0，4），頂點(diǎn)（1,2∴開口方向不變故選：B【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律．【變式51】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）將拋物線y=x2A．向左平移3個單位長度B．向右平移3個單位長度C．先向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度D．先向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度【答案】D【分析】拋物線y=x2-4x+5【詳解】解：拋物線y=x2-4①頂點(diǎn)2,1向左平移3個單位長度得到點(diǎn)-1,1，故A②頂點(diǎn)2,1向右平移3個單位長度得到點(diǎn)5,1，故B錯誤．③頂點(diǎn)2,1先向左平移3個單位長度再向上平移1個單位長度得到點(diǎn)-1,2，故C④頂點(diǎn)2,1先向右平移3個單位長度再向下平移1個單位長度得到點(diǎn)5,0，故D正確．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，求得平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中將拋物線y=ax2-4axA．將拋物線向上平移2個單位 B．將拋物線向下平移2個單位C．將拋物線向上平移4個單位 D．將拋物線向下平移4個單位【答案】C【分析】根據(jù)解析式求得原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為-2,-4，根據(jù)題意可得將原拋物線的頂點(diǎn)-2,-4向上平移4個單位即可使得平移后的拋物線的頂點(diǎn)-2,0【詳解】∵拋物線y=∴原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為-2,-4∵將拋物線沿y軸平移，平移后的拋物線的頂點(diǎn)恰好落在x軸上，∴平移后拋物線的縱坐標(biāo)為0，∴將原拋物線的頂點(diǎn)-2,-4向上平移4個單位即可使得平移后的拋物線的頂點(diǎn)-2,0恰好落在∴平移方式為將拋物線向上平移4個單位．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式53】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)校考一模）將拋物線y=-x2+aA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)平移規(guī)律得到平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合a的取值范圍判斷新拋物線的頂點(diǎn)所在的象限即可．【詳解】解：∵y=-∴該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是a+1將其向下平移2個單位，得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是a+1∵a>1∴a+1>2，則a+1a+∴平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是a+1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)等知識；熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式54】（2022·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將拋物線y=ax2-2ax+1平移，使得平移后的拋物線與A．向上平移2個單位 B．向下平移2個單位C．向上平移1個單位 D．向下平移1個單位【答案】D【分析】設(shè)平移方式為向上平移c個單位，平移后的拋物線解析式為y=ax2-2ax+1+c，設(shè)交點(diǎn)A為x1,0，交點(diǎn)B為x2,0，則x【詳解】解：設(shè)平移方式為向上平移c個單位，若解得c為負(fù)值，則為向下平移-c平移后的拋物線解析式為y=設(shè)交點(diǎn)A為x1,0，交點(diǎn)B為則x1，x2為∴x1+x則AB=即：22∴1+c∴c=-1，即：向下平移1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．題型06已知拋物線對稱的兩點(diǎn)求對稱軸【例6】（2023·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測）已知二次函數(shù)y=ax-h2A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式得到拋物線的對稱軸為直線x=h,由于A、B的縱坐標(biāo)都是2，求得對稱軸為直線x=4，即可得出【詳解】由解析式可知拋物線的對稱軸為直線x∵點(diǎn)A0，∴對稱軸為直線x=∴h=4故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．解題的關(guān)鍵是利用對應(yīng)值確定對稱軸，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【變式61】（2022·廣東江門·鶴山市沙坪中學(xué)?？寄M預(yù)測）如果拋物線y=ax2+【答案】直線x【分析】二次函數(shù)y=ax2+【詳解】解：由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過故答案為：直線x=【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的軸對稱性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，理解二次函數(shù)的軸對稱性是解題的關(guān)鍵．【變式62】（2023·福建福州·校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c過點(diǎn)m+1,m，3-m,m，直線y=【答案】2.5【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出對稱軸，可得一次項(xiàng)系數(shù)，聯(lián)立兩個函數(shù)解析式得到一個一元二次方程，根據(jù)中點(diǎn)公式與根與系數(shù)的關(guān)系直接求解即可．【詳解】∵二次函數(shù)y=x2+bx∴對稱軸x=解得b=-4，則y∵直線y=x+3與拋物線交于A∴y=x2∵取AB中點(diǎn)C，∴C的橫坐標(biāo)為x1故答案為：2.5【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是先通過對稱性求出對稱軸，然后通過聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，最終通過中點(diǎn)公式求出中點(diǎn)橫坐標(biāo)．題型07根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值【例7】（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A1,4關(guān)于拋物線y=a(x【答案】-【分析】先求出拋物線的對稱軸，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵y=a(∴A關(guān)于x=-2的對稱點(diǎn)為：故答案為：-5,4【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式71】（2023·湖南衡陽·統(tǒng)考一模）如果三點(diǎn)P1(1,y1)，P2(3,y2)和P3(4,y3【答案】y2>【分析】先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較即可．【詳解】解：∵拋物線y=-x2∴當(dāng)x>3時，y隨x的增大而減小，P1(1,y1∵3<4<5，∴y故答案為：y2【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【變式72】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)-3,y1A．m<-3 B．m<1 C．m>1【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出m的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為m,∴拋物線對稱軸為x=∵拋物線y=ax2+bx+∴-∴m故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，準(zhǔn)確找到對稱軸，利用對稱軸表示出-3+5【變式73】（2023·浙江寧波·?？级＃┮阎c(diǎn)Ax1，y1，Bx2，y2在拋物線A．y1>y2>m B．y【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=-(x-4)2+m的開口向下，有最大值為m，對稱軸為直線x=4，根據(jù)x1<4<x2，x1+【詳解】解：∵y=-∴a=-1<0∴當(dāng)x=4時，有最大值為y∴拋物線開口向下，∵拋物線y=-x-設(shè)Ax1,y1∴x1∴x1∵x1∴x1∴x2∴4<x∴m>故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象為拋物線，則拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式；當(dāng)a【變式74】（2023·浙江·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+1(a，b是常數(shù)，aA．若對稱軸為直線x=1，則a<0 B．若對稱軸為直線xC．若對稱軸為直線x=3，則a<0 D．若對稱軸為直線x【答案】C【分析】先求得拋物線與y軸交于0,1，然后根據(jù)拋物線的對稱軸求得對稱點(diǎn)，根據(jù)拋物線對稱軸的右側(cè)的增減性即可求解．【詳解】解：由y=ax2+bx+1，當(dāng)若對稱軸為直線x=1，則0,1關(guān)于x=1對稱的點(diǎn)為又二次函數(shù)y=ax2+bx+1(a，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∴拋物線開口向上，即a>0，故A若對稱軸為直線x=2，則0,1關(guān)于x=2對稱的點(diǎn)為又二次函數(shù)y=ax2+bx+1(a，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∴拋物線開口向上，即a>0，故B若對稱軸為直線x=3，則0,1關(guān)于x=3對稱的點(diǎn)為又二次函數(shù)y=ax2+bx+1(a，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，∴拋物線開口向下，即a<0，故C若對稱軸為直線x=4，則0,1關(guān)于x=4對稱的點(diǎn)為又二次函數(shù)y=ax2+bx+1(a，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，∴拋物線開口向下，即a<0，故D故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型08根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值【例8】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)y=x2-2x+3，當(dāng)0≤x≤4時，yA．13 B．5 C．11 D．14【答案】A【分析】直接利用配方法求出二次函數(shù)最小值b，進(jìn)而利用二次函數(shù)增減性得出a的值，即可得出答案．【詳解】解：y整理得：y故當(dāng)x=1時，y有最小值b為2當(dāng)x=4時，y有最大值a為11故a+故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的最值，利用二次函數(shù)增減性得出其最值是解題的關(guān)鍵．【變式81】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積SA．3 B．152 C．15 D．【答案】C【分析】將p=5，c=2代入p=a+b+c2【詳解】解：將p=5，c=2代入p=∴a+∴b=8-三角形的面積S=設(shè)y=5-a它是a的二次函數(shù)，開口向下，當(dāng)a=-8-2=4此時，面積S取最大值為15．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解并掌握海倫公式，將面積的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．【變式82】（2023·安徽六安·統(tǒng)考一模）若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2-A．-14 B．-6 C．-8【答案】B【分析】先用a表示b，然后代入2a2-4b中，利用配方法進(jìn)行配方，再根據(jù)a≥0，b≥0【詳解】解：∵2a∴b設(shè)y=2=2=2(=2(=2[(=2(a∵a≥0，∴a解得：0≤a∵2>0，∴拋物線開口向上，對稱軸為a=-2當(dāng)a>-2時，y隨a當(dāng)a=0時，y最小，即m當(dāng)a=1時，y最大，即n∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，用a表示b，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次函數(shù)，根據(jù)a的取值范圍確定最大值和最小值是解題的關(guān)鍵．【變式83】（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測）對于二次函數(shù)y=-x-m2①若y的最大值為-8，則m②若y的最小值為-8，則m③若m=5，則y的最大值為-則上達(dá)說法（）A．只有①正確 B．只有②正確 C．只有③正確 D．均不正確【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=-x-m2+1可得對稱軸為直線x=m，由a=-1<0，可得拋物線開口向下，再由m>3，所以當(dāng)-1≤x≤3時，拋物線單調(diào)遞增，從而可得x=3時，y有最大值，x=-1時，y有最小值，把x=3、y=-8和x【詳解】解：二次函數(shù)y=-x-∵a=-1<0∴拋物線開口向下，因?yàn)閙>3，所以當(dāng)-1≤x若y的最大值為-8，則-3-m2+1=-8，解得m若y的最小值為-8，則--1-m2+1=-8，解得m=2若m=5，則y=-x-52+1故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型09根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求字母的取值范圍【例9】（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)校考一模）已知拋物線y=x2+bx+c（c為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)p,m、qA．c-154≤mc<m≤【答案】A【分析】根據(jù)題意求得拋物線的對稱軸為直線x=-b2=0+42=2，進(jìn)而得到拋物線為y=x2-【詳解】解：∵拋物線y=x2+bx∴拋物線的對稱軸為直線x=-∴b∴拋物線為y=∵拋物線y=x2+bx∴p+∴p∴p∵1≤q∴2.5≤q∵m∴-15故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．【變式91】（2022·浙江杭州·?？级＃┤舳魏瘮?shù)的解析式為y=x-mx-11≤mA．94≤q≤254 B．-【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式為y=x-mx-11≤m≤5，可以得到該函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)過p,q點(diǎn)和p+5,q點(diǎn)，可以得到【詳解】解：∵二次函數(shù)的解析式為y=∴該函數(shù)的對稱軸為直線x=-∵函數(shù)過p,q點(diǎn)和∴p+∴p=∴q=∴當(dāng)m≥1時，q隨m∵1≤m∴當(dāng)m=1時，q取得最大值254；當(dāng)m=5時，q∴q的取值范圍是94故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，得到q和m的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．題型10根據(jù)二次函數(shù)的最值求字母的取值范圍【例10】（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,3)，在a≤xA．a(chǎn)≥6 B．3≤a≤6 C．0≤【答案】C【分析】先利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,4，由于當(dāng)x=6時，y=-5，根據(jù)拋物線的對稱性可得：a的取值范圍是【詳解】解：∵二次函數(shù)y=-x2+bx∴-1+解得b=6∴拋物線的解析式是y=-∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,4，∴當(dāng)x=3時，拋物線有最大值4由于當(dāng)x=6時，y=-6-32+4=-5，且在a∴根據(jù)拋物線的對稱性可得：a的取值范圍是0≤a故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確理解題意、熟練掌握拋物線的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.【變式101】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知二次函數(shù)y=-x2+4x+c的圖象與直線y=x有且只有一個公共點(diǎn)，且當(dāng)0≤x≤A．-1≤m≤0 B．2≤m<7【答案】C【分析】由二次函數(shù)與直線只有一個交點(diǎn)，可以構(gòu)成一元二次方程得到Δ=0，求出c的值，然后畫出y【詳解】解：令-x2+4由題意，Δ=32故函數(shù)y=-如圖，該函數(shù)圖象頂點(diǎn)為（2，1），與y軸交點(diǎn)為（0，－3），由對稱性，該函數(shù)圖象也經(jīng)過點(diǎn)（4，－3）．由于函數(shù)圖象在對稱軸x=2左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)y隨x又因?yàn)楫?dāng)0≤x≤m時，函數(shù)y=-x所以2≤m故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，綜合了函數(shù)與方程的關(guān)系和二次函數(shù)圖象增減性和最值問題．理解二次函數(shù)與方程的聯(lián)系，二次函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．【變式102】（2022·四川瀘州·二模）已知函數(shù)fx=x2-2ax+7，當(dāng)x≤3時，函數(shù)值隨x增大而減小，且對任意的1≤x1≤a+2和1≤xA．-3≤a≤4 B．-2≤a≤4【答案】D【分析】對任意的1?x1?a+2和1?x2?a+2，【詳解】解：函數(shù)的對稱軸為x=a，而x?3時，函數(shù)值隨∵1?x1∴x=a故函數(shù)的最大值在x=1和x則x=1，x=a∵a∴a-1∴1距離a更遠(yuǎn)，∴x=1時，函數(shù)取得最大值為：∵對任意的1?x1?a+2和1?x2?a只需最大值與最小值的差小于等于9即可，∴8-2aa2解得-2?a∴3?故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將|y1-題型11根據(jù)規(guī)定范圍二次函數(shù)自變量的情況求函數(shù)值的取值范圍【例11】（2022·河南南陽·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=-2x2+4x+3，當(dāng)A．y≤5 B．y≤3 C．-3≤【答案】D【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1，然后根據(jù)x的取值范圍求出y的最大值和最小值，即可得出y【詳解】解：∵y=-2∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1，∵a=-2∴當(dāng)x=1時，函數(shù)取最大值，且最大值為y∵在-1≤x≤2∴x=-1y=-2×∴y的取值范圍是：-3≤y≤5故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值5，最小值3，是解題的關(guān)鍵．【變式111】（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=x2+bx+5的圖象經(jīng)過點(diǎn)1,0，則當(dāng)A．-5≤y≤5 B．-4≤y≤5【答案】B【分析】先將點(diǎn)1,0代入y=x2【詳解】解：將點(diǎn)1,0代入y=x2解得：b=-6∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=∴該函數(shù)的對稱軸為直線x=-∵a=1>0∴該二次函數(shù)圖象開口向上，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，∵6-3>3-2，∴再2≤x≤6之間，當(dāng)x=6當(dāng)x=3時，函數(shù)有最小值y∴當(dāng)2≤x≤6時，y的取值范圍是故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握a>0時，函數(shù)開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，a<0時，函數(shù)開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨【變式112】（2023上·陜西西安·九年級陜西師大附中統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y=ax2+x…-013…y…-366…當(dāng)0<x<4時，y的取值范圍是（A．3<y≤6 B．3<y≤7 C．【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，即可求得開口方向，對稱軸，函數(shù)的最值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到當(dāng)0<x<4時，【詳解】解：將點(diǎn)(-1,-2)，(0,3)，(1,6)代入y=a-b+∴y∴該函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線x=2，函數(shù)有最大值7∴x=0和則0<x<4時，y的取值范圍是：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型12根據(jù)二次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍【例12】（2023·陜西西安·校考一模）已知點(diǎn)A(m，y1)、B(m+2，y2)A．m<-3 B．m>-3 C．m<-2 D【答案】A【分析】先求出拋物線的對稱軸x=-4a2a=-2，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)點(diǎn)A(m，y1)和B(m+2【詳解】解：拋物線y=ax∵C為拋物線的頂點(diǎn)，∴x0∵y0∴拋物線開口向下，∵y0∴當(dāng)點(diǎn)A(m，y1)和B(當(dāng)點(diǎn)A(m，y1)和B(m+2，y2)在直線x=-2的兩側(cè)，綜上所述，m的范圍為m<-3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)：熟練掌握二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式121】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知二次函數(shù)y=x2-2ax+a2-2a-6（A．a(chǎn)≥-3 B．-3≤a<4 C．【答案】D【分析】根據(jù)圖象與x軸有交點(diǎn)，得出判別式△≥0，從而解得a≥-3，然后求出拋物線的對稱軸，結(jié)合拋物線開口向上，且當(dāng)x>4時，y隨x的增大而增大，可得【詳解】解：y∵圖象與x軸有交點(diǎn)，∴△=-解得a≥-3∵拋物線的對稱軸為直線x拋物線開口向上，且當(dāng)x>4時，y隨x∴a≤4∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3≤故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，明確拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)與判別式的關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式122】（2023·四川資陽·統(tǒng)考二模）已知拋物線y=ax2-2x+c，當(dāng)xA．-1<a<0 B．-1≤a<0【答案】D【分析】分a>0，a【詳解】解：①當(dāng)a>0∵當(dāng)x≤1時，y隨x∴--解得，a≤1∴0<a②當(dāng)a<0∵當(dāng)x≤1時，y隨x∴--解得，a≤-1∴a≤-1∴0<a≤1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【變式123】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）若點(diǎn)An+1,y1,Bn-2,A．n≥3 B．n>32 C．【答案】B【分析】先根據(jù)拋物線的解析式確定其對稱軸，結(jié)合拋物線的對稱性，開口方向，函數(shù)的增減性和兩個點(diǎn)的坐標(biāo)即可確定n的取值范圍．【詳解】拋物線y=ax當(dāng)點(diǎn)An+1,y1,B解得n=∴當(dāng)n=32∵a<0，拋物線開口向下，點(diǎn)An+1,∴當(dāng)n>32故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用拋物線的對稱性和函數(shù)的增減性確定n的取值范圍是解題的難點(diǎn)．考點(diǎn)三二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系一、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與a，b，c的關(guān)系符號圖象特征備注aa>0開口向上a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小(|a|越大，拋物線的開口小)．a(chǎn)<0開口向下bb=0坐標(biāo)軸是y軸ab>0(a，b同號)對稱軸在y軸左側(cè)左同右異ab<0((a，b異號))對稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過原點(diǎn)c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負(fù)半軸相交二、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常見結(jié)論自變量x的值函數(shù)值圖象上對應(yīng)點(diǎn)的位置結(jié)論24a2b+cx軸的上方4a2b+c>0x軸上4a2b+c=0x軸的下方4a2b+c<01ab+cx軸的上方ab+c>0x軸上ab+c=0x軸的下方ab+c<01a+b+cx軸的上方a+b+c>0x軸上a+b+c=0x軸的下方a+b+c<024a+2b+cx軸的上方4a+2b+c>0x軸上4a+2b+c=0x軸的下方4a+2b+c<0題型01根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號【例1】（2023·廣東湛江·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+（1）a<0,b<0,c>0；（2）-b2b=1；（3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：（1）錯誤．∵開口向下，∴a<0-b2a∵拋物線交y軸的負(fù)半軸，∴c<0（2）錯誤．根據(jù)圖象可知：-（3）錯誤．根據(jù)圖象，當(dāng)x=1時，y（4）正確．觀察圖象可知拋物線y=ax2+bx+所以錯誤的有3個，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)等知識．關(guān)鍵在于結(jié)合圖象利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．【變式11】（2022·黑龍江齊齊哈爾·?？既＃┤鐖D，拋物線y=ax2+bx+ca≠0交x軸于點(diǎn)A-1，0，對稱軸為x=1，與x軸的另一個交點(diǎn)為B，點(diǎn)C為拋物線頂點(diǎn).下列結(jié)論：①abc<0；

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)圖示，對稱軸，可以判斷a，b，c的正負(fù)關(guān)系，并確定b=-2【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，a<0，b>0，∴abc<0，故∵拋物線對稱軸為直線x=1，A-1∴B的坐標(biāo)為3，∴當(dāng)x=2時，函數(shù)值y即：4a+2b∵對稱軸為直線x=1∴-b2a∴3a+b由A點(diǎn)坐標(biāo)可得：a-將b=-2a代入可得：∴c-即：c<4b，故由題意，A、B是關(guān)于對稱軸對稱的，C為頂點(diǎn)，∴△ABC始終為等腰三角形，無論a取何值，也不會影響△∴△ABC為等腰三角形時，不一定只能推出a=1∴正確的有：①②④，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，能夠準(zhǔn)確根據(jù)圖像信息分析出基本式子的結(jié)果，并靈活變形是解題關(guān)鍵．【變式12】（2022·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，有下列4個結(jié)論：①abc>0；②

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】由拋物線開口方向、對稱軸位置、拋物線與y軸交點(diǎn)位置，可判斷a,b,c的符號及a與b的數(shù)量關(guān)系，從而判斷①；由拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)可判斷②；由x=-1時，y<0，可判斷③；由【詳解】∵拋物線開口向下，∴a<0∵拋物線對稱軸為直線x=1∴-b∴b=-2∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，∴c>0∴abc<0，①∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，∴b2∴b2>4ac∵b=-2∴a=-由圖象可得：x=-1時，y∴a-∴2c<3b，∵x=1∴a+∴a+b≥故選B【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系【變式13】（2023·浙江·模擬預(yù)測）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b>0，②c<0，③

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】觀察圖象得：拋物線開口向下，與y軸交于負(fù)半軸，且對稱軸為直線x=1，與x軸有2個交點(diǎn)，可得a<0，c<0，-b2a=1，b2-4ac>0，故②③正確；從而得到b=-2a>0，故①正確；再由當(dāng)x【詳解】解：觀察圖象得：拋物線開口向下，與y軸交于負(fù)半軸，且對稱軸為直線x=1，與x軸有2∴a<0，c<0，-b2a∴b=-2a>0當(dāng)x=1時，y∴a+b+∵當(dāng)x=0時，y=c∴當(dāng)x=2時，y∴4a+2b綜上所述，正確的有4個，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式14】（2023·遼寧鞍山·?？家荒＃┤鐖D是二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0在平面直角坐標(biāo)系中的圖象，根據(jù)圖象判斷：①c<0；②a-

A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤【答案】B【分析】拋物線與y軸交點(diǎn)的位置判斷①；開口方向結(jié)合c的符號，判斷②，特殊點(diǎn)和對稱軸，判斷③④⑤．【詳解】解：由圖可知，拋物線開口向上，a>0，對稱軸為直線x∴3b∴2a+3b拋物線與y軸交于負(fù)半軸，∴c<0，故①∴-c∴a-c>0由圖可知，當(dāng)x=-1時，y=a∴2a∵3b∴-3∴2c-5故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．從圖象中有效的獲取信息，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．題型02二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號【例2】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知拋物線y=ax2+bx+A．拋物線與x軸負(fù)半軸必有一個交點(diǎn) B．2C．a(chǎn)bc>0 D．當(dāng)0≤x【答案】C【分析】先由a+b+c=-1，a-b【詳解】解：A、∵a+b∴c=-2-a，b=1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)∴y∵a∴拋物線開口向上，∴函數(shù)圖象與x軸負(fù)半軸必有一個交點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；B、∵c=-2-a∴2a+2bC、∵c=-2-a=-(2+a∴abc<0，故選項(xiàng)D、∵y∴函數(shù)的對稱軸直線x=-∴當(dāng)0≤x≤2時，函數(shù)值y隨∴當(dāng)x=2時，y最大=4故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系．【變式21】（2022·湖北隨州·?？寄M預(yù)測）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，x…-012…y…m--n…且當(dāng)x=-12時，對應(yīng)的函數(shù)值y>0.有以下結(jié)論：①abc>0；②0<m+n<203；③4aA．①② B．①③④ C．①②③ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)以及圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可以得到各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：由表格數(shù)據(jù)和當(dāng)x=-12時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y∴a>0，b<0，∴abc>0，故①∵x=0和x=1時對應(yīng)的函數(shù)值都是∴c=-2，a∴a+b=0∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=∵m=a+∴m+∵當(dāng)x=-12∴14a+∴4a∴m+n>∵4a+c=4a∴4a-2>-2，即4∵P1t-∴y1=a若y1>y即at∵a>0∴t-解得t<12綜上，正確的是①③，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)基本性質(zhì)及圖象特征，根據(jù)已知列方程或不等式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)來解決對應(yīng)的問題．【變式22】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）下表按照橫坐標(biāo)由小到大列出了y關(guān)于x的二次函數(shù)圖像上一些不同的點(diǎn)，圖像上任意一點(diǎn)縱坐標(biāo)均不大于7，下列說法錯誤的是（

）x0m2nyc676A．當(dāng)c>0時，拋物線與坐標(biāo)軸有3B．當(dāng)x=mC．若以Am,6，Bn,6，DD．若直線y=kx+b，經(jīng)過4,8，若b>8【答案】D【分析】由圖象上任意一點(diǎn)縱坐標(biāo)均不大于7，可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，從而可得拋物線與x軸有2個交點(diǎn)，由c>0可判斷選項(xiàng)A，由拋物線的對稱性及對稱軸可得m+n的值，從而判斷選項(xiàng)B，由三角形ABC為等腰直角三角形及A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)可得直角三角形的邊長，從而判斷選項(xiàng)C，由直線y=kx+b經(jīng)過4,8【詳解】∵圖象上任意一點(diǎn)縱坐標(biāo)均不大于7，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,7且拋物線開口向下，∴拋物線與x軸有2個交點(diǎn)，∵拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為0,c∴當(dāng)c>0時，拋物線與坐標(biāo)軸有3個交點(diǎn)，選項(xiàng)A∵拋物線經(jīng)過m,6，n,6，拋物線對稱軸為直線∴x=m+∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)0,c∴拋物線經(jīng)過4,c∴當(dāng)x=m+n時，∵等腰直角三角形的三個頂點(diǎn)為Am,6，Bn∴AB=2×7-6=2∴△ABC周長為22+2∵直線y=kx+b與∵b>8∴0,b，4,8均在拋物線頂點(diǎn)2,7∴直線與拋物線無交點(diǎn)，選項(xiàng)D錯誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．【變式23】（2022·湖南株洲·校考二模）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點(diǎn)A-1,0，與y軸的交點(diǎn)B在0,-2和0,-1之間（不包括這兩點(diǎn)），對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc>0；

A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線的對稱軸公式可判斷b與a的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的取值范圍，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：由圖象可知該二次函數(shù)圖象開口向上，與y軸的交點(diǎn)位于x軸下方，對稱軸為直線x=1∴a>0，c<0，∴b=-2∴abc>0，故①由圖象可知當(dāng)x=-1時，二次函數(shù)值為0又∵對稱軸為直線x=1∴當(dāng)x=3時，二次函數(shù)值為0∴當(dāng)x=2時，二次函數(shù)值小于0，即y=4a③∵該拋物線圖象與y軸的交點(diǎn)B在0,-2和0,-1之間，，對稱軸為直線x=1∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)要小于-1∴4ac∵a>0∴4ac-b∵該拋物線圖象與y軸的交點(diǎn)B在0,-2和0,-1之間，∴-2<∵與x軸交于點(diǎn)A-∴0=a∴c=∴-2<3∴13<a∵b=-2a<0，c∴b>c，故綜上可知正確的為①③④⑤．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式24】（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線y=axA．若拋物線經(jīng)過點(diǎn)-3,0,B．若b=c，則方程cC．拋物線與x軸一定有兩個不同的公共點(diǎn)D．點(diǎn)Ax1,y1,【答案】C【分析】將點(diǎn)-3,0代入拋物線的解析式，再結(jié)合a+b+c=0即可對選項(xiàng)A進(jìn)行判斷；先由a+b+c=0，b=c可得出a=-2c，且c≠0，然后將b=c，a=-2【詳解】解：①將點(diǎn)-3,0代入y=a∵a∴c∴9a整理得：b=2a，故選項(xiàng)②∵∴a∵a∴c∴方程cx2+∵c∴x解得：x1=1,x③∵∴b∴判別式Δ=∴該拋物線與x軸有公共點(diǎn)，故選項(xiàng)C不正確，符合題意；④∵∴-b∵拋物線的對稱軸為x=-∵0<a∴ca>1∴x∴該拋物線的對稱軸在直線x=1∵x∴點(diǎn)Ax又∵0<a∴拋物線的開口向上，∴y故選項(xiàng)D正確，不符合題意．綜上所述：結(jié)論錯誤是選項(xiàng)C．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的對稱軸、與x軸的交點(diǎn)，函數(shù)的增減性．【變式25】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）二次函數(shù)y=ax2

【答案】2【分析】根據(jù)拋物線開口方向得到a>0，根據(jù)對稱軸為直線x=-b2a>0得到b<0，根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方得到c<0，則【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a∵對稱軸為直線x=-∴b∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，∴c∴a-b>0，∴原式==|===2c故答案為：2c【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象為拋物線，當(dāng)a>0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-b2a；拋物線與題型03二次函數(shù)、一次函數(shù)綜合【例3】（2023·廣東河源·統(tǒng)考二模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】考查了拋物線和直線的圖象，用假設(shè)法來搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法，可先由二次函數(shù)y=ax【詳解】解：A、由拋物線y=ax2+x+c，可知圖象開口向下，交y軸的正半軸，可知a<0B、由拋物線y=ax2+bx+c，可知圖象開口向下，交y軸的負(fù)半軸，可知a<0C、由拋物線y=ax2+bx+c，可知圖象開口向上，交y軸的負(fù)半軸，可知a>0D、由拋物線y=ax2+bx+c，可知圖象開口向上，交y軸的正半軸，可知a>0故選：C．【變式31】（2012·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，根據(jù)各個選項(xiàng)中的圖象，可以判斷出一次函數(shù)和二次函數(shù)中a、c的正負(fù)情況，即可判斷哪個選項(xiàng)是正確的，解答本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【詳解】解：A、一次函數(shù)y=ax+c中a>0，c>0，二次函數(shù)B、一次函數(shù)y=ax+c中a<0，c>0，二次函數(shù)C、一次函數(shù)y=ax+c中a<0，c<0，二次函數(shù)D、一次函數(shù)y=ax+c中a<0，c>0，二次函數(shù)故選：B．【變式32】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)y=ax2+

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系以及一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象的綜合判斷，通過分析二次函數(shù)圖象得到a,【詳解】解：根據(jù)已知二次函數(shù)圖象，拋物線開口向下，則可知a<0由拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，則對稱軸為直線x=-∴b>0∴一次函數(shù)y=故應(yīng)選：C題型04二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象綜合【例4】（2023·山東菏澤·菏澤市牡丹區(qū)第二十二初級中學(xué)?？家荒＃┒魏瘮?shù)y=ax2+bx+

A．

B．

C．