第三章第六節(jié)　函數(shù)的圖象

第六節(jié)函數(shù)的圖象【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).2.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì),解決方程解的個數(shù)與不等式解集的問題.【考情分析】考點考法:高考命題考查函數(shù)圖象的識別、函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì),已知函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象是高考熱點,常以選擇題形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算.【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.利用描點法作函數(shù)圖象的方法步驟(1)確定函數(shù)的定義域.(2)化簡函數(shù)的解析式.(3)討論函數(shù)的性質(zhì),即奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值(甚至變化趨勢).(4)描點連線,畫出函數(shù)的圖象.2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)伸縮變換(3)對稱變換(4)翻折變換【微點撥】函數(shù)圖象的左右變換都針對自變量“x”而言,如從f(2x)的圖象到f(2x+1)的圖象是向右平移12個單位長度,其中是把x變成x12【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12431.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯誤的是()A.當(dāng)x∈(0,+∞)時,函數(shù)y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象相同B.函數(shù)y=af(x)與y=f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同C.函數(shù)y=f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱D.函數(shù)y=lgx的圖象關(guān)于x=3對稱的圖象對應(yīng)的函數(shù)是y=lg(6x)【解析】選ABC.A令f(x)=x,當(dāng)x∈(0,+∞)時,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=x,兩者圖象不同.×B當(dāng)a≠1時,y=af(x)與y=f(ax)是由y=f(x)分別進行縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)伸縮變換得到,兩圖象不同.×Cy=f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱.×2.(必修第一冊P85練習(xí)T1變條件、變設(shè)問)已知圖①中的圖象是函數(shù)y=f(x)的圖象,則圖②中的圖象對應(yīng)的函數(shù)可能是()A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|C.y=f(|x|) D.y=f(|x|)【解析】選C.因為題圖②中的圖象是在題圖①的基礎(chǔ)上,去掉函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸右側(cè)的部分,然后將y軸左側(cè)圖象翻折到y(tǒng)軸右側(cè)得到的,所以題圖②中的圖象對應(yīng)的函數(shù)可能是y=f(|x|).3.(2022·全國乙卷)如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間[3,3]的大致圖象,則該函數(shù)是()A.y=-x3+3xx2+1C.y=2xcosxx2+1 【解析】選A.設(shè)f(x)=x3-xx2+1設(shè)h(x)=2xcosxx2+1,當(dāng)x∈(0,π2所以h(x)=2xcosxx2設(shè)g(x)=2sinxx2+1,則g(3)=4.(看不懂圖象導(dǎo)致錯誤)若關(guān)于x的方程|x|=ax只有一個解,則實數(shù)a的取值范圍是(0,+∞).

【解析】由題意a=|x|+x,令y=|x|+x=2x,x>0,0,x≤0,圖象如圖所示,故要使a=|x|+x【巧記結(jié)論·速算】1.函數(shù)圖象自身的軸對稱(1)f(x)=f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;(2)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱?f(a+x)=f(ax)?f(x)=f(2ax)?f(x)=f(2a+x);(3)若函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且有f(a+x)=f(bx),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a+b2.函數(shù)圖象自身的中心對稱(1)f(x)=f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱;(2)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)成中心對稱?f(a+x)=f(ax)?f(x)=f(2ax)?f(x)=f(2a+x);(3)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)成中心對稱?f(a+x)=2bf(ax)?f(x)=2bf(2ax).3.兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系(1)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(bx)的圖象關(guān)于直線x=b-a2對稱(由a+x=b(2)函數(shù)y=f(x)與y=f(2ax)的圖象關(guān)于直線x=a對稱;(3)函數(shù)y=f(x)與y=2bf(x)的圖象關(guān)于點(0,b)對稱;(4)函數(shù)y=f(x)與y=2bf(2ax)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱.【即時練】1.下列說法正確的是()A.若函數(shù)y=f(x)滿足f(1+x)=f(1x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱B.若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=f(x1),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱C.當(dāng)x∈(0,+∞)時,函數(shù)y=f(|x|)的圖象與y=|f(x)|的圖象相同D.函數(shù)y=f(1x)的圖象可由y=f(x)的圖象向左平移1個單位長度得到【解析】選A.由函數(shù)的性質(zhì)知A正確,B錯誤;令f(x)=x,則當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(|x|)=f(x)=x,|f(x)|=x,f(|x|)≠|(zhì)f(x)|,故C錯誤;y=f(x)的圖象向左平移1個單位長度得到y(tǒng)=f(x1)的圖象,故D錯誤.2.函數(shù)y=f(2x)與y=f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.

【解析】由2x=x+2,得x=2,所以函數(shù)y=f(2x)與y=f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.【核心考點·分類突破】考點一作函數(shù)的圖象[例1]作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=(12)|x|(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=x22|x|1.【解析】(1)先作出y=(12)x的圖象,保留y=(12)x圖象中x≥0的部分,再作出y=(12)x的圖象中x>0的部分關(guān)于即得y=(12)|x|的圖象,如圖①實線部分(2)將函數(shù)y=log2x的圖象向左平移一個單位長度,再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去,即可得到函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象,如圖②.(3)因為y=x2-2x-1再根據(jù)對稱性作出(∞,0)上的圖象,得圖象如圖③.【解題技法】函數(shù)圖象的常見畫法(1)直接法:當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本初等函數(shù)時,可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點,進而直接作出函數(shù)圖象.(2)圖象變換法:若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對稱得到,則可利用圖象變換作圖.提醒:①畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域;②利用圖象變換法時要注意變換順序.【對點訓(xùn)練】作出下列各函數(shù)的圖象:(1)y=x|x1|;(2)y=|x24x+3|;(3)y=(12)|x+2|(4)y=sin|x|.【解析】(1)根據(jù)絕對值的意義,可將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)y=1,x≥1,(2)函數(shù)解析式可化為y=x2-4x(3)作出y=(12)x的圖象,保留y=(12)x的圖象中x≥0的部分,加上y=(12)x的圖象中x>0的部分關(guān)于y軸的對稱部分,即得y=(12)|x|的圖象,再向左平移2個單位長度,即得y=(12)|x+2|的圖象(4)當(dāng)x≥0時,y=sin|x|與y=sinx的圖象完全相同,又y=sin|x|為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,故圖象如圖④所示.考點二函數(shù)圖象的識別[例2](1)(2022·全國甲卷)函數(shù)y=3x-3-xcosx在區(qū)間【解析】選A.令fx=3x-3-xcosx,x∈-π2,π(3x3x)cosx=f(x),所以fx為奇函數(shù),排除B,D;又當(dāng)x∈0,π2時,3x3x所以fx>0,排除C.(2)(2023·天津高考)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為()A.5(ex-e-C.5(ex+e-【解析】選D.由題干中函數(shù)圖象可知,f(x)圖象關(guān)于y軸對稱,其為偶函數(shù),且f(2)=f(2)<0,由5sin(-x)(-x)2+1=5sinxx2+1,且定義域為R,即選項B中函數(shù)為奇函數(shù),排除B;當(dāng)x>0時,5(ex(3)函數(shù)f(x)=xlnx的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(1x)的大致圖象為()【解析】選D.方法一:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),由1x>0得x<1,即函數(shù)y=f(1x)的定義域為(∞,1),排除A,C.f(1x)=(1x)ln(1x),設(shè)g(x)=f(1x)=(1x)ln(1x),則g(1)=2ln2>0,排除B.方法二:將函數(shù)f(x)的圖象進行以y軸為對稱軸的翻折變換,得到函數(shù)y=f(x)的圖象,再將圖象向右平移一個單位長度,即可得到函數(shù)y=f((x1))=f(1x)的圖象.【解題技法】函數(shù)圖象的識別可從以下幾個方面入手(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢.(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性.(4)從函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).(5)從函數(shù)的特征點,排除不合要求的圖象.【對點訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)=x(ex-e-x)|x【解析】選D.函數(shù)f(x)=x(ex-e-x)|x|-1的定義域為{x|x≠±1},f(x)=-x(e-x-當(dāng)0<x<1時,|x|1<0,exex>0,則f(x)<0,可排除B,C.2.如圖可能是下列哪個函數(shù)的圖象()A.y=2xx21 B.y=2C.y=(x22x)ex D.y=x【解析】選C.函數(shù)的定義域為R,排除D;當(dāng)x<0時,y>0,A中,x=1時,y=2111=32<0,排除A;B中,當(dāng)sinx=0時,y=0,所以y=2xsinx43.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖1,則圖2對應(yīng)的函數(shù)有可能是()A.y=xf(x) B.y=f(x2)C.y=x2f(x) D.y=xf(x2)【解析】選A.對于B,y=f(x2)為偶函數(shù),與圖象不符,故排除B;對于C,當(dāng)x<0時,x2>0,f(x)<0,所以x2f(x)<0,與圖象不符,故排除C;對于D,當(dāng)x<0時,x2>0,f(x2)>0,所以xf(x2)<0,與圖象不符,故排除D.考點三函數(shù)圖象的應(yīng)用【考情提示】高考對函數(shù)圖象的考查比較靈活,涉及知識點較多,且每年均有創(chuàng)新,試題考查角度有兩個方面,一是函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的對應(yīng)關(guān)系;二是利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)、方程及不等式的解等,綜合性較強.角度1研究函數(shù)的性質(zhì)[例3](多選題)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x1),已知當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=(12)1x,則下列結(jié)論正確的是(A.2是函數(shù)f(x)的周期B.函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,3)上單調(diào)遞增C.函數(shù)f(x)的最大值是1,最小值是0D.當(dāng)x∈(3,4)時,f(x)=(12)x【解析】選ABD.由已知條件得f(x+2)=f(x),則y=f(x)是以2為周期的周期函數(shù),A正確;當(dāng)1≤x≤0時,0≤x≤1,f(x)=f(x)=(12)1+x,畫出函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖所示.由圖象知B正確,C不正確;當(dāng)3<x<4時,1<x4<0,f(x)=f(x4)=(12)x3,D【解題技法】利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對于已知解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù),其性質(zhì)常借助圖象研究:(1)從圖象的最高點、最低點,分析函數(shù)的最值、極值;(2)從圖象的對稱性,分析函數(shù)的奇偶性;(3)從圖象的走向趨勢,分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性.角度2利用函數(shù)圖象解決不等式問題[例4](2023·商丘模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的圖象如圖所示,則不等式x2f(x)>2f(x)的解集為()A.(2,0)∪(2,2)B.(∞,2)∪(2,+∞)C.(∞,2)∪(2,0)∪(2,2)D.(2,2)∪(0,2)∪(2,+∞)【解析】選C.根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征,作出f(x)在(∞,0)上的圖象,如圖所示,由x2f(x)>2f(x),得(x22)f(x)>0,則x2-解得x<2或2<x<2或2<x<0,故不等式的解集為(∞,2)∪(2,0)∪(2,2).角度3利用圖象求參數(shù)的取值范圍[例5](2023·洛陽聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|,x<2,3x-1,x≥2A.(1,3) B.(0,3)C.(0,2) D.(0,1)【解析】選D.畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,方程f(x)a=0有三個不同的實數(shù)根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a有三個不同的交點,由圖可知,實數(shù)a的取值范圍為(0,1).【解題技法】1.函數(shù)性質(zhì):一般根據(jù)圖象觀察函數(shù)性質(zhì)有以下幾方面:(1)觀察函數(shù)圖象是否連續(xù)以及最高點和最低點,確定定義域、值域;(2)觀察函數(shù)圖象是否關(guān)于原點或y軸對稱,確定函數(shù)是否具有奇偶性;(3)觀察圖象上升或下降的情況,確定單調(diào)性.2.求解不等式:若采用代數(shù)法求解比較困難,但其對應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時,常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題,從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解.3.求參數(shù):當(dāng)參數(shù)的不等關(guān)系不易找出時,可將函數(shù)(或方程)等價轉(zhuǎn)化為方便作圖的兩個函數(shù),再根據(jù)題設(shè)條件和圖象的變化,利用數(shù)形結(jié)合思想確定參數(shù)的取值范圍.【對點訓(xùn)練】1.設(shè)定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(1)=0,則不等式f(x)-f(-A.(1,0)∪(1,+∞