山西省臨汾市襄汾中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題含解析

山西省臨汾市襄汾中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位），這個問題中戊所得為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢2．已知點，點在拋物線上，過點的直線與直線垂直相交于點，，則的值為（）A. B.C. D.3．在中，，滿足條件的三角形的個數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.無數(shù)多4．已知向量，滿足條件，則的值為（）A.1 B.C.2 D.5．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件6．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于A.2 B.3C.6 D.97．如圖在中，，，在內(nèi)作射線與邊交于點，則使得的概率是（）A. B.C. D.8．已知拋物線=的焦點為F，M、N是拋物線上兩個不同的點，若，則線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為（）A.8 B.4C. D.99．直線在y軸上的截距為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線的左、右焦點分別為，半焦距為c，過點作一條漸近線的垂線，垂足為P，若的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.11．已知拋物線的焦點為，直線過點與拋物線相交于兩點，且，則直線的斜率為（）A. B.C. D.12．如圖已知正方體，點是對角線上的一點且，，則（）A.當(dāng)時，平面 B.當(dāng)時，平面C.當(dāng)為直角三角形時， D.當(dāng)?shù)拿娣e最小時，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，，，則的面積為_________14．某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為____________.15．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S＝__.16．已知數(shù)列的前n項和為，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，且（1）求拋物線的方程；（2）若，是拋物線上一點，過點的直線與拋物線交于，兩點（均與點不重合），設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值18．（12分）已知雙曲線（1）若，求雙曲線的焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和漸近線方程；（2）若雙曲線的離心率為，求實數(shù)的取值范圍19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中點（1）證明：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正弦值20．（12分）過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B；（1）求直線AB的方程；（2）若M為圓上的一點，求面積的最大值21．（12分）已知復(fù)數(shù)，是實數(shù).（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所表示的點在第二象限，求實數(shù)m的取值范圍.22．（10分）某中學(xué)共有名學(xué)生，其中高一年級有名學(xué)生，為了解學(xué)生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學(xué)生人數(shù)及圖中的值；（2）估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計全校睡眠時間超過個小時的學(xué)生人數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意將實際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題即可解決【詳解】解：由題意，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為，，，，則，，，，成等差數(shù)列，設(shè)公差為，整理上面兩個算式，得：，解得，故選：2、D【解析】由題，由于過拋物線上一點的直線與直線垂直相交于點，可得，又，故，所以的坐標(biāo)為，由余弦定理可得.故選：D.考點：拋物線的定義、余弦定理【點睛】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題3、B【解析】利用正弦定理得到，進(jìn)而或，由，得，即可求解【詳解】由正弦定理得，，或，，，故滿足條件的有且只有一個.故選：B4、A【解析】先求出坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運算求得答案.【詳解】因為，所以，解得.故選：A.5、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當(dāng)且時，成立，反過來，當(dāng)時，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.6、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因為在x=1處有極值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取等號所以ab的最大值等于9故選D點評：本題考查函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等7、C【解析】由題意可得，根據(jù)三角形中“大邊對大角，小邊對小角”的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為求的概率，又因為，，從而可得的概率【詳解】解：在中，，，所以，即，要使得，則，又因為，，則的概率是故選：C【點睛】本題考查幾何概型及其計算方法的知識，屬于基礎(chǔ)題8、B【解析】過分別作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則由拋物線的定義可得，再過MN的中點作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，然后利用梯形的中位線定理可求得結(jié)果【詳解】拋物線=的焦點，準(zhǔn)線方程為直線如圖，過分別作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過MN的中點作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則由拋物線的定義可得，因為，所以，因為是梯形的中位線，所以，所以線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為4，故選：B9、D【解析】將代入直線方程求y值即可.【詳解】令，則，得.所以直線在y軸上的截距為.故選：D10、D【解析】根據(jù)給定條件求出，再計算面積列式計算作答.【詳解】依題意，點，由雙曲線對稱性不妨取漸近線，即，則，令坐標(biāo)原點為O，中，，又點O是線段的中點，因此，，則有，即，，，所以雙曲線的離心率為故選：D11、B【解析】設(shè)直線傾斜角為，由，及，可求得，當(dāng)點在軸上方，又，求得，利用對稱性即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，由，所以，由，，所以，當(dāng)點在軸上方，又，所以，所以由對稱性知，直線的斜率.故選：B.12、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計算可得；【詳解】解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，因為，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以對于A：若平面，則，則，解得，故A錯誤；對于B：若平面，則，即，解得，故B錯誤；當(dāng)為直角三角形時，有，即，解得或（舍去），故C錯誤；設(shè)到的距離為，則，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，，故正確故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)求出，由向量數(shù)量積得到，使用余弦定理得到方程組，求出，利用面積公式求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，而因為是銳角三角形，所以，所以，所以，因為，所以，即，因為，所以，整理得：①，其中，即，因為，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，則的面積為.故答案為：14、160【解析】∵某個年級共有980人，要從中抽取280人，∴抽取比例為，∴此樣本中男生人數(shù)為，故答案為160.考點：本題考查了分層抽樣的應(yīng)用點評：掌握分層抽樣的概念是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題15、【解析】該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，即可求解得答案【詳解】解：S＝S+＝S+，第一次循環(huán)，S＝1+1﹣，k＝2；第二次循環(huán)，S=1+1﹣，k＝3；第三次循環(huán)，S＝1+1，k＝4；第四次循環(huán)，S＝1，k＝5；第五次循環(huán)，S＝1+1，k＝6，循環(huán)停止，輸出；故答案為：.16、【解析】先通過裂項相消求出，再代入計算即可.【詳解】，則，故.故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】(1)聯(lián)立直線和拋物線方程，根據(jù)拋物線定義和焦半徑公式得到，根據(jù)韋達(dá)定理可得到最終結(jié)果；（2）代入點坐標(biāo)可得到參數(shù)的值，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立該直線和拋物線方程，，代入韋達(dá)定理可得到最終結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)點，，點，，聯(lián)立，整理得，，由拋物線的定義知，解得，拋物線的方程為【小問2詳解】，為拋物線上一點，，即，設(shè)，，，，直線的方程為，由，消去得，，，，即為定值18、（1）焦點坐標(biāo)為，，頂點坐標(biāo)為，，漸近線方程為；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線方程確定，即可按照概念對應(yīng)寫出焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和漸近線方程；（2）先求（用表示），再根據(jù)解不等式得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，雙曲線方程化為，所以，，，所以焦點坐標(biāo)為，，頂點坐標(biāo)為，，漸近線方程為.（2）因為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題根據(jù)雙曲線方程求焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和漸近線方程，根據(jù)離心率求參數(shù)范圍，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）依題意可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，即可得證；（2）取的中點為，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，連接，即可得到為與底面所成角，令，，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【小問1詳解】解：證明：在正中，為的中點，∴∵平面平面，平面平面，且．∴平面，又∵平面∴．又∵，且，平面．∴平面【小問2詳解】解：如圖，取的中點為，連接，在正中，，平面平面，平面平面，∴平面，連接，則為與底面所成角，即．不妨取，，，，∴以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，，∴，設(shè)面的一個法向量為，則由令，則，又因為面，取作為面的一個法向量，設(shè)二面角為，∴，∴，因此二面角的正弦值為20、（1）（2）【解析】（1）求出以為直徑的圓的方程，結(jié)合已知圓的方程，將兩圓方程相減可求得兩圓公共弦所在直線方程；（2）求出圓上的點M到直線AB的距離的最大值，求出，利用三角形面積公式求得答案.【小問1詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，則的中點坐標(biāo)為，，以為圓心，為直徑的圓的方程為，由，得①，由，得②，①②得：直線的方程為；【小問2詳解】圓心到直線的距離為故圓上的點M到直線的距離的最大值為，而,故面積的最大值為.21、（1）（2）【解析】（1）先將代入化簡，再由其虛部為零可求出的值，從而可求出復(fù)數(shù)，（2）先對化簡，再由題意可得從而可求得結(jié)果【小問1詳解】因為，所以，因為是實數(shù)，所以，解得.故.【小問2詳解】因為，所以.因為復(fù)數(shù)所表示的點在第二象限，所以解得，即實數(shù)m的取值范圍是.22、（1）樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)為