全國(guó)版天一大聯(lián)考2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

全國(guó)版天一大聯(lián)考2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，，，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.2．以下四個(gè)命題中，正確的是（）A.若，則三點(diǎn)共線B.C.為直角三角形的充要條件是D.若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底3．給出下列判斷，其中正確的是（）A.三點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面C.兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內(nèi)D.空間兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)4．拋物線的準(zhǔn)線方程是A. B.C. D.5．設(shè)、是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為A. B.C. D.6．直線的傾斜角為（）A B.C. D.7．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則與的大小關(guān)系為A. B.C. D.不確定8．在等差數(shù)列中，，則等于A.2 B.18C.4 D.99．已知命題對(duì)任意，總有；是方程的根則下列命題為真命題的是A. B.C. D.10．某校高二年級(jí)統(tǒng)計(jì)了參加課外興趣小組的學(xué)生人數(shù)，每人只參加一類，數(shù)據(jù)如下表：學(xué)科類別文學(xué)新聞經(jīng)濟(jì)政治人數(shù)400300100200若從參加課外興趣小組的學(xué)生中采用分層抽樣的方法抽取50名參加學(xué)習(xí)需求的問卷調(diào)查，則從文學(xué)、新聞、經(jīng)濟(jì)、政治四類興趣小組中抽取的學(xué)生人數(shù)分別為（）A.15，20，10，5 B.15，20，5，10C.20，15，10，5 D.20，15，5，1011．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓C相交P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.12．已知橢圓C：（）的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4，焦距為2，則C的方程為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從某校隨機(jī)抽取某次數(shù)學(xué)考試100分以上（含100分，滿分150分）的學(xué)生成績(jī)，將他們的分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示頻率分布直方圖．若共抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，則分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為___________14．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)且傾斜角為直線l與該雙曲線交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M位于第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，則為___________.15．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是_________16．已知四面體中，，分別在，上，且，，若，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若，的前項(xiàng)和是，求證：.18．（12分）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，且圓心C在軸上.（1）求圓C的方程；（2）直線與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，求直線的方程.19．（12分）已知公差大于零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)；20．（12分）一位父親在孩子出生后，每月給小孩測(cè)量一次身高，得到前7個(gè)月的數(shù)據(jù)如下表所示．月齡1234567身高（單位：厘米）52566063656870（1）求小孩前7個(gè)月的平均身高；（2）求出身高y關(guān)于月齡x的回歸直線方程（計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分）；（3）利用（2）的結(jié)論預(yù)測(cè)一下8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高參考公式：21．（12分）如圖四棱錐P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等邊三角形.（1）設(shè)面PAB面PDC=l，證明:l//平面ABCD；（2）線段PC內(nèi)是否存在一點(diǎn)E，使面ADE與面ABCD所成角的余弦值為，如果存在，求λ=的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.22．（10分）已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用特殊值法可判斷ACD的正誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷B的正誤.【詳解】對(duì)于A中，令，，，，滿足，，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)?，所以由不等式的可加性，可得，所以，故B正確；對(duì)于C中，令，，，，滿足，，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，令，，，，滿足，，但，故D錯(cuò)誤故選：B2、D【解析】利用向量共線的推論可判斷A，利用數(shù)量積的定義可判斷B，利用充要條件的概念可判斷C，利用基底的概念可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，，所以三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可推出為直角三角形，由為直角三角形，推不出，所以為直角三角形的充分不必要條件是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若為空間的一個(gè)基底，則不共面，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，設(shè)，整理可得，即共面，與不共面矛盾，所以能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故D正確.故選：D.3、C【解析】根據(jù)確定平面的條件可對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)A，如果三點(diǎn)在同一條直線上，則不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，如果這個(gè)點(diǎn)在這條直線上，就不能確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，兩條平行直線確定一個(gè)平面，一條直線與這兩條平行直線都相交，則這條直線就在這兩條平行直線確定的一個(gè)平面內(nèi)，故這三條直線在同一平面內(nèi)，C正確；對(duì)D，空間兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面，也可確定三個(gè)平面，故D錯(cuò)誤.故選：C4、C【解析】根據(jù)拋物線的概念，可得準(zhǔn)線方程為5、C【解析】如下圖所示，是底角為的等腰三角形，則有所以，所以又因?yàn)?，所以，，所以所以答案選C.考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).6、C【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C7、B【解析】由,所以.8、D【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，，計(jì)算得到答案.詳解】等差數(shù)列中，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，利用性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.9、A【解析】由絕對(duì)值的意義可知命題p為真命題；由于，所以命題q為假命題；因此為假命題，為真命題，“且”字聯(lián)結(jié)的命題只有當(dāng)兩命題都真時(shí)才是真命題，所以答案選A10、D【解析】利用分層抽樣的等比例性質(zhì)求抽取的樣本中所含各小組的人數(shù).【詳解】根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)知：文學(xué)小組抽取人數(shù)為人；新聞小組抽取人數(shù)為人；經(jīng)濟(jì)小組抽取人數(shù)為人；政治小組抽取人數(shù)為人；故選：D.11、B【解析】設(shè)，由橢圓的定義及，結(jié)合勾股定理求參數(shù)m，進(jìn)而由勾股定理構(gòu)造橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】設(shè)，橢圓的焦距為，則，由，有，解得，所以，故得：故選：B.12、D【解析】由題設(shè)可得求出橢圓參數(shù)，即可得方程.【詳解】由題設(shè)，知：，可得，則，∴C的方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、30【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，可得a值，根據(jù)總?cè)藬?shù)和頻率，即可得答案.【詳解】因?yàn)轭l率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，所以，解得，所以分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為.故答案為：3014、##【解析】設(shè)，，，利用雙曲線的定義可得，作出圖形，結(jié)合圖形分析，可知與直線的傾斜角相等，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，即求.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓為圓，與三邊的切點(diǎn)分別為，如圖所示，設(shè)，，，設(shè)的內(nèi)切圓為圓，由雙曲線的定義可得，得，由此可知，在中，軸于點(diǎn)，同理可得軸于點(diǎn)，所以軸，過圓心作的垂線，垂足為，因?yàn)椋?，∴，即∴，即故答案為?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，得到是關(guān)鍵，說明軸，同時(shí)直線的傾斜角與大小相等，計(jì)算即得.15、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以在點(diǎn)處切線方程是，即故答案為：.16、【解析】連接，根據(jù)題意，結(jié)合空間向量加減法運(yùn)算求解即可.【詳解】解：連接∵四面體中，，分別在，上，且，∴∴∴.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）在等式兩邊同時(shí)除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得的表達(dá)式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：在等式兩邊同時(shí)除以可得且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，因此，.【小問2詳解】證明：，所以，.故原不等式得證.18、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意得到等量關(guān)系，求出，，進(jìn)而求出圓的方程；（2）結(jié)合第一問求出的圓心和半徑，及題干條件得到圓心到直線的距離為，列出方程，求出的值，進(jìn)而得到直線方程【小問1詳解】由題意得：直線過圓心，即，且，解得：，，所以圓C的方程為；【小問2詳解】的圓心為，半徑為2，由題意得：，圓心到直線的距離為，即，解得：或，所以直線的方程為：或.19、（1）（2）【解析】(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得,聯(lián)立方程可得,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求;(2)代入等差數(shù)列的前和公式可求,進(jìn)一步可得,然后結(jié)合等差數(shù)列的定義可得,從而可求.【詳解】（1）為等差數(shù)列，，又是方程的兩個(gè)根，（2）由（1）可知，為等差數(shù)列，舍去)當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列，滿足要求【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式的綜合運(yùn)用,屬于中檔題.20、（1）62；（2）；（3）74.【解析】（1）直接利用平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（2）套公式求出b、a，求出回歸方程；（3）把x=8代入回歸方程即可求出.【小問1詳解】小孩前7個(gè)月的平均身高為.【小問2詳解】(2)設(shè)回歸直線方程是.由題中的數(shù)據(jù)可知.，..計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分,所以,于是，所以身高y關(guān)于月齡x的回歸直線方程為.【小問3詳解】由(2)知,.當(dāng)x=8時(shí),y=3×8+50=74,所以預(yù)測(cè)8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高為74厘米.21、（1）證明見解析（2）存在【解析】（1）由已知可得∥，再由線面平行的判定可得∥平面，再由線面平行的性質(zhì)可得∥，再由線面平行的判定可得結(jié)論，（2）由已知條件可證得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因?yàn)?所以，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，因?yàn)槠矫?，且平面面，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，【小?詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椤鱌DC是等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD，且平面