2023年河南省高考理科數(shù)學(xué)壓軸題總復(fù)習(xí)（附答案解析）

2023年河南省高考理科數(shù)學(xué)壓軸題總復(fù)習(xí)

1.已知拋物線關(guān)于x軸對稱，且過點(diǎn)(4,-4).

(1)求拋物線的方程；

(2)過點(diǎn)(2,0)的直線/與拋物線交于A,8兩點(diǎn)，若SA<MB=8,求直線/的方程.

解：(D由于拋物線關(guān)于x軸對稱且過(4,-4),

拋物線的焦點(diǎn)在x軸正半軸上，

設(shè)拋物線的方程為V=2px(p>0),

代入點(diǎn)(4,-4),16=8p,

可得p=2,

，拋物線的方程為尸=4工

(2).可設(shè)直線/的方程為m.y=x-2,即x=my+2,

設(shè)A(xi，yi),B(X2，”)，

=?消去x可得y-4加y-8=0，yi+y2=4〃z,yi”=-8,

22

SAOAB=x2\y1—y2\—J(%+y2)2-4yly2—V16m4-32=4>Jm4-2=8.

可得"P=2,.*.m=±V2,

：.l：x±y/2y-2=0.

2.已知函數(shù)f(x)=:若'g(X)=2/nx+2a(〃6R).

(1)求/G)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：存在(0,1),使得方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.

解：(1)由得/(X)=%2+2ax丁aw“).

“十0(x+a)

令y=/+2ar-。，則由△=4a2+4〃W0,得

:?/(x)20在(-8,-。)u(-。，+8)上恒成立，

當(dāng)a<-1或a>0時，由x1+2ax-a>0,得x>—a+y/a2+a或％V—a—y/a24-a,

由/+2ar-aVO,得一a—Va2+a<%<—a+Va2+a,

??.當(dāng)-IWaWO時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,—〃)，(-a,+oo).

當(dāng)〃V-1或。>0時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(―co,—a—Va2+a),(—a4-Va2+a,

+oo),

單調(diào)遞減區(qū)間為(—Q—y/a2+ci/—a),(—a,—a+y/a2-Va).

第1頁共54頁

(2)令h(x)=f(x)—g(x)=:；1—2仇)—2a(x>l),

則當(dāng)所(0,[)時，h'Q)=(x+2a)[x-(l-yir^][x-(l+/Ti:^].

(x+a)zx

令/f(x)=0,則無=1++a,

???當(dāng)ivxvi+VFT^時，n(%)<0；當(dāng)i+VTT^<r時，"G)>0,

：.h(X)在(1,1+ATZ)上單調(diào)遞減，在(1+ar^,+8)上單調(diào)遞增，

/./i(x)min=/i(l+Vl+a),又fi(1)=1-2a,當(dāng)OVaV4時,h(x)<0,

當(dāng)時，取x=e2,則工-2濃-2=/-4-2=?2-6>0,即〃(e?)>0,

又力(x)在(1+JITH,+8)上單調(diào)遞增，/i(x)mn=/i(l+VlTa)<0,

.?.由零點(diǎn)存在性定理知，/?(x)在(1+廳/，+8)上存在唯一的零點(diǎn)，

1

???當(dāng)@工2時，方程人(X)=0在(1,4-OO)上有唯一解，

即存在(0,1),方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.

3.已知函數(shù)/'(%)="—lnx(m,nGR).

(I)若函數(shù)f(x)在(1,/(D)處的切線與直線x-y=O平行，求實數(shù)〃的值;

(II)若〃=1時,函數(shù)/(X)恰有兩個零點(diǎn)XI，X2(0<Xl<X2)，證明：X|+X2>2.

解：(I)因為/'(x)=￡-g且切線與直線x-y=o平行，

可得/(1)=n-1=1,

所以n=2；

1

(II)證明：當(dāng)〃=1時，f(x)=m---lnx,

1

---

m勺lnx1=0①

由題意知?1

---

上=。②

mlnx2

②一①得：lnx—lnx二%2一%1

21XiXo

紅一1

即ln-^=-..，③

%2

令《=答，則12=內(nèi)，且，＞1,

X1

又因為%1+X2=X1+/X1=(1+/)XI,由③知：Int=

所以x】=導(dǎo)(t>l)，

第2頁共54頁

要證XI+X2>2,

只需證(1+t)扁>2,

t2-l

即證一^->2lnt,

1

即￡———2"￡>0,

2

令/i(t)=t—：—2"￡(七>1),則九'(t)=~~~>0,

所以〃(/)在(1,+°°)上單調(diào)遞增且〃(1)=0,

所以當(dāng)tE(1,+8)時，h(/)>0,

即XI+X2>2.

4.己知函數(shù)/(x)=ax+bvc+\,

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)對任意的x>0,不等式f(x)Wd恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

解：(1)定義域為(0,+8),f(x)=a+i=^l,

①若”20,則/(x)>0,f(x)在(0,+8)遞增，

②若aVO,則尸(x)="(：五)，f(x)在(0,-i)遞增，在(-i,+8)遞減，

綜上知①a20,/(%)在(0,+8)遞增，

②。<0,f(x)在(0,-J)遞增，(一，+8)遞減；

(2)不等式or+/"x+lW，恒成立，等價于a<竺當(dāng)曰在(0,+8)恒成立，

令以為=竺二皿二1,%>0,則g，(x)=…廣叫

%X

1

令〃(x)=(x-1)x>0,hz(x)=xex+->0.

所以y=〃(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

而h(1)=0,所以燼(0,1)時，h(x)VO,即g'(尤)<0,y=g(x)單調(diào)遞減；

尤(1,+8)時，"(x)>0,即q(x)>0,y=g(x)單調(diào)遞增.

所以在x=l處y=g(x)取得最小值g(1)=e-1,所以aWe-1,

即實數(shù)〃的取值范圍是1}.

%2

5.在平面直角坐標(biāo)系中，A、B分別為橢圓「：—+y2=1的上、下頂點(diǎn)，若動直線/過

點(diǎn)P(0,h)且與橢圓r相交于C、。兩個不同點(diǎn)(直線/與y軸不重合，且C、

第3頁共54頁

。兩點(diǎn)在y軸右側(cè)，C在。的上方)，直線A。與BC相交于點(diǎn)。.

(1)設(shè)「的兩焦點(diǎn)為Fi、尸2，求/F1A3的值；

T2T

(2)若6=3,且PC=*PC,求點(diǎn)。的橫坐標(biāo);

(3)是否存在這樣的點(diǎn)尸，使得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒為?若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不

存在，請說明理由.

解：(1)由橢圓「的方程知，F(xiàn)i(-1,0),F2(1,0),A(0,1),則/04&=45。,

/?ZFIAF2=90°；

(2)若〃=3,設(shè)C、。的兩點(diǎn)坐標(biāo)為C(尤1,yi),D(%2，”),

VPTD=|3PCT,

.3333

丫213)=2(X「%—3),即％2=2%1，丫2=2%—2，

X2

而。(xi，y\),D(%2?”)均在］~+y9=1上，

%j+2yJ=2

解得力=看

代入得92,9,,、2

512+退_1)2=2?

：.y2=分別代入「解得，%1=1/*2=g，

直線BC的方程為y=2x-1,直線A。的方程為y=-x+1,

聯(lián)立{:：:二,解得X=|,

2

；.Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為三

(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,設(shè)直線/的方程為y=fcr+8(無<0,&>1),

點(diǎn)C,。的坐標(biāo)為C(xi,yi),D(X2,”)，

v—kx_i_b

2-c2—得(2必+1)/+4妨%+2廿-2=0,由4=16必啟-8(22+1)(廿-1)

{X1+2y/=2

第4頁共54頁

＞0,得/￡2＞為±

卜1+%=

24夕’2

由（7,2r+1，可得上修久2=與5一。1+工2），

2b—2/D

IX1%2=-2F2+-1

直線8C的方程為y=&%x-l,直線AO的方程為y=-x+l,

X1x2

一（y=^r^x~1,

而x\y2=kxm+bx],12yl=kx\X2+bx2,聯(lián)立，\，得y=

[y=^rx+1

（巧及+卬1）+（%2-Xl）_2kxi町++。1+彳2）+（丫2-％1）_（Xi+X2）+b（X2-X。_1_1

2

（x2y1-x1y2）+（^i+^2）—匕。2-勺）+（勺+犯）-b（,x2-x1）+b（x1+x2）~b~3,

則6=3＞1,因此，存在點(diǎn)P（0,3）,使得點(diǎn)。的縱坐標(biāo)恒為

6.已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，一個頂點(diǎn)為（0,1）,離心率e=等，過橢圓的右焦點(diǎn)尸的

直線/與坐標(biāo)軸不垂直，且交橢圓于A,B兩點(diǎn)

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）當(dāng)直線I的斜率為,時，求弦長以用的值.

（III）設(shè)M3”，0）是線段。尸（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）上一個動點(diǎn)，且（總+而）求

〃，的取值范圍.

解：（I）由題意可得b=l,e=：=等，c2=a2-b2,

解得：/=5,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y+y2=l；

（II）由（I）可得：右焦點(diǎn)F（2,0）,

1

由題意設(shè)直線/的方程：＞—2（x-2）,B|Jx=2y+2,設(shè)A（xi,y\）,B（孫）2）,

%=2y+2

聯(lián)立直線與橢圓的方程：好，整理可得：第+8廠1=0,力+”=Y，yi），=一）

—4-yz=1*'

4

64+-=-

所以弦長|AB|=+丫2）2-4yly2=q.8199

1075

即弦長|A用的值

（III）由（I）的右焦點(diǎn)尸（2,0）,由題意可得0〈朋＜2,

第5頁共54頁

設(shè)直線/的方程為x=/>+2,設(shè)4（xi,yi）,B（X2,>2）,

%=ty+2

聯(lián)立直線/與橢圓的方程：必，整理可得：（5+P）），2+4（y-1=0,

（虧+y=i

—4t—120

y[+y2=-~~2?37072=~~2，為+"2=/（刃+”）+4=--XI72=1（>1-”）

JILJIL。IL

—>T

MA+MB=Cxi-m,y\）+（X2-m,y2）=（xi+%2-2m,yi+y2）,

AB=（x2-xj,”-yi）,因為（總+詁），

所以（jq+x2-2加）?（12-xi）+（yi+y2）*（）72-y\）=0，

整理可得：（-7-2myt一一與=0,阜0,

5+t25+r

所以可得尸=3-5>0,解得：加只，

所以可得：Of?，，

6

所以，〃的取值范圍（0,-）.

7.已知項數(shù)為（〃?eN*,m22）的數(shù)列｛斯｝滿足如下條件：①0rlGN*（〃=1,2,…，〃?）；

@ai<a2<"'<am-若數(shù)列｛加｝滿足b=（ai+a2,_；am）'山河",其中n—1,2,???,

m,則稱｛瓦｝為｛斯｝的“心靈契合數(shù)列”.

（1）數(shù)列1,5,9,11,15是否存在“心靈契合數(shù)列”，若存在，寫出其“心靈契合數(shù)

列”；若不存在，請說明理由；

（2）若｛為｝為｛斯｝的“心靈契合數(shù)列”，判斷數(shù)列｛尻｝的單調(diào)性，并予以證明；

（3）已知數(shù)列｛詼｝存在“心靈契合數(shù)列”｛瓦｝,且0=1,-=1025,求〃?的最大值.

解：（1）數(shù)列1,5,9,11,15不存在“心靈契合數(shù)列”，；1+5+9+11+15=41.bi=苔〃=10,

,41-5?,41-9。,41-1115八/

歷=寫了=9,為=百丁=8,%=4丁二產(chǎn).

...數(shù)列1,5,9,11,列不存在“心靈契合數(shù)列”.

（2）數(shù)列｛瓦｝為單調(diào)遞減數(shù)列.?.?加+1-氏=寫竽,1,〃6N*.又

V…〈麗????〃〃-〃〃+1<0..,?樂+1〈d，，數(shù)列｛6〃｝為單調(diào)遞減數(shù)列.

f

（3）hi-bj=~~TYb\>bi>....>%..?bi-bj&C9:?bi-

bj=,.\b]-bm=舞卷1=,?1bn-1-bn=歹EN*/.an--12相

第6頁共54頁

-1.

又am-a\=(am-am-1)+(am-1-am-2)+.......+(。2-)+。12(m-1)+(m-1)+........

+(機(jī)-1)=(/n-1)2.

1024火

:.(77?-l)29^1024,即MW33.又----GN,..??〃2W33.

m-1

33

例如：即=32〃-31,(1W〃W33),此時，歷尸王要匕色=一〃+5306N*,且數(shù)列{〃”}

為單調(diào)遞減數(shù)列，故滿足題意.

：.m的最大值為33.

8.設(shè)數(shù)列A：a\,。2，(心3)的各項均為正整數(shù),且aiWazW…Wa”.若對任意依{3,

4,???,n),存在正整數(shù)i,/(1WiWj<氏)使得徽=s+句，則稱數(shù)列A具有性質(zhì)T.

(I)判斷數(shù)列4：1,2,4,7與數(shù)列A2：1，2,3,6是否具有性質(zhì)7；(只需寫出結(jié)

論)

(II)若數(shù)列4具有性質(zhì)T,且m=l,6=2,an—200,求”的最小值：

(III)若集合S={1,2,3,2019,2020}=SIUS2US3US4US5US6，且SCSj=9

(任意i,代{1,2,--6},學(xué)j).求證：存在&,使得從S,中可以選取若干元素(可

重復(fù)選取)組成一個具有性質(zhì)T的數(shù)列.

解：(I)：3W1+1,...1,3,4,7不具有性質(zhì)P；

"：2=1+1,3=1+2,5=2+3,Al,2,3,5具有性質(zhì)P,

即數(shù)列4不具有性質(zhì)7,數(shù)列A2具有性質(zhì)T.

(II)由題意可知，42=2,。342。2=4,4442。3《8,,,,,“842。74128,.,.n>9.

右〃=9,■；。9=200且。942。8，??128》“8》100，

同理，64》。7》50,32》<%>25,16》公》12.5,8》。4》6.25,4》。3》3.125,

；數(shù)列各項均為正整數(shù)，；.的=4,...數(shù)列前三項為1,2,4.

?.?數(shù)列A具有性質(zhì)T,04只可能為4,5,6,8之一,而又???8》“4》6.25,.,.44=8,

同理，有45=16,<26=32,47=64,48=128,

此時數(shù)列為1,2,4,8,16,32,64,128,200.

但數(shù)列中存在使得200=3+為，

,該數(shù)列不具有性質(zhì)T,

當(dāng)〃=10時，取A：1,2,4,8,16,32,36,64,100,200(構(gòu)造數(shù)列不唯一)，

A：1,2,4,8,16,32,36,64,100,200,

第7頁共54頁

經(jīng)驗證，此數(shù)列具有性質(zhì)T,：.n的最小值為10.

(III)假設(shè)結(jié)論不成立，即對任意Si(i=l,2,…，6)都有：

若正整數(shù)a,beS"a<b,貝Ub-a^Si，

否則，當(dāng)a<i時，a,。-小b是一個具有性質(zhì)T的數(shù)列；

當(dāng)a>b-a時，b-a,a,b是一個具有性質(zhì)T的數(shù)列；

當(dāng)時，a,a,人是一個具有性質(zhì)T的函數(shù).

(/)由題意可知，這6個集合中至少有一個集合的元素個數(shù)不少于337個，

不妨設(shè)此集合為5i>從Si中取出337個數(shù)，記為a\,ai,???,0337且ai<a2<",<

4337，

令集合M={碩7-2,…，336}US.

由假設(shè)，對任意i=l,2,336,“337-a任Si，/.MCS2US3US4US5US6，

(")在S2,S3,S4,S5,56中至少有一個集合包含N\中的至少68個元素，

不妨設(shè)這個集合為$2,從S2nNi中取出68個數(shù)，記為hi,歷，…，慶8，且h\<b2

<…<%8，

令集合N2=(b63-bi\i=l,2,67}CS.

由假設(shè)b(,s-bi^Si)

對任意k=\,2,…，68,存在s底{1,2,336}使得bk=a337-aSk，

—aaa=aa

??對任意i—2,…，67,b(,s—bi=(CI337s68)~(i37~si)si-s68,

由假設(shè)％—a$684Si，b66-bi^.S1,/>68_bi^S1US2,

.?.N2US3US4US5US6.

(/?)在S3,S4,S5，S6中至少有一個集合包含N1中的至少17個元素，

不妨設(shè)這個集合為S3,從S3CN2中取出17個數(shù)，

記為Cl,C2,???,C17,且C1<C2<,,"<C|7，

令集合N3={ci7-Ci『=l,2,…,16)CS,

由假設(shè)cii-CiCS3,對任意k=T,2,???,17,存在ae{1>2,…，67}使得以=b68-btk，

對任意i=L2,16,c17-Ci=(Z?68-Z?il7)-(h68-bt.)=bt.-bii7,

同樣，由假設(shè)可得瓦，一瓦I?/SiU52，，ci7-CiCSiUS2US3,

...N3US4US5US6.

(VO同樣，在S5，S6中至少有一個集合包含N4中的至少3個元素，

第8頁共54頁

不妨設(shè)這個集合為S5，從S5nN4中取出3個數(shù)，記為ei，e2,e3,且ei<e2<e3,

同理可得Ns={e3-ei，e3-e2}=S6.

(Vi)由假設(shè)可得e2~ei—(e3-ei)-(03-02)部6，

同上可知，e2-ei￡SiUS2US3US4US5，

而又,?F-eiWS,二。2-eiCS6，矛盾.

.假設(shè)不成立，，原命題得證.

X

9.已知函數(shù)/(x)=x+a'g=21rvc+2a(”eR).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：存在(0,1),使得方程f(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.

解：(1)由,f(x)得［⑺二必+2"丁a4“).

“十0(x+a)

令'=』+2以-。，則由△=4J+4QW0,得-IWaWO,

:(x)20在(-8,-〃)U(-〃，+8)上恒成立，

當(dāng)a<-1或〃>0時，由/+2ar-a>0,得x>—a+一曲+?；颍?lt;?-a—、心+

由/+2分-?<0,得一a—Va24-a<x<—a+Va24-a,

???當(dāng)-iWaWO時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-〃)，(一。，+8)；

當(dāng)aV-1或a>0時，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,_a_'a2+a),(-a+Va2+a,

+oo),

單調(diào)遞減區(qū)間為(—a—7cfi+a,—a),(—a,—ci4-Va2+Q).

y2I

(2)令九(%)=/(》)-g(%)=2仇％—2a(x>l),

則當(dāng)加(0,1)時，h'(x)=、+2a)--(l—許)一(lt/I^U.

(x+a)zx

令"(x)=0,則x=l+VTTS,

.,.當(dāng)1<XV1+VTTH時，K(x)<0；當(dāng)l+VTT^<r時，/?'(x)>0,

:.h(x)在(L1+VTT怎)上單調(diào)遞減，在(1+VTTH,+8)上單調(diào)遞增，

=h(l+V1+a),又〃⑴=1-2a,當(dāng)OVaV1時,h(x)<0,

當(dāng)aN*時，取x=J,則x-2阮L2=e2-4-2=J-6>0,即力(e?)>0,

又〃(x)在(1+SFTH,+00)上單調(diào)遞增，/i(x)mn=h(l+VlTa)<0,

...由零點(diǎn)存在性定理知，h(x)在(1+VTT^,+8)上存在唯一的零點(diǎn)，

第9頁共54頁

???當(dāng)時，方程力(x)=0在(1,+oo)上有唯一解，

即存在(0,1),方程/G)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.

10.已知函數(shù)f(x)=/-2bx-Inx.

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)設(shè)若/(X)在xo處有極值，求證：f(xo)<|(l+/w2).

(I)解：由題得/(x)的定義域為(0,+8),

wZ\o”12x2-2bx-l

f(x)—2x-2b——=----------,

,xx

由/(x)>0,得x>2f上2；

由/(%)<0,得0Vx-2,

b+7b2+2b+?2+2

所以函數(shù)/(x)在(0,---)上單調(diào)遞減，在(---,+8)上單調(diào)遞增.

(II)證明：由(I)得，函數(shù)/Xx)在》=地里處取得極小值，

所以當(dāng)XO=地里時，極小值為f(xo),

因為/(沏)=2至警二1=o,

x0

所以2bx()=2延—1,

因為xo>O,

所以2詔—1NO,可得xoN孝，

所以/(AO)=%o-2Zzxo+阮w=XQ—(2%Q—1)-lnxo=-XQ-/nxo+l,

9V2

令函數(shù)g(x)=-JT-lwc+1,XG[—,+8),

則g'(x)=-2x-i<0,

所以函數(shù)g(x)在[j,+8)上單調(diào)遞減，

y/21y/211

所以g(無)Wg(一)=—?—In—+1=5+亍歷2,

2/2乙乙

因此,(jco)<(1+/〃2).

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動直線A8交拋物線「：/=4x于A,B兩點(diǎn).

(1)若/408=90°,證明直線48過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；

(2)點(diǎn)"為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)”作與y軸垂直的直線交拋物線「：丫2=以于c點(diǎn)；點(diǎn)

第10頁共54頁

N為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)N作與y軸垂直的直線交拋物線「：y2=4x于點(diǎn)P.設(shè)△ABC的

面積Si，ZSAPC的面積為S2.

(i)若A8過定點(diǎn)(2,1),求使Si取最小值時，直線A8的方程；

(")求'■的值.

52

解：(1)證明：由題意可設(shè)直線AB的方程為x=)+",

代入拋物線的方程y2=4x,可得y2-4(y-4/n=0,

△=16p+16〃?>0,即?+/>(),

設(shè)A(xi，y\),B(X2，>2)，則yi+?2=4f,y\y2="4/n,

由NAO5=90°,所以&?b=0,即xiX2+y,2=0，

]]]i

又為=白/，^2=^22，所以/)“2"2+),]”=0,

故yiy2=-16,所以-4加=-16,即m=4,

因此直線AB的方程為x=/y+4,

該直線恒過定點(diǎn)(4,0)；

(2)(i)因為AB過定點(diǎn)(2,1),所以由(1)可得2=什機(jī)，即機(jī)=2-f，

△=16於+16m=16(?-Z+2)>0恒成立，yi+”=4l,yiy2=-4m=4f-8,

由題意可得M(X,?)，c(如也i,紅生)，

22162

所以==

zloZ1616

所以5i=i|CM|-|yi-*1=今|凹-"P，

因為M-"1=JCXi+先)2—4yly2=Jl6t2-4(4￡-8)=4Vt2-t4-2>2^7,此時t=1

時，等號成立.

所以51=各)，1-”|32+?(2近)3=勺2,

,7y[712

當(dāng)51取得取小值---時，/=亍m=亍

4/乙

直線AB的方程為x=即2x-y-3=0；

(ii)由題意可得5i=W。必?|/1-S2=利科?力L”1，

由(2)(/)可得|CM=必?渭廣(此處“可以理解為A,8兩點(diǎn)處的縱向高度差)，

第11頁共54頁

（物1-加）2

同理可得|PN|=16

由（力可得（此處M-”l可以理解為A,8兩點(diǎn)的縱向高度差）,

11

由題意同理可得$2=貶（聲-”|）0\

=8,

12.且過點(diǎn)(―1,^).

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)P（x,y）為橢圓C上的動點(diǎn)，尸為橢圓C的右焦點(diǎn)，A、8分別為橢圓C的左、

右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸'滿足際'=（4-x,0）.

匹，|

①證明:,為定值;

\PF\

②設(shè)Q是直線/：x=4上的動點(diǎn)，直線AQ.BQ分別另交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求附Q+|NF|

的最小值.

19

解：⑴由題意可得a=2c,我+市=1，。2=展，

解得：O2=4,b2=3,

所以橢圓的方程為：丁X2+上V2卜

(2)由(1)可得A(-2,0),8(2,0),F(1,0),

第12頁共54頁

V”

①_因為P(x,y)為橢圓C上的動點(diǎn)，點(diǎn)P'滿足PTP'=(4-x,0),所以久一'+二=1；

43

—>

所以|PP'|=|4-x|

|P尸|=yf(x-l)2+y2-J(x-l)2+3(1-a)=-2%+4=,J(x-4.=品-

4|，

所以：叵1=0=2,

\PF\

所以可證」\PPI1\為定值2.

|PF|

②由題意設(shè)。(4,f),所以以。=擊=：,所以直線AQ的方程為：y=lG+2),

（）

聯(lián)立直線4Q與橢圓的方程：f=6X+2整理可得：（27+尸）/+4尸+4尸-]08,

,3x2+4y2-12=0

4產(chǎn)一108-2t2+54

所以-2?x”=所以XM-

27+t227+t2

同理依。=苴『5，所以直線8Q的方程：＞-1（X-2）,

y=2(x—2)整理可得：(3+尸)』-44+4?-12=0,

2

3/+4y-12=0

所以2XN=-----5-?所以XN=——母，

3+/3+r

因為x=4為右準(zhǔn)線，所以由到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率e=/,可得：

111XKA^~XM_產(chǎn)+2712—3

\MF]^\NF\=5(4-工例)+5(4-XN)=5(8-XM-XN)=4—N=4-(----------+------)

222227+t23+t2

/4848

=4------->4------7=-----=3o,

產(chǎn)9+號Q1+302?+30

當(dāng)且僅當(dāng)『=81,即/=±3時取等號.

所以|Mfl+|NF|的最小值為3.

第13頁共54頁

13.正整數(shù)數(shù)列｛斯｝的前”項和為S,”前〃項積T”，若3^*(i=l，2,…〃)，則稱數(shù)

St

列｛斯｝為“Z數(shù)列”.

(1)判斷下列數(shù)列是否是z數(shù)列，并說明理由；

①2,2,4,8；②8,24,40,56.

(II)若數(shù)列｛劭｝是Z數(shù)列,且42=2.求S3和73；

(III)是否存在等差數(shù)列是Z數(shù)列？請闡述理由.

解：(I)(D由題意可知51=2,52=4,$3=8,54=16,八=2,4=4,73=16,0=128,

所以馬■=1,三=1,匹=2,—=8,

S]S2S3s4

所以①是Z數(shù)列；

②由題意可知51=8,S2=32,S3=72,S4=128,力=8,4=192,兀=7680,74=430080,

所以”=1，

Zk=6,—,106.67至N*,

$3

所以②不是z數(shù)列;

(II)數(shù)列｛斯｝是Z數(shù)列，且42=2.設(shè)￡=B^=keN*,

即2ai=ka\+2k,

Ob

所以(2-k)ai=2k,即0=抖6]\*,所以k=l,則m=2,

乙一K

=噩=6*，則”3=黑。*'，=1,2,3,

所以當(dāng)，=1時，顯然不成立，

當(dāng)，=2時，。3=4,成立，

當(dāng)f=3時，々3=12,成立，

所以當(dāng)。3=4,53=8,73=16；當(dāng)43=12,53=16,△=48；

(III)假設(shè)存在等差數(shù)列｛斯｝為是Z數(shù)列，

第14頁共54頁

由等差數(shù)列的定義可得至少存在三項a,4c,成等差數(shù)列，即有巴=l，3eN*,—*=

aa+ba+b+c

ac

—GN*,

3

ac

由〃+c=2。，可得w6N*,可得〃，c中至少有一個為3的倍數(shù)，

abc3bQ

可設(shè)。=3,則------=c€N*,只要----=3-可得b=6,。=9,即3,6,9

a+b+c3+bb+3

成等差數(shù)列，且為Z數(shù)列；

abc6bRA

若a=6,則------=2c€N*,只要----=6--rvz^N*,可得8=6,c=6,即6,6,6成

a+b+c6+bb+6

等差數(shù)列，且為z數(shù)列；

或6=12,c=18,即6,12,18成等差數(shù)列，且為Z數(shù)列；或6=30,c=54,即6,30,

54成等差數(shù)列，且為Z數(shù)列；

同樣a=9,12,…，3"("6N*),…可得4c的值，使得它們成等差數(shù)列，且為Z數(shù)列.

綜上可得存在等差數(shù)列是Z數(shù)列.

14.函數(shù)/(x)滿足：對任意a,pGR,都有/(4)=qf(B)+p/(a),且/(2)=2,數(shù)

列｛?。凉M足斯=f(2")(?6N+).

(1)證明數(shù)列｛愛｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)記數(shù)列｛尻｝前〃項和為S,”且力尸皿誓，問是否存在正整數(shù)加，使得(〃計1)(S”

-4)+19狐＜0成立，若存在，求機(jī)的最小值；若不存在，請說明理由.

解：(1)?.?數(shù)列｛斯｝滿足a”=/(2")(〃eN+),

:.ci1=f(2)=2,

又???對任意a,peR,都有f(耶)=好(0)+伊(a),

,,+1n

：-an+\=f(2)=4(2")+2f(2)=2“"+2”+1,

兩邊同時除以2向得：器一言=1，

???數(shù)列就為等差數(shù)列，首項為號=1，公差為1，

=n,即即=〃?2".

2n

(2)由(1)可知力=以誓=等，

anL

ill11

得：Sn=2x1+3x—4-4x—+…+x幾_]+(幾+1)x

222z

第15頁共54頁

11111

-S=2x—+3x—++nx—4-(n+l)x1,

2n22232n2n+1

—-1111113n+3

兩式相減得=~r+T7+???+-(n+1)X——■+-=--,

2n21222n2n+1222n+1

?c_Q-+3

?,一$2^~?

假設(shè)存在正整數(shù)處使得(/n+1)(Sm-4)+19源VO成立，即2"'+機(jī)-16>0,

由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)單調(diào)性知：F(M=2"'+,"-16,〃?CN+為增函數(shù).

又,：F(3)=23+3-16=-5<0,F(4)=24+4-16=4>0,

當(dāng)相24時恒有F(優(yōu))=2'n+m-16>0成立.

故存在正整數(shù)機(jī)，使得(/n+1)(S,?-4)+19源<0成立，，〃的最小值為4.

1

15.已知函數(shù)/(x)=：-x+〃加c.

(I)求/(x)在(1,/(1))處的切線方程(用含a的式子表示)

(II)討論/(X)的單調(diào)性；

(III)若"x)存在兩個極值點(diǎn)R，X2,證明："勺)一”"2)Va-2.

解：(I)(x)=i—x+alnx(x>0),

：.f(x)=二/士盧1(x>o),

xL

.?.當(dāng)x=l時，,f(1)=0,/(1)=-2+a,

設(shè)切線方程為y=(-2+a)x+b,代入(1,0),得6=2-4，

：.f(x)在(1,/(D)處的切線方程為y=(-2+67)x+2-a.

(II)函數(shù)的定義域為(0,+8),

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，(x)=弋尸_,

設(shè)g(x)=-/+or-1,注意到g(0)=-1,

①當(dāng)。W0時，g(x)V0恒成立，即/(x)V0恒成立，此時函數(shù)/(x)在(0,+8)

上是減函數(shù)；

②當(dāng)〃>0時，判別式△=/-4,

1°當(dāng)0VaW2時，△《()，即g(x)WO,即/(x)<0恒成立，此時函數(shù)/G)在(0,

+°°)上是減函數(shù)；

,,人~、心a-yJa2-4a+Ja2—4

2°時，令/(x)>0,得：VxV-------；

2/

第16頁共54頁

令/G）<0,得：0<xV土牡或x>空甘；

a-y/a2-4a+Va2-4a-Va2-4

???當(dāng)tz>2時，/（x）在區(qū)間（---------，---------）單調(diào)遞增，在（0,--------)，

222

a+ya^-4

（---------，+8）單調(diào)遞減；

2

綜上所述，綜上當(dāng)時，/（x）在（0,+8）上是減函數(shù),

,..CL—ylci^—4Q+'x/a、-4

當(dāng)〃>2時，在（0,---------）,（---------，+8）上是減函數(shù),

22

八一、a-Va2-4a+Va2-4,0?一皿

在區(qū)間（---------，---------）上是增函數(shù).

22

(III)(2)由(1)知。>2,0<Xl<l<X2,XlX2=h

11

貝Uf(為)~f(X2)=----x\+alnx\-[——X2+〃/〃K2]

X

1%2

1

=(%2-xi)(H------)+aUnx\-lnxi)

xlx2

=2(%2-xi)+〃(/nxi-/?X2),

m(%2)ia(/nx1-Znx2)

則-----------=-2+----^―----，

%1~%2Xl-X2

則問題轉(zhuǎn)為證明絲士3<1即可,

即證明lnx\-lnxi>x\-X2f

11

則lnx\-In—>x\---,

x14

即lnx\+lnx\>xi——,

X1

1

即證2/〃為>xi-h在(0,1)上恒成立，

X1

i

設(shè)人(%)=2阮”X+丁，(0<%<1),其中/z(1)=0,

X1

求導(dǎo)得h'(x)=--l-^=-x2~22+1=-^^-<0,

xxLXLXL

則h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

:?、艁V⑴，即2仆x+L

1

故2