數(shù)學(xué)教材習(xí)題點(diǎn)撥：離散型隨機(jī)變量的均值與方差

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精教材習(xí)題點(diǎn)撥1．？根據(jù)兩點(diǎn)分布的均值公式,如果罰球命中概率為0。8，那么罰球1次的得分均值是多少?解答：罰球一次的得分均值為0。8分．2．思考：學(xué)生甲在這次單元測(cè)試中的成績(jī)一定會(huì)是90分嗎？他的成績(jī)的均值為90分的含義是什么？解答:不一定會(huì)是90分，他的成績(jī)是一個(gè)隨機(jī)變量，可能取值為0,5，10,…，95,100.這個(gè)隨機(jī)變量的均值為90分，其含義是在多次類(lèi)似的考試中,他的平均成績(jī)大約是90分．3．思考：如果其他班級(jí)參賽選手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右，本班應(yīng)該派哪一名選手參賽？如果其他班級(jí)參賽選手的成績(jī)?cè)?環(huán)左右，又應(yīng)該派哪一名選手參賽？解答：如果其他班級(jí)參賽選手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右,而本班的兩名候選人的平均成績(jī)只有8環(huán)，要想取勝或不輸，本班的選手必須超常發(fā)揮．一般來(lái)講，方差越大的隨機(jī)變量,超常發(fā)揮的可能性越大，因此應(yīng)該派第一名同學(xué)參賽．如果其他班級(jí)參賽選手的成績(jī)?cè)?環(huán)左右，要想取勝或不輸,本班選手的射擊成績(jī)最好能以較大的概率穩(wěn)定在8環(huán)左右．在這種情況下，由于本班的兩名候選人的平均成績(jī)只有8環(huán)，因此選擇射擊成績(jī)更集中于8環(huán)的選手,即選擇方差小的選手獲勝或不輸?shù)目赡苄源?，所以?yīng)選第二名同學(xué)參加比賽．4．探究：你能證明下面結(jié)論嗎？DaX＋b＝a2DX）解答：能．證明如下:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn由Y＝aX＋b（a，b為常數(shù)）知Y也是離散型隨機(jī)變量,Y的分布列為Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn由數(shù)學(xué)期望的線(xiàn)性性質(zhì)得E（Y)＝aE(X）＋b，于是D（aX＋b)＝D（Y）＝＝．練習(xí)11．解：不一定．比如擲一枚硬幣,出現(xiàn)正面的次數(shù)X是隨機(jī)變量，它取值0,1,取每個(gè)值的概率都為0。5，其均值是0.5.再比如隨機(jī)變量X的分布列為X－1010P0。40.6X的均值是2.2．解：E(X)＝0×0。1＋1×0。2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＋5×0.1＝2。3。3．解:X的分布列為X－11P0.50。5所求值為E(X）＝－1×0。5＋1×0.5＝0。4．解：第1臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)零件的平均次品數(shù)E(X1)＝0×0。4＋1×0。3＋2×0.2＋3×0.1＝1，第2臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)零件的平均次品數(shù)E（X2）＝0×0。3＋1×0。5＋2×0.2＝0.9.因?yàn)榈?臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)零件的平均次品數(shù)E（X2）小于第1臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)零件的平均次品數(shù)E（X1）,所以第2臺(tái)機(jī)床更好，其實(shí)際含義是隨著產(chǎn)量的增加，第2臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)出的次品數(shù)要比第1臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)出的次品數(shù)少．5．解：同時(shí)拋擲5枚質(zhì)地均勻的硬幣，相當(dāng)于做5次重復(fù)試驗(yàn),出現(xiàn)正面向上的硬幣數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(5,0.5)，所以E（X)＝np＝5×0。5＝2.5.評(píng)注：在教材中已給出二項(xiàng)分布的期望,本題可以直接利用這個(gè)結(jié)果．練習(xí)21．解:E(X)＝0×0。1＋1×0。2＋2×0。4＋3×0.2＋4×0。1＝2,D（X）＝（0－2）2×0.1＋（1－2)2×0。2＋(2－2)2×0。4＋(3－2）2×0。2＋（4－2）2×0.1＝1。2，≈1。095.2．解：E(X)＝c×1＝c，D(X)＝（c－c）2×1＝0.3．解：隨機(jī)變量的方差反映隨機(jī)變量的取值穩(wěn)定(或偏離)于均值的程度．方差越大,隨機(jī)變量的取值越分散,方差越小，隨機(jī)變量的取值越集中于均值附近．通常在均值相等的情況時(shí)要比較方差的大小．如從甲、乙兩名射擊選手中選出一位參加比賽．已知甲、乙的均值都是9環(huán)，甲的方差是3，乙的方差是5，則甲比乙的射擊技術(shù)穩(wěn)定，派甲參賽更合適．習(xí)題2.3A組1．解：E(X）＝－2×0。16＋1×0.44＋3×0.40＝1。32.E（2X＋5）＝2×E(X)＋5＝7。64.D(X)＝（－2－1.32)2×0.16＋(1－1.32）2×0.44＋(3－1.32）2×0。40＝2。9376?！?.7139.2．解：E(X）＝0×＋1·a＋2·b＝a＋2b＝1，又＋a＋b＝1，∴a＝，b＝。3．解：在同樣的條件下連續(xù)射擊10次,相當(dāng)于做10次重復(fù)試驗(yàn),擊中靶心的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(10,0。9)，所以E（X)＝np＝10×0。9＝9.4．解:設(shè)X表示一張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)金額,則它的分布列為X210501001000P0。10。030.010。0050.0005其數(shù)學(xué)期望為E(X）＝2×0。1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0。005＋1000×0。0005＝2。5．解：E（X1)＝6×0。16＋7×0。14＋8×0.42＋9×0。1＋10×0。18＝8，D（X1）＝（6－8）2×0。16＋(7－8）2×0。14＋（8－8)2×0。42＋（9－8)2×0。1＋（10－8）2×0。18＝1.6，E(X2）＝6×0.19＋7×0。24＋8×0.12＋9×0.28＋10×0。17＝8，D(X2）＝(6－8)2×0。19＋（7－8）2×0。24＋(8－8)2×0.12＋(9－8)2×0.28＋(10－8）2×0。17＝1。96.因?yàn)榧?、乙兩名射手的期望環(huán)數(shù)相等，而乙射手射擊的環(huán)數(shù)方差比甲射手射擊的環(huán)數(shù)方差大，所以可以說(shuō),甲、乙兩名射手射擊的平均水平?jīng)]有差別,在多次射擊中平均得分差別不會(huì)很大，但甲通常發(fā)揮比較穩(wěn)定．B組1．解:拋擲兩枚骰子，當(dāng)兩枚骰子都不出現(xiàn)5點(diǎn)和6點(diǎn)時(shí)的概率為。所以至少有一個(gè)出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率為。所以X～B，E（X)＝。2．解：設(shè)ξ表示一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)，則ξ～B（5,0.1),從而P(ξ＝k)＝0。1k0。95－k，k＝0，1，2，3，4，5，P(ξ＝0)＝×0。10×0。95＝0.59049，P（ξ＝1）＝×0.11×0。94＝0。32805,P（ξ＝2)＝×0。12×0.93＝0。0729，P（ξ≥3）＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝0。00856。用X表示所得利