專(zhuān)題98平行四邊形（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專(zhuān)題9.8平行四邊形（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）【知識(shí)點(diǎn)一】平行四邊形1定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.符號(hào)表示：平行四邊形用符號(hào)“?”表示.平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”基本元素：鄰邊：AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC對(duì)邊：AB和DC，AD和BC.鄰角：∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD.對(duì)角：∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC對(duì)角線(xiàn)：AC和BD

特別提醒：平行四邊形的表示一般按一定的方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）依次書(shū)寫(xiě)各頂點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)二】平行四邊形的性質(zhì)定理性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言邊平行四邊形的對(duì)邊平行且相等∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD角平行四邊形的對(duì)角相等∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC對(duì)角線(xiàn)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC=12AC,OB=OD=1

特別提醒：平行四邊形的每一條對(duì)角線(xiàn)將平行四邊形分為兩個(gè)全等的三角形如圖，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.平行四邊形被兩條對(duì)角線(xiàn)分割而成的四個(gè)三角形的面積相等，且構(gòu)成兩對(duì)全等三角形.如圖S△ABO=S△BCO=S△CDO=S

【知識(shí)點(diǎn)三】平行線(xiàn)間距離1.定義：兩條平行線(xiàn)中，一條直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離，叫做這兩條平行線(xiàn)間的距離.2.性質(zhì)（1）兩條平行線(xiàn)間的距離處處相等.如圖，直線(xiàn)a//b，過(guò)直線(xiàn)a上任意兩點(diǎn)A,B分別向b做垂線(xiàn)，交直線(xiàn)b于點(diǎn)C,D，所以AC//BD,又a//b，即兩條平行線(xiàn)間的距離處處相等.兩條平行線(xiàn)間的任何兩條平行線(xiàn)段都是相等的.如圖所示，直線(xiàn)l1//l2，AB//CD,則四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=CD.特別提醒：平行線(xiàn)間的距離和平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段是不同概念，不能混為一談.【知識(shí)點(diǎn)四】平行四邊形的判定定理判定定理符號(hào)表示邊兩組對(duì)邊分別相等的四邊形式平行四邊形∵AB=CD,AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形∵AD=BC,AD//BC∴四邊形ABCD是平行四邊形角兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC,∴四邊形ABCD是平行四邊形對(duì)角線(xiàn)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形∵AO=CO,BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形

特別提醒：若一條直線(xiàn)過(guò)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，則這條直線(xiàn)被一組對(duì)邊截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn).2.過(guò)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)將平行四邊形分成面積和周長(zhǎng)都相等的兩部分.【知識(shí)點(diǎn)五】平行四邊形的對(duì)稱(chēng)性平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心是兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)【考點(diǎn)目錄】【平行四邊形的性質(zhì)】【考點(diǎn)1】利用平行四邊形的性質(zhì)求值；【考點(diǎn)2】利用平行四邊形的性質(zhì)證明；【平行線(xiàn)間的距離】【考點(diǎn)3】利用平行線(xiàn)間距離相等進(jìn)行證明和求值【平行四邊形的判定】【考點(diǎn)4】利用平行四邊形的判定證明和求值；【平行四邊形的性質(zhì)與判定】【考點(diǎn)5】利用平行四邊形性質(zhì)與判定求值；【考點(diǎn)6】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明；【平行四邊形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用】【考點(diǎn)7】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用.【平行四邊形的性質(zhì)】【考點(diǎn)1】利用平行四邊形的性質(zhì)求值；【例1】（2023·廣東陽(yáng)江·三模）如圖，平行四邊形中，連接．（1）尺規(guī)作圖：作對(duì)角線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)，分別交，，于點(diǎn)M，O，N（不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）連接，，求證：；（3）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）詳見(jiàn)分析；（2）詳見(jiàn)分析；（3）【分析】（1）根據(jù)垂直平分線(xiàn)的作圖方法進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)證明即可；（3）根據(jù)，得出，根據(jù)勾股定理求出，即可求出結(jié)果．（1）解：如圖，即為所作；

（2）證明：∵垂直平分，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，，在和中，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，尺規(guī)作垂直平分線(xiàn)，勾股定理三角形全等的判斷和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形全等的判定方法．【變式1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，平分平分，且，相交于點(diǎn)O，若點(diǎn)P為線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義得出，，再證明為直角三角形，為中線(xiàn)，進(jìn)而解答即可．解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理可得，，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∵點(diǎn)P為線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴是的斜邊的中線(xiàn)，∴，故選：D．【變式2】（2023上·江蘇常州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的頂點(diǎn)A、B、D在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，先求出，再證明推出，進(jìn)一步求出，由平行四邊形的性質(zhì)得到，即軸，由此可得答案．解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，即軸，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故答案為：．【考點(diǎn)2】利用平行四邊形的性質(zhì)證明；【例2】（2023下·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┢叫兴倪呅沃校謩e平分和交于點(diǎn)交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）判斷和的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由【答案】（1）證明見(jiàn)分析；（2），理由見(jiàn)分析【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型；（1）證明，即可推出即；（2）證明，再利用平行四邊形的性質(zhì)，即可解決問(wèn)題；解：（1）證明：如圖，∵在平行四邊形中，，，分別平分和，，，即，，；（2）解：結(jié)論：線(xiàn)段與是相等關(guān)系，即，∵在平行四邊形中，，，又平分，，，同理可得，，又∵在平行四邊形中，，．【變式1】（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)相等 B．平行四邊形的對(duì)角互補(bǔ)C．有一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形 D．平行四邊形的對(duì)邊平行且相等【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．解：A、平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，不一定相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、平行四邊形的對(duì)角相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、有兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，故選項(xiàng)正確；故選D．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)．牢記平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022上·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在平行四邊形中（），直線(xiàn)經(jīng)過(guò)其對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，且分別交，于點(diǎn)，，交，的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，．下列結(jié)論：①；②；③．其中一定正確的是（填序號(hào)）．

【答案】②【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，則不一定等于；再證明，可得，即可．解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵不一定等于，故①不一定正確；∵，∴，∵，∴，∴，故②正確；根據(jù)題意得：和不全等，∴與不全等，故③不正確，∴綜上所述，②正確．故答案為：②【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【平行線(xiàn)間的距離】【考點(diǎn)3】利用平行線(xiàn)間距離相等進(jìn)行證明和求值【例3】（2023下·上海楊浦·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀、填空并將說(shuō)理過(guò)程補(bǔ)充完整：如圖，已知直線(xiàn)，點(diǎn)A、B在直線(xiàn)上，點(diǎn)C、D在直線(xiàn)上，與交于點(diǎn)E．與的面積相等嗎？為什么？解：作，垂足為，作，垂足為．又因?yàn)椋ㄒ阎訽_____（平行線(xiàn)間距離的意義）．（完成以下說(shuō)理過(guò)程）【答案】相等，理由見(jiàn)分析．【分析】作，垂足為，作，垂足為，根據(jù)平行線(xiàn)間間距相等得到，再根據(jù)三角形面積公式得到，進(jìn)而可得．解：相等，理由如下：作，垂足為，作，垂足為．又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（平行線(xiàn)間距離的意義）因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以與的面積相等．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟知平行線(xiàn)間間距相等是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023下·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，直線(xiàn)，相鄰兩條平行線(xiàn)間的距離都等于1，若正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線(xiàn)上，則它的面積等于（

）A．4 B．5 C． D．【答案】B【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于E，過(guò)點(diǎn)D作于F，，，證明得到，利用勾股定理求出即可得到答案．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于E，過(guò)點(diǎn)D作于F，由題意得，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴正方形的面積為5，故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2017上·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明沿一段筆直的人行道行走，在由走到的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語(yǔ)，具體信息如下：如圖，，相鄰兩平行線(xiàn)間的距離相等，，相交于，垂足為．已知米．根據(jù)上述信息，可知標(biāo)語(yǔ)的長(zhǎng)度為米．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與形狀，證即可求解．解：∵，∴∵相鄰兩平行線(xiàn)間的距離相等，，三點(diǎn)共線(xiàn)∴∴∵∴∴米．故答案為：【平行四邊形的判定】【考點(diǎn)4】利用平行四邊形的判定證明和求值；【例4】（2023上·河南鄭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，四邊形中，，垂直平分，垂足為E，，．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）如果，，求四邊形的面積．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）48【分析】（1）由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得，，再證，，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理得，再由平行四邊形的性質(zhì)得，，然后證，推出，同理，則，即可解決問(wèn)題．解：（1）證明：∵垂直平分，∴，，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，在和中，，∴，∴，同理：，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線(xiàn)的判定以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023下·廣西梧州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理，逐一進(jìn)行判斷即可．解：A、不能判定四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；B、根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；C、根據(jù)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；D、根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形可判定四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定．熟練掌握平行四邊形的判定定理，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023下·寧夏石嘴山·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，點(diǎn)D在上，以為對(duì)角線(xiàn)的所有平行四邊形中，的最小值是．

【答案】5【分析】平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是的中點(diǎn)O，可得當(dāng)時(shí)，最小即最小，證明四邊形是平行四邊形，得到，即得答案．解：∵平行四邊形，∴，，∴點(diǎn)O始終是的中點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，最小，即最?。?，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴．即的最小值為5；故答案為：5．【點(diǎn)撥】此題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確得出最小時(shí)的位置是關(guān)鍵【平行四邊形的性質(zhì)與判定】【考點(diǎn)5】利用平行四邊形性質(zhì)與判定求值；【例5】（2023下·江西宜春·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，將的邊延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，是邊的中點(diǎn)，連接．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用已知得出，，進(jìn)而得出答案；（2）首先過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，再利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，是邊的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

由（1）得：四邊形是平行四邊形，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，在中，，，又是邊的中點(diǎn)，，，在中，，．【點(diǎn)撥】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等、直角三角形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以點(diǎn)B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)，交于點(diǎn)G，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）

A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)題意的作圖可得平分，則，由，可得，從而，因此，又，得證四邊形是平行四邊形，得到．根據(jù)和對(duì)頂角相等證得，從而，因此即可解答．解：根據(jù)題意的作圖可得平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴，∵，，∴，∴，∴．故選：C【點(diǎn)撥】本題考查尺規(guī)作圖——作角平分線(xiàn)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，綜合運(yùn)用各個(gè)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·山東臨沂·九年級(jí)沂水縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知如圖，．為x軸上一條動(dòng)線(xiàn)段，D在C點(diǎn)右邊且，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?【答案】/【分析】本題考查了“將軍飲馬”求最值的模型，涉及了平行四邊形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短等知識(shí)點(diǎn)，將點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形是解題關(guān)鍵．解：將點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)的值最小，如圖所示：∵，且∴四邊形為平行四邊形∴∵點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，∴∴∵∴的最小值為：故答案為：【考點(diǎn)6】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明；【例6】（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，在中，分別是上的點(diǎn)，，（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若分別是的中點(diǎn)，連接，與分別交于點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出圖中除和以外的平行四邊形；【答案】（1）見(jiàn)分析（2）【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)；（1）根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得，即可得出，根據(jù)可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)可得即可得出．解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．又∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形；（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．∴，∵分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∵∴四邊形是平行四邊形；∵∴∴四邊形是平行四邊形；綜上所述，圖中還有．【變式1】（2022下·云南楚雄·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，E是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，若，則下列命題：①四邊形是平行四邊形，②，③，④若，，則，其中正確的是（

）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而可得到，再證明≌，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可證得，進(jìn)而得出四邊形是平行四邊形，即可判斷命題①正確；利用全等三角形的性質(zhì)得出，證出，利用等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)得出，即可判斷命題②正確；根據(jù)三角形的中線(xiàn)將三角形的面積平分即可判斷命題③正確；利用勾股定理求出，即可判斷命題④正確．解：①四邊形是平行四邊形，∴，，點(diǎn)F為的延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，∴，，，為BC中點(diǎn)，，在和中，，，，∵，四邊形是平行四邊形，故此命題正確，符合題意；②由①知，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，故此命題正確，符合題意；③由②知，，，故此命題正確，符合題意；④，，，，，，故此命題正確，符合題意．故選：D【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形、勾股定理以及全等三角形的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，和的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，且，則．【答案】60【分析】作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)圖形，可得，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接，可得四邊形是平行四邊形，設(shè)，可得，從而得到，，再證明是等邊三角形，可得，即可求解．解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)圖形，∴，∵是的平分線(xiàn)，∴，∵，∴，∴，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接，∴四邊形是平行四邊形，設(shè)，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴．故答案為：60．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)等知識(shí)，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【平行四邊形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用】【考點(diǎn)7】利用平行四邊形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用.【例7】（2023下·江蘇·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖1是某一遮陽(yáng)蓬支架從閉合到完全展開(kāi)的一個(gè)過(guò)程，當(dāng)遮陽(yáng)蓬支架完全閉合時(shí)，支架的若干支桿可看作共線(xiàn)．圖2是遮陽(yáng)蓬支架完全展開(kāi)時(shí)的一個(gè)示意圖，支桿固定在垂直于地面的墻壁上，支桿與水平地面平行，且G，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線(xiàn)，在支架展開(kāi)過(guò)程中四邊形始終是平行四邊形．（1）若遮陽(yáng)蓬完全展開(kāi)時(shí)，長(zhǎng)2米，在與水平地面呈的太陽(yáng)光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面）（2）長(zhǎng)支桿與短支桿的長(zhǎng)度比（即與的長(zhǎng)度比）是______．【答案】（1）2；（2）【分析】（1）過(guò)C作與水平地面呈的直線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于K，分別過(guò)K、E作，，可得四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)即可；（2）由題意可知：支桿的豎直長(zhǎng)度都一樣，且豎直的支點(diǎn)為長(zhǎng)支桿的中點(diǎn)，即G為的中點(diǎn)、B為的中點(diǎn)，然后說(shuō)明的長(zhǎng)度為長(zhǎng)支桿的一半即可．（1）解：過(guò)C作與水平地面呈的直線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于K，分別過(guò)K、E作，，∴四邊形是平行四邊形，∴，即在地面上影子的長(zhǎng)為2米；故答案為：2；（2）解：由題意可知：支桿的豎直長(zhǎng)度都一樣，且豎直的支點(diǎn)為長(zhǎng)支桿的中點(diǎn)，即G為的中點(diǎn)、B為的中點(diǎn)，當(dāng)遮陽(yáng)棚完全閉合后，每根桿的長(zhǎng)度都一樣，即的長(zhǎng)度為長(zhǎng)支桿的一半，∵為長(zhǎng)支桿的長(zhǎng)度，為短支桿的長(zhǎng)度．∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)