專題321雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程-原卷版

專題3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【基本知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：雙曲線的定義一般地，把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．【特別注意】(1)常數(shù)要小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離．(2)如果沒有絕對(duì)值，點(diǎn)的軌跡表示雙曲線的一支．(3)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條方向相反的射線(包括端點(diǎn))．(4)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在．(5)當(dāng)2a＝0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段F1F2的垂直平分線．知識(shí)點(diǎn)2：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1_(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1_(a>0，b>0)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系b2＝c2－a2注意點(diǎn)：(1)若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在y軸上．(2)a與b沒有大小關(guān)系．(3)a，b，c的關(guān)系滿足c2＝a2＋b2.知識(shí)點(diǎn)3：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，若焦點(diǎn)位置不確定，可按焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論求解．或設(shè)其方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，通過方程組確定m，n.(2)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線的方程為eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)；與雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線的方程為eq\f(y2,a2＋λ)－eq\f(x2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)．知識(shí)點(diǎn)4：方程表示雙曲線的條件(1)對(duì)于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，當(dāng)mn<0時(shí)表示雙曲線，當(dāng)m>0，n<0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)m<0，n>0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．(2)對(duì)于方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1，當(dāng)mn>0時(shí)表示雙曲線，且當(dāng)m>0，n>0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)m<0，n<0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．知識(shí)點(diǎn)5：焦點(diǎn)三角形(1)雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題可以根據(jù)定義結(jié)合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運(yùn)用．(2)若雙曲線中焦點(diǎn)三角形的頂角∠F1PF2＝θ，則焦點(diǎn)三角形的面積S＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).【題型1雙曲線的定義及其理解】【例1】（20232024?高二上?浙江?期中）“”是“方程表示的曲線是雙曲線”A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【變式11】（20232024?高二上?山東德州?期中）若為雙曲線，則【變式12】（20232024?高二上?江蘇徐州?期中）（多選）已知曲線C：（其中，為參數(shù)），下列說法正確的是（A.若，則曲線C表示圓B.若，則曲線C表示橢圓C.若，則曲線C表示雙曲線D.若，，則曲線C表示兩條直線【變式13】（20232024?高二上?湖北武漢?期中）（多選）A.存在實(shí)數(shù)，使得該方程對(duì)應(yīng)的圖形是圓B.存在實(shí)數(shù)，使得該方程對(duì)應(yīng)的圖形是平行于軸的兩條直線C.存在實(shí)數(shù)，使得該方程對(duì)應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D.存在實(shí)數(shù)，使得該方程對(duì)應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在軸上的橢圓【變式14】（20232024?高二上?山東聊城?期末）（多選）若平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，則（）A.時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓B.時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓C.時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓D.時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線【題型2利用雙曲線的定義求線段長(zhǎng)度、三角形周長(zhǎng)和面積】【例2】（20232024?高二上?四川成都?期中）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線上一點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【變式21】（20232024?高二上?山東臨沂?月考）已知，分別是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過的直線交的上支于A，B兩點(diǎn)，若=12，則的周長(zhǎng)為．【變式22】（20232024?高二上?湖南長(zhǎng)沙?期中）已知分別足雙曲線的上?下焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若，則的值為__________.【變式23】（20232024?高二上?四川達(dá)州?期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若到原點(diǎn)的距離，則的面積是___________.【題型3利用雙曲線的定義求最值】【例3】（20232024?高二上?江蘇宿遷?期中）已知是雙曲線上的點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值是________．【變式31】（20222023?高二上?吉林?期中）已知雙曲線C:y24?x25A．?2 B．2 C．1 D．?1【變式32】（20232024?高三下?山西太原?模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為0,?6，若動(dòng)點(diǎn)P位于y軸右側(cè)，且到兩定點(diǎn)F1A．3+45 B．3+65 C．4+45【變式33】（20232024?高二上?山東泰安?期末）已知圓C:x2+(y?4)2=1上有一動(dòng)點(diǎn)A．42?1 B．42?5 C．【變式34】（20232024?高二下?上海靜安區(qū)?期末）已知點(diǎn)P是雙曲線x216?y2A．3 B．5 C．7 D．9【題型4求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例4】（20232024?高二上?山西?期中）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)A滿足A． B．C． D．【變式41】（20232024?高二上?廣東肇慶?期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長(zhǎng)分別稱為“勾”“股”“弦”．如圖一直角三角形ABC的“勾”“股”分別為6，8，以AB所在的直線為軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則以A，B為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C的雙曲線方程為（A. B.C. D.【變式42】方程可化簡(jiǎn)為（）A.B. C. D.【變式43】（20232024?高考?天津?真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【題型5求雙曲線的軌跡方程】【例5】（20232024?高二上?廣東東莞?月考）設(shè)F1、F2是兩定點(diǎn)，F(xiàn)1F2=6，動(dòng)點(diǎn)A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在【變式51】（20232024?高二上?福建三明?期中）動(dòng)圓P過定點(diǎn)M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是（A. B.C. D.【變式52】（20232024?高二下?上海?階段測(cè)試）已知圓A:(x+2)2+y2=9，圓B:(x?2)2+【變式53】（20232024?高二上?四川綿陽?期末）如圖，定圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O外一個(gè)定點(diǎn)，P是圓O上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是（

A．射線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓【變式54】（20232024?高二上?江蘇泰州?期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)的距離是到直線的距離的．（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）設(shè)，直線與M的軌跡方程相交于兩點(diǎn)，若直線與M的軌跡方程交于另一個(gè)點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．【題型6雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題】【例6】（20232024?高二上?山東泰安?月考）設(shè)F1,F2是雙曲線x25?【變式61】（20232024?高二上?福建龍巖?月考）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x24?y2A．143 B．715 C．153【變式62】（20232024?高二上?山東東營(yíng)?期末）若是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的