專題培優(yōu)課平面向量中的最值(范圍)問題

專題培優(yōu)課平面向量中的最值(范圍)問題【考情分析】平面向量中的范圍問題是近幾年高考的熱點之一．此類問題綜合性強，體現(xiàn)了知識的交匯組合，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個向量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一與系數(shù)有關(guān)的最值問題例1[2024·河北唐山模擬]如圖，在△ABC中，D是線段BC上的一點，且BC＝4BD，過點D的直線分別交直線AB，AC于點M，N，若AM＝λAB，AN＝μAC(λ>0，μ>0)，則μ－1λ的最小值是(A．23-43C．233－7D題后師說鞏固訓練1如圖，在△ABC中，M為邊BC上不同于B，C的任意一點，點N滿足AN＝2NM.若AN＝xAB＋yAC，則x2＋9y2的最小值為________．題型二與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題例2[2024·河南開封模擬]等腰直角△ABC的直角頂點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，點C在第一象限，且|AB|＝1，O為坐標原點，則OC·OA的取值范圍是()A．(0，12-24]B．(C．(12-24，1]D．(題后師說與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題的兩種常用解法(1)坐標法：通過建立直角坐標系，運用向量的坐標運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理．(2)向量法：運用向量數(shù)量積的定義、不等式、函數(shù)性質(zhì)等有關(guān)知識解決．鞏固訓練2[2024·山東濱州模擬]在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是線段AC上任意一點，則MB·MC的最小值是()A．－12B．－C．－2D．－4題型三與向量的模有關(guān)的最值(范圍)問題例3設向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝0，若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是()A．[2－1，2＋1]B．[2－1，2＋2]C．[1，2＋1]D．[1，2＋2]題后師說與向量的模有關(guān)的最值(范圍)問題的兩種常用方法(1)代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，或通過建立平面直角坐標系，借助向量的坐標表示；需要構(gòu)造不等式，利用基本不等式，三角函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，注意題目中所給的垂直、平行，以及其他數(shù)量關(guān)系，合理的轉(zhuǎn)化，使得過程更加簡單；結(jié)合動點表示的圖形求解．鞏固訓練3[2024·湖南衡陽模擬]已知平面向量a、b、c滿足|a|＝1，b·c＝0，a·b＝1，a·c＝－1，則|b＋c|的最小值為()A．1B．2C．2D．4題型四與向量的夾角有關(guān)的最值(范圍)問題例4[2024·安徽安慶模擬]已知非零向量a，b的夾角為θ，|a＋b|＝2，且|a||b|≥43，則夾角θ的最小值為(A．π6B．π4C．π3題后師說求與向量的夾角有關(guān)的最值(范圍)問題要根據(jù)夾角余弦值表達式，利用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求解．鞏固訓練4平面向量a，b滿足|a|＝|b|，且|a－3b|＝1，則cos〈b，3b－a〉的最小值是________．1．已知向量a，b，c滿足a＝(3，0)，b＝(0，4)，c＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，則|c|的最小值為()A．56B．125C．3652．[2023·湖南長沙模擬]正八邊形ABCDEFGH上存在一動點P(點P與A，C不重合)，已知正八邊形邊長為2，則AC·AP的最大值為()A．2＋2B．6＋42C．6＋62D．8＋623．[2020·新高考Ⅰ卷]已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則AP·AB的取值范圍是()A．(－2，6)B．(－6，2)C．(－2，4)D．(－4，6)4．在△ABC中，BD＝13BC，E是線段AD上的動點(與端點不重合)，設CE＝xCA＋yCB(x，y∈R)，則8x+3y3xy狀元筆記極化恒等式極化恒等式的證明過程與幾何意義證明過程：如圖，設AB＝a，AD＝b，則AC＝a＋b，DB＝a－b.|AC|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，|DB|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2，兩式相減得a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]，此即極化恒等式幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角線長”平方差的14【典例】(1)如圖，在三角形ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，則BE·CE的值為________.(2)已知點A，B，C均在半徑為2的圓上，若|AB|＝2，則AC·BC的最大值為________．[解析](1)設DC＝a，DF＝BA·CA＝|AD|2－|BD|2＝9b2－a2＝4，BF·CF＝|FD|2－|BD|2＝b2－a2＝－1，解得b2＝58，a2∴BE·CE＝|ED|2－|BD|2＝4b2－a2＝78(2)設A，B，C三點所在圓的圓心為O，取AB中點D，故AC·BC＝CA·CB＝CD2－14AB2＝因為A，B，C三點在圓上，所以CD長度最大為r＋d，其中d為圓心O到弦AB的距離，故最大值為1＋2，所以CD2－1的最大值為(1＋2)2－1＝2＋22[答案](1)78(2)2＋2專題培優(yōu)課平面向量中的最值(范圍)問題關(guān)鍵能力·題型剖析例1解析：因為M，D，N三點共線，所以可設MD＝tDN，則AD-AM＝t(AN又AD＝AB+BD＝AB+14BC所以34AB+14AC又AM＝λAB，AN＝μ所以34AB+14AC－λAB＝所以(34－λ)AB+14AC＝－34tAB＋所以34－λ=－34所以μ－1λ＝μ－4因為λ>0，μ>0，得1λ＝43-13μ>0，所以μ＋13μ-43≥213-43＝23-43，當且僅當μ＝13μ，即μ＝33時答案：A鞏固訓練1解析：根據(jù)題意，得AM＝32AN＝32x(AB)

因為M，B，C三點共線，設BM＝λBC，(0<λ<1)，則AM-AB＝λ(AC所以AM＝(1－λ)AB＋λAC，所以1-λ=所以有32x＋32y＝1，即x＋y＝23(0<y<所以x2＋9y2＝(23－y)2＋9y2＝10y2－43y＋49＝10(y－115)2＋25(0<所以當y＝115時，x2＋9y2取得最小值2答案：2例2解析：由題意可得：△OAB為直角三角形，且|AB|＝1，不妨設A(cosα，0)，B(0，sinα)，其中α∈(0，π2)如圖所示，則由等腰直角三角形的性質(zhì)可得C(cosα＋sinα，cosα)，所以OC·OA＝cosα(cosα＋sinα)＝12cos2α＋12sin2α＋12＝22sin(2α＋π4)＋12，2α＋π4∈(π4，5π4)，所以sin(2α＋π4)∈(－22，1]，答案：B鞏固訓練2解析：設MC＝λAC(λ∈[0，1])，MB＝MA+AB＝－(1－λ)AC+AB，MB·MC＝[－(1－λ)AC+AB]·(λAC)＝－λ(1－λ)AC2＋λAB·AC＝－9λ(1－λ)＋λ×2×3×cos60°＝3λ(3λ－2)，當λ＝13時，3λ(答案：B例3解析：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，且|c－a－b|＝|c－(a＋b)|＝1，∴作出圖象如圖，由圖可知，|c|最小值為2－1，最大值為2＋1.故選A.答案：A鞏固訓練3解析：在平面直角坐標系xOy中，設a＝(1，0)，b＝(x1，y1)，c＝(x2，y2)，因為a·b＝x1＝1，a·c＝x2＝－1，b·c＝x1x2＋y1y2＝y(tǒng)1y2－1＝0，所以|b＋c|＝1-12+y1+y22＝|y1＋y2|＝|y1＋1y1|＝|y1當且僅當y1＝±1時，等號成立．因此，|b＋c|的最小值為2.故選C.答案：C例4解析：由|a＋b|2＝4有|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ＝4，即4≥2|a||b|(1＋cosθ)≥83(1＋cosθ)，前一個等號成立條件為|a|＝|b|，整理得cosθ≤12.由于θ∈[0，π]，所以π3≤θ≤π，于是夾角為θ的最小值為π答案：C鞏固訓練4解析：由|a－3b|＝1兩邊平方得a2－6a·b＋9b2＝1.又因為|a|＝|b|，所以a·b＝10a所以cos〈b，3b－a〉＝b·3b-ab3b-a＝3b2-a·bb＝18b2-10a2-16b＝所以cos〈b，3b－a〉的最小值是22答案：2隨堂檢測1．解析：由條件可知c＝(3λ，4－4λ)，則|c|＝9λ2+4-4λ2＝25λ2-32λ+16＝25λ-16252+14425，答案：B2．解析：AC·AP＝|AC|·|AP|cos〈AC，AP〉，由平面向量數(shù)量積的幾何意義可知，當|AP|cos〈AC，AP〉最大，即AP在AC方向上投影最大時，AC·AP最大，由圖可知當點P運動到點D時，AP如圖建立平面直角坐標系，則A(0，0)，C(2＋2，2)，D(2＋2，2＋2所以AC＝(2＋2，2)，AD＝(2＋2，2＋2所以AC·AP的最大值為AC·AD＝(2＋2)(2＋2)＋2(2＋2)＝8＋62.故選D.答案：D3．解析：AP·AB＝|AP||AB|·cos∠PAB＝2|AP|cos∠PAB，又|AP|cos∠PAB表示AP在AB方向上的投影，所以結(jié)合圖形可知，當P與C重合時投影最大，當P與F重合時投影最?。諥C·AB＝23×2×cos30°＝6，AF·AB＝2×2×c