專題2412求與圓有關(guān)的陰影部分的面積的技巧五大題型（滬科版）

專題24.12求與圓有關(guān)的陰影部分的面積的技巧五大題型【滬科版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)求與圓有關(guān)的陰影部分的面積的技巧五大題型的理解！【題型1直接法】1．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H

A．9π2-932 B．9【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC=60°，AB=AC=BC=6，再利用AD是BC邊上的中線得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30°，【詳解】解：∵△ABC∴∠BAC=60°，∵AD是BC∴AD⊥BC，∠∴AD∵AE∴△AEF∵EG⊥AC∴EG是∠AEF的角平分線，∴H是△∴S∴圖中陰影部分的面積=60故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算：陰影面積常用的方法：直接用公式法；和差法；割補(bǔ)法．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．2．（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，其半徑為1，作OF⊥BC交⊙O于點(diǎn)

A．π3 B．2π5 C．3【答案】C【分析】連接OA、OB、OC，求出∠AOF【詳解】解：連接OA、OB、OC，∵正五邊形ABCDE，∴∠AOBOB=∵OF⊥∴∠BOF∴∠AOF∴S

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握扇形面積公式和求出AC所對(duì)的圓心角度數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·云南德宏·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠A=80°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB、OC，交⊙O于點(diǎn)D

A．4π B．13π4 C．3【答案】B【分析】根據(jù)角A的度數(shù)和內(nèi)切圓的性質(zhì)，求得圓心角DOE的度數(shù)，然后根據(jù)扇形的面積公式即可解答．【詳解】解：∵∠A=80°，⊙O∴OB，OC分別平分∠ABC∴∠DOE∴S△故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)切圓的知識(shí)，熟練掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及扇形面積的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在正六邊形ABCDEF中，分別以B，E為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作弧，圖中陰影部分的面積為12π，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（

A．3 B．9 C．32 D．【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出扇形的圓心角，然后按扇形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵正六邊形的內(nèi)角是6-2×180°6=120°設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為r，∴120π解得r=3則正六邊形的邊長(zhǎng)為32故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算．本題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出扇形的圓心角．5．（2023·吉林長(zhǎng)春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°

【答案】9【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AD的長(zhǎng)，再由扇形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6∴AD=∴S扇形AD故答案為：9π【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．6．（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)淅川縣第一初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在半徑為43的扇形OAB中，∠AOB=90°，D為OB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥OA交AB于點(diǎn)E

【答案】4【分析】解直角三角形求得∠DEO=30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到【詳解】解：∵DE∥OA∴∠ODE∵OE=OB，D∴OE∴∠DEO∴∠AOE∴陰影部分的面積為30π故答案為：4π【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，求得∠AOE7．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，則：

（1）圖中陰影部分的面積為；（2）直線DF與圓A的位置關(guān)系是.【答案】12π【分析】（1）根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出∠FAB（2）連接DF，由六邊形ABCDEF是正六邊形得到∠AFE=∠FED=120°，EF=DE，則∠【詳解】（1）解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠FAB=6-2∴陰影部分的面積=120故答案為：12（2）連接DF，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AFE=∠FED∴∠EFD∴∠AFD∴AF⊥∵AF是圓A的半徑，∴DF是圓A的切線，∴直線DF與圓A的位置關(guān)系是相切故答案為：相切【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、扇形面積計(jì)算、切線的判定定理等知識(shí)，掌握扇形面積公式和切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，∠A=90°，⊙O與∠A的一邊相切于點(diǎn)P，與另一邊相交于B，C兩點(diǎn)，且AB=1，【答案】2【分析】連接OP，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥BC于點(diǎn)E，作BF⊥OP于點(diǎn)F，利用垂徑定理的內(nèi)容得出BE=CE=12BC=1，再證明四邊形OEBF【詳解】連接OP，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥BC于點(diǎn)E，作BF⊥∵OE⊥BC，∴BE=∵⊙O與∠A的一邊相切于點(diǎn)∴AP⊥∵OE⊥BC，BF⊥∴可得四邊形OEBF、四邊形PABF是矩形，∵AB=1，BC∴AB=1=PF，∴OP=∴OP=∴△OBC∴∠BOC∴S扇形故答案為：23【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定方法以及扇形的面積求法等知識(shí)，利用已知得出OP=PF【題型2和差法】1．（2023秋·云南昆明·九年級(jí)昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB上，DE⊥弦BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

(1)求證：CF是⊙O(2)若∠F=∠BDE【答案】(1)見(jiàn)解析(2)9【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，垂直的定義以及三角形內(nèi)角和定理得出∠OCF（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及切線的性質(zhì)可得出∠OCB=60°，進(jìn)而求出扇形OBC所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)以及半徑，再由【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，

∵OB∴∠OBC∵DE∴∠DEB∴∠BDE又∵∠BDE∴∠OCB即OC⊥∵OC∴CF是⊙（2）解：∵∠F=∠BDE∴∠F∵∠OBC∴∠OCB∵∠OCF∴∠OCB∵OB∴△BOC∴∠BOC=60°，在Rt△COF中，OC=3∴FC∴===9【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理以及扇形面積的計(jì)算，掌握切線的判定方法，等腰三角形的性質(zhì)以及扇形、三角形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提．2．（2023秋·陜西安康·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)D為等腰Rt△ABC的斜邊AC的中點(diǎn)，連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BD為半徑畫(huà)弧，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，若AB=2

【答案】4-【分析】先求解BC=AB=22，AC=4【詳解】解：∵在等腰Rt△ABC中，∴BC=AB∴S∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴BD∴S∴S陰影【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，扇形面積的計(jì)算，熟練的利用割補(bǔ)法求解陰影部分的面積是解本題的關(guān)鍵．3．（2023·福建福州·?？既＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，∠DAB=45°，

(1)求證：CD為⊙O(2)若⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）連接OD，易知∠DAB=∠ADO=45°，進(jìn)而可知∠DOB（2）根據(jù)已知條件證明四邊形ABCD是平行四邊形，再利用陰影部分的面積S=【詳解】（1）解：連接OD，

∵OA=OD∴∠DAB∴∠DOB∵CD∥∴∠ODC=90°，即半徑OD⊥∴CD為圓O（2）∵⊙O的半徑為1∴AB=2∵BC∥AD∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∴S∴圖中陰影部分的面積S=【點(diǎn)睛】題考查了切線的證明，求扇形面積，平行四邊形的性質(zhì)與判定，求得扇形BOD的圓心角度數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·河北唐山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，把兩個(gè)扇形OAB與扇形OCD的圓心重合疊放在一起，且∠AOB=∠COD(1)求證：△AOC(2)若OA=5cm,OC=3cm，弧AB的長(zhǎng)為(3)在（2）的條件下求由扇形OAB圍成的圓錐的高．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)24(3)91【分析】（1）先證得∠AOC=∠BOD，即可利用SAS（2）根據(jù)S陰影=S（3）求出圓錐底面圓的半徑長(zhǎng)，利用勾股定理求出圓錐的高．【詳解】（1）證明：∵∠COD∴∠AOC∴∠AOC在△AOC和△OC∴△AOC（2）S===答：陰影部分的面積是245（3）圓錐底面圓的半徑為3π2π∴圓錐的高=5【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和扇形的面積，勾股定理，正確掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·安徽蕪湖·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD為直徑，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E(1)求證：∠CAD(2)如圖2．若CE是⊙O的切線，∠CAD=30°，連接OC．如圖2【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)S【分析】（1）先判斷出∠CBE（2）先判斷出OC∥AB，再判斷出BC∥OA，進(jìn)而得出四邊形ABCO是菱形，求出【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O∴∠CBE∵AD為⊙∴∠ACD∴∠D∴∠CBE∵CE∴∠CBE∴∠CAD（2）解：∵∠CAD∴∠COD∵CE是⊙∴OC∵CE∴OC∴∠DAB由（1）知，∠CBE∴∠CBE∴BC∴四邊形ABCO是平行四邊形，∵OA∴?ABCO∴OA∴AD在Rt△ACD中，∴CD=2，∴S陰影【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、菱形的判定、扇形的面積公式，判斷出BC∥6．（2023秋·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切，切點(diǎn)為B，AC與⊙O相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E(1)求證：∠BED(2)已知AD=CD=3【答案】(1)見(jiàn)解析(2)9【分析】(1)利用圓周角定理得到∠A+∠ABD(2)連接OD，首先利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到BD=AD=CD=3，可證得△ABD為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可求得AB=3【詳解】（1）證明：∵AB是⊙∴∠ADB∴∠A∵BC與⊙O相切，切點(diǎn)為∴AB∴∠ABC∴∠DBC∴∠A∵∠A∴∠BED（2）解：如圖：連接OD，∵AD∴BD是Rt∴BD又∵∠ADB∴△∴AB=A∴∠BOD=2∠A∴===故陰影部分的面積為9π【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積公式，得到△ABD7．（2023秋·浙江·九年級(jí)期中）如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，點(diǎn)P在BC上，以點(diǎn)C為圓心，PC為半徑畫(huà)弧交邊AC于點(diǎn)D，以點(diǎn)B為圓心，PB為半徑畫(huà)弧交邊AB于點(diǎn)E．設(shè)PB=x，圖中陰影部分的面積為(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．(2)當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，y有最大值？最大值是多少？【答案】(1)y=-(2)當(dāng)PB=1時(shí)，即為BC的中點(diǎn)，y有最大值，最大值為1【分析】（1）利用扇形面積以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出面積即可，利用三角形邊長(zhǎng)得出自變量x的取值范圍；（2）利用（1）中所求求出面積最值即可．【詳解】（1）解：（1）∵AB=∴BC=2∵設(shè)PB=∴PC=∴y=1-∵以B為圓心、PB為半徑畫(huà)弧交邊AB于E，∴CP=2-x，則0≤2-x∴2-2（2）解：∵y=-∴當(dāng)x=1時(shí)，y最大=當(dāng)PB=1時(shí)，即為BC的中點(diǎn)，y有最大值，最大值為1【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及扇形面積求法和二次函數(shù)的最值求法，根據(jù)已知得出y與x的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A、B、D三個(gè)點(diǎn)在⊙O上，CD與⊙O交于點(diǎn)F，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)E，點(diǎn)E恰好是AD的中點(diǎn)．（1）求證：BC是⊙O的切線．（2）若AE=1①求BE的長(zhǎng)．②求陰影部分的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①BE=2+3，【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得BE⊥AD，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)推出（2）①由平行四邊形的性質(zhì)以及垂徑定理可推出∠BAO=∠ABO=15°，∠AOE=30°，然后在Rt△AOE中分別求出AO，OE，從而得出結(jié)論；②連接【詳解】（1）由題意，根據(jù)垂徑定理BE⊥∵四邊形ABCD平行四邊形，∴AD//∴BE⊥∵OB為半徑，∴BC是⊙O的切線；（2）如圖，連接AO，∵AD//BC，∴∠ABC∵∠OBC∴∠ABO∵OA=∴∠BAO∴∠OAE∴在Rt△AOE中，∴AO=2AE=2∴BO=∴BE=∴BE=2+②如圖，連接OD，OF，BF，由題意，∠ADC由①可知，∠ODE=60°，∴∠ODF∵OD=∴∠ODF∴∠DOF=90°,∴∠BOF∴S陰影由①可知，ED=AE=1∴S梯形S△S△S扇形∴S陰影∴陰影部分的面積S=1+【點(diǎn)睛】本題考查證明圓的切線，垂徑定理，以及與扇形相關(guān)的陰影部分面積計(jì)算問(wèn)題，掌握證明切線的方法，熟記扇形的面積計(jì)算是解題關(guān)鍵．【題型3割補(bǔ)法】1．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，正方形的邊AB=2，弧BD和弧AC都是以2為半徑的圓弧，則圖中空白兩部分的面積之差是（

A．π2-1 B．1-π4 C【答案】D【分析】設(shè)弧BD和弧AC的交點(diǎn)為E,連接DE、AE,作EF⊥AD.先求出S△ADE，再求出S扇形ADE，即可得到S拱形DE.再根據(jù)S空白ADE=S扇形ADE【詳解】設(shè)弧BD和弧AC的交點(diǎn)為E,連接DE、AE,作EF⊥ADEF∴S∴∴∴S空白S=30=3S==4-∴故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓中求不規(guī)則圖形的面積，熟練掌握扇形的面積公式及拱形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵2．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在大學(xué)二年級(jí)時(shí)得出了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件，下面是高斯正十七邊形作法的一部分：已知AB是⊙O的直徑．分別以A，B為圓心、AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C，D兩點(diǎn)．…若設(shè)AB長(zhǎng)為2A．53π-23 B．83【答案】A【分析】利用作法得到BC=BA=AC=BD=AD，則△ACB和△ADB都是等邊三角形，所以∠ABC=∠ABD=60°，然后根據(jù)扇形的面積公式求出扇形面積，再減去三角形的面積求出弓形的面積再減圓的面積可求出陰影的面積．【詳解】解：連接AC、BC、DA、DB，如圖，由作法得BC=BA=AC=BD=AD=2，∴△ACB和△ADB都是等邊三角形，∴∠ABC=∠ABD=60°，∴∠CAD=120°，∴S扇形CAD=120π×∴S△CAD=23×1∴S陰影=2（S扇形CADS△CAD12S圓）=2（43π31=83π2=5故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了扇形的面積公式．3．（2023秋·貴州黔西·九年級(jí)校考期中）如圖，有一圓形紙片圓心為O，直徑AB的長(zhǎng)為2，BC//AD，將紙片沿BC、AD折疊，交于點(diǎn)O，那么陰影部分面積為（A．2π3-12 B．π3【答案】D【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于G，延長(zhǎng)交⊙O于E，反向延長(zhǎng)GO交AD于H，連接OC、OD，由折疊得OG=GE=12，利用OC=1，求出∠OCG=30°，CG=OC2-OG2=32，得到BC=2CG=3，∠BOC=120°，同理：AD=3，證明△BOG≌△AOH，推出OG=OH，得到弓形BC與弓形【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于G，延長(zhǎng)交⊙O于E，反向延長(zhǎng)GO交AD于H，連接OC、OD由折疊得OG=GE，∵OG⊥BC，∴∠OGC=90°，CG=BG，∵OG=12OE=12，∴∠OCG=30°，CG=OC∴BC=2CG=3，∠BOC=120°，同理：AD=3，∵AD∥BC，∴∠OBC=∠OAD，OH⊥AD，∵OA=OB，∴△BOG≌△AOH，∴OG=OH，∴弓形BC與弓形AD的面積相等，∴陰影的面積=2（S扇形BOCS△BOC）=2×(120π×故選：D．．【點(diǎn)睛】此題考查折疊的性質(zhì)，同圓的半徑相等，垂徑定理，勾股定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，扇形面積計(jì)算公式，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記各部分知識(shí)并綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C為半徑OA的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作弧CD交OB于點(diǎn)D．點(diǎn)E為弧AB的中點(diǎn)，連接CE、DE．若

【答案】π+22【分析】連接CD，OE，OE交CD于J，如圖所示，證明CD⊥OE，求出四邊形OCED的面積，進(jìn)而得到陰影部分BDE面積和陰影部分【詳解】解：連接CD，OE，OE交CD于J，如圖所示：

由點(diǎn)C為半徑OA的中點(diǎn)可知OC=∴由圓的性質(zhì)可知OD=OC,∵點(diǎn)E為弧AB的中點(diǎn)，即AE=∴∠AOE在等腰Rt△COD中，OD=OC，∠COD=90°，由等腰三角形∵OA=4，點(diǎn)C為半徑OA∴OC在等腰Rt△COD中，∠COD∴CJ∴S四邊形OCED由圓的對(duì)稱性可知，ACE面積等于陰影部分BDE，∴SS陰影故答案為：π+2【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，從圖中將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來(lái)表示．5．（2023秋·重慶武隆·九年級(jí)校考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，以A為圓心AD為半徑作弧與BC交于點(diǎn)E，再以C為圓心，CD為半徑作弧交BC于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為【答案】4-【分析】連接AE，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠A=∠C=∠B=90°，AD=BC=2，AB=CD=1，AD∥BC，求出∠DAE=∠AEB=30°，根據(jù)勾股定理求出BE，根據(jù)圖形得出陰影部分的面積S=（S矩形ABCD-S扇形DAE-S△ABE）+（S矩形ABCD-S扇形DCF），再求出答案即可．【詳解】解：如圖，連接AE，則AD=AE=2，∵四邊形ABCD是矩形，AB=1，∴∠A=∠C=∠B=90°，AD=BC=2，AB