專題01有理數(shù)及其運(yùn)算

專題01有理數(shù)及其運(yùn)算思維導(dǎo)圖核心考點聚焦1.正負(fù)數(shù)，相反意義的量.2.求一個數(shù)的相反數(shù)，絕對值，倒數(shù).3.科學(xué)記數(shù)法表示大于1的數(shù).4.有理數(shù)的混合運(yùn)算.5.用數(shù)軸上的點表示有理數(shù).6.有理數(shù)運(yùn)算的實際應(yīng)用.7.根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負(fù).8.借著數(shù)軸化簡絕對值.9.絕對值非負(fù)性的應(yīng)用.10.分類討論化簡絕對值.11.數(shù)軸上的動點問題中的追及問題.12.數(shù)軸上的動點問題中的最值問題.一、有理數(shù)1．正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念大于0的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號“”，叫做負(fù)數(shù)，一個數(shù)前面的“+”“”號叫做它的符號．0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．2．具有相反意義的量一般地，對于具有相反意義的量，我們可以把其中一種意義的量規(guī)定為正的，并用正數(shù)來表示，把與它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，并用負(fù)數(shù)來表示．3．有理數(shù)的概念正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．4．有理數(shù)的分類①按整數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類；②按正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)的關(guān)系分類．二、數(shù)軸1．?dāng)?shù)軸的概念與畫法數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的畫法：①在直線上任取一個點表示數(shù)0，這個點叫做原點，②通常規(guī)定直線上從原點向右為正方向，從原點向左為負(fù)方向；③選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1，2，3，……；從原點向左用類似的方法依次表示1，2，3，…….2．?dāng)?shù)軸上的點與有理數(shù)之間的關(guān)系①每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一點來表示，也可以說每個有理數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上的一點；②一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個單位長度；表示a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度.三、相反數(shù)1．相反數(shù)的概念及表示方法相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．相反數(shù)的表示方法：一般地，a和a互為相反數(shù)，這里的a表示任意一個數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是零．特別地，一個數(shù)的相反數(shù)等于它本身，這個數(shù)是零.2．相反數(shù)的性質(zhì)若a與b互為相反數(shù)，那么a+b=0.3．多重符號的化簡與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“”號結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個“”號，結(jié)果為正．4．相反數(shù)的幾何意義從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等．四、絕對值1．絕對值的定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作.2．絕對值的性質(zhì)一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．3．絕對值的非負(fù)性根據(jù)絕對值的非負(fù)性“若幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個非負(fù)數(shù)必為0”，即若，則=0且=0．五、有理數(shù)的加法1.定義：把兩個有理數(shù)合成一個有理數(shù)的運(yùn)算叫做有理數(shù)的加法．2.法則：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．要點：利用法則進(jìn)行加法運(yùn)算的步驟：(1)判斷兩個加數(shù)的符號是同號、異號，還是有一個加數(shù)為零，以此來選擇用哪條法則．(2)確定和的符號(是“+”還是“－”)．(3)求各加數(shù)的絕對值，并確定和的絕對值(加數(shù)的絕對值是相加還是相減)．3.運(yùn)算律：有理數(shù)加法運(yùn)算律加法交換律文字語言兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變符號語言a+b＝b+a加法結(jié)合律文字語言三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變符號語言(a+b)+c＝a+(b+c)要點：交換加數(shù)的位置時，不要忘記符號．六、有理數(shù)的減法1.定義：已知兩個數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法，例如：(5)+?＝7，求？減法是加法的逆運(yùn)算．要點：（1）任意兩個數(shù)都可以進(jìn)行減法運(yùn)算．（2）幾個有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號；②數(shù)字（即數(shù)的絕對值）．2.法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)，即有：．要點：將減法轉(zhuǎn)化為加法時，注意同時進(jìn)行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)．如：七、有理數(shù)加減混合運(yùn)算將加減法統(tǒng)一成加法運(yùn)算，適當(dāng)應(yīng)用加法運(yùn)算律簡化計算.八、有理數(shù)的乘法1.有理數(shù)的乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；（2）任何數(shù)同0相乘，都得0．要點：（1）不為0的兩數(shù)相乘，先確定符號，再把絕對值相乘．（2）當(dāng)因數(shù)中有負(fù)號時，必須用括號括起來，如2與3的乘積，應(yīng)列為(2)×(3)，不應(yīng)該寫成2×3．2.有理數(shù)的乘法法則的推廣：（1）幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定．當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；（2）幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于0．要點：（1）在有理數(shù)的乘法中，每一個乘數(shù)都叫做一個因數(shù)．(2)幾個不等于0的有理數(shù)相乘，先根據(jù)負(fù)因數(shù)的個數(shù)確定積的符號，然后把各因數(shù)的絕對值相乘．(3)幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于0．反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)為0．3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律：（1）乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即：ab＝ba．（2）乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加．即：a(b+c)＝ab+ac．九、有理數(shù)的除法1.倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．要點：(1)“互為倒數(shù)”的兩個數(shù)是互相依存的.如2的倒數(shù)是，2和是互相依存的；(2)0和任何數(shù)相乘都不等于1，因此0沒有倒數(shù)；(3)倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡形式，使分母中不含小數(shù)和分?jǐn)?shù)；(4)互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號(同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù))．2.有理數(shù)除法法則：法則一：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即.法則二：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.要點：（1）一般在不能整除的情況下應(yīng)用法則一，在能整除時應(yīng)用法則二方便些．（2）因為0沒有倒數(shù)，所以0不能當(dāng)除數(shù)．（3）法則二與有理數(shù)乘法法則相似，兩數(shù)相除時先確定商的符號，再確定商的絕對值．十、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算由于乘除是同一級運(yùn)算，應(yīng)按從左往右的順序計算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后算出結(jié)果．十一、有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無括號，則按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如有括號，則先算括號里面的．十二、有理數(shù)乘方和科學(xué)記數(shù)法1．有理數(shù)乘方的概念求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).2．有理數(shù)乘方的運(yùn)算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．3．偶次乘方的非負(fù)性任何一個數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)，即．4．含乘方的混合運(yùn)算有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行．5．科學(xué)記數(shù)法的表示（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．（科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)）（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負(fù)號．6．近似數(shù)的表示“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差絕對值的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些．1.有理數(shù)運(yùn)算注意事項.要點：（1）在交換因數(shù)的位置時，要連同符號一起交換．（2）乘法運(yùn)算律可推廣為：三個以上的有理數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，或者把其中的幾個因數(shù)相乘．如abcd＝d(ac)b．一個數(shù)同幾個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這幾個數(shù)相乘，再把積相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）運(yùn)用運(yùn)算律的目的是“簡化運(yùn)算”，有時，根據(jù)需要可以把運(yùn)算律“順用”，也可以把運(yùn)算律“逆用”．2.化簡絕對值：．3.點在數(shù)軸上的追及問題．考點剖析考點一、正負(fù)數(shù)，相反意義的量.例1：《九章算術(shù)》中有注：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之．”意思是：“今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)和負(fù)數(shù)．”如果高于海平面260米記為米，那么低于海平面300米應(yīng)記為．【答案】米【解析】由高于海平面260米記為米可得，低于海平面300米記作米．故答案：米．考點二、求一個數(shù)的相反數(shù)，絕對值，倒數(shù).例2：2的相反數(shù)是，－3的絕對值是．【答案】；【解析】2的相反數(shù)是，－3的絕對值是3．故答案為：，考點三、科學(xué)記數(shù)法表示大于1的數(shù).例3：截止到12月12日16時45分，“嫦娥四號”探測器在經(jīng)過約396000秒的奔月飛行后，達(dá)到月球附近，數(shù)字396000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故選D．考點四、有理數(shù)的混合運(yùn)算.例4：計算：(1)； (2)；(3)； (4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．考點五、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù).例5：點A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示：(1)點A表示的數(shù)是___________，點B表示的數(shù)是___________；(2)在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0，，，；(3)把（1）（2）中的六個有理數(shù)用“”號連接起來．【解析】（1）根據(jù)數(shù)軸可知，點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是，故答案為：，；（2）在數(shù)軸上表示各數(shù)如下所示：（3）各數(shù)大小關(guān)系排列如下：．考點六、有理數(shù)運(yùn)算的實際應(yīng)用.例6：有8筐白菜，以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來表示，記錄如下：編號與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）(1)8筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？(2)與標(biāo)準(zhǔn)重量比較，8筐白菜總計超過或不足多少千克？(3)若白菜每千克售價2元，則出售這8筐白菜可賣多少元？【解析】（1）（千克）．答：筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐重千克．（2）（千克）．答：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量比較，筐白菜總計不足千克．（3）解：這筐白菜的總重量為：（千克），若白菜每千克售價元，則這筐白菜總共可賣（元）．答：若白菜每千克售價元，則出售這8筐白菜可賣元．考點七、根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負(fù).例7：若有理數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，故選項A錯誤，不符合要求；，故選項B錯誤，不符合要求；，故選項C錯誤，不符合要求；，故選項D正確，符合要求；故選D．考點八、借著數(shù)軸化簡絕對值.例8：若數(shù)軸上的點A、B、C分別表示有理數(shù)a，b，c，O為原點，如圖所示．(1)用“＞”或“＜”填空：0，0，0；(2)化簡．【解析】（1）由圖可得：，且，所以，，；故答案為<，<，>；（2）因為，，，所以．考點九、絕對值非負(fù)性的應(yīng)用.例9：已知，則的值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因為，所以，所以，所以．故選A．考點十、分類討論化簡絕對值.例10：（1）若，；若，；（2）若，則＝；（3）若，則．【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．【解析】（1）因為，所以，所以；因為，所以，所以，故答案為：1，；（2）因為，所以，所以，所以，故答案為：1；（3）因為，所以a，b，c符號有兩種情況：①一個負(fù)數(shù)、兩個正數(shù)；②三個負(fù)數(shù)．當(dāng)a，b，c中有一個負(fù)數(shù)、兩個正數(shù)時，不妨設(shè)，則；當(dāng)a，b，c中有三個負(fù)數(shù)時，，故答案為：1或．考點十一、數(shù)軸上的動點問題中的追及問題.例11：如圖：在數(shù)軸上，點A對應(yīng)的數(shù)是，點B對應(yīng)的數(shù)是16，兩動點M、N同時從原點O出發(fā)，點M以每秒1個單位的速度沿數(shù)軸向點B運(yùn)動；點N以每秒3個單位的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，到達(dá)點A后停留1秒，再從點A沿數(shù)軸向右到達(dá)點B后停止運(yùn)動．設(shè)點M的運(yùn)動時間為秒．(1)當(dāng)時，線段的長為________（直接填空）；當(dāng)時，線段的長為________（直接填空）；(2)在運(yùn)動過程中，當(dāng)點M與點N重合時，求t的值；(3)當(dāng)線段的長為7時，直接寫出t的值．【解析】（1）解：當(dāng)時，點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為，所以；當(dāng)時，點N表示的數(shù)為，點M表示的數(shù)為，所以；故答案為：4，3；（2）解：由題意得，當(dāng)點M與點N重合時，點N肯定是在從A向B的運(yùn)動過程中，此時運(yùn)動t秒后，點N表示的數(shù)為，點M表示的數(shù)為，所以，解得；（3）解：當(dāng)點N向點A運(yùn)動的過程時，由題意得，解得，不符合題意；當(dāng)點N在點A停留時，由題意得，，解得，不符合題意；當(dāng)點N從點A向點B運(yùn)動過程中，且點N沒有追上M時，由題意得，，解得，不符合題意；當(dāng)點N從點A向點B運(yùn)動過程中，且點N追上M，且點N為到達(dá)點B前，由題意得，，解得；當(dāng)點N從點A向點B運(yùn)動過程中，且點N到達(dá)點B后停止運(yùn)動，由題意得，，解得；綜上所述，或．考點十二、數(shù)軸上的動點問題中的最值問題.例12：我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離：因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與－1所對應(yīng)的點之間的距離．（?。┌l(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？（ⅱ）探究問題：如圖，點A，B，P分別表示數(shù)－1，2，x，AB＝3，因為的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，所以當(dāng)點P在線段AB上時，PA＋PB＝3；當(dāng)點P在點A的左側(cè)或點B的右側(cè)時，PA＋PB＞3；所以的最小值是3．請你根據(jù)上述自學(xué)材料，探究解決下列問題：(1)的最小值是______；(2)當(dāng)a為何值時，代數(shù)式的最小值是2．【解析】（1）因為.如圖，表示點到點的距離與點到點的距離之和，當(dāng)點在線段上時，，當(dāng)點在點的左側(cè)或點的右側(cè)時，，所以的最小值是5；（2）因為數(shù)軸上表示數(shù)2的點到表示數(shù)4的點的距離為，數(shù)軸上表示數(shù)6的點到表示數(shù)4的點的距離也為，因此當(dāng)為或時，原式的最小值是．過關(guān)檢測一、選擇題1．在跳遠(yuǎn)測試中，小明的成績?yōu)?.1米，記作米．若小亮的成績記作米，則小亮的成績?yōu)椋?/p>

）A．1.4米 B．1.6米 C．1.8米 D．1.9米【答案】A【解析】由題意可得標(biāo)準(zhǔn)為（米），因為小亮的成績記作米，所以小亮的成績?yōu)椋祝蔬xA．2．2023年我國高校畢業(yè)生高達(dá)1158萬人，其中474萬本科畢業(yè)生為了提升自己的學(xué)歷，好憑借更高的學(xué)歷，跨過更高的職業(yè)門檻，選擇報考研究生，請用科學(xué)記數(shù)法表示報考研究生的人數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】474萬，故選D．3．下列算式正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】A、，故原題計算錯誤；B、，故原題計算正確；C、，故原題計算錯誤；D、，故原題計算錯誤；故選B．4．如圖，點表示數(shù)，點表示數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由數(shù)軸知，，所以，；故選C．5．下列說法中正確的個數(shù)是（）①若，，則x，y都為負(fù)數(shù)；②已知，則的值不可能為0；③若，則的大小關(guān)系是；④若a，b，c為有理數(shù)，且，則的值為．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解析】①若，，則x，y異號，且負(fù)數(shù)的絕對值較大，故①說法錯誤；②已知，不妨設(shè)，則，故②說法錯誤；③若，則的大小關(guān)系是，故③說法錯誤；④由題知a，b，c為三個不為0的有理數(shù)，且，所以a，b，c中負(fù)數(shù)有2個，正數(shù)有1個，所以，所以的值為1，故④說法錯誤．所以說法中正確的個數(shù)是0．故選A．二、填空題6．化簡：①；②的相反數(shù)是；③比較大?。敬鸢浮浚?；【解析】；因為，所以相反數(shù)是；因為，，，所以．故答案為：，，．7．早在公元前5世紀(jì)我國春秋戰(zhàn)國初期，魏國的相國李悝就在《法經(jīng)》一書中用“不足”來表示虧空．如果盈余250兩記作兩，那么虧空100兩記作兩．【答案】【解析】因為盈余250兩記作兩，所以虧空100兩記作兩，故答案為：．8．如圖，點A，B，C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a，b，c，A，B兩點間的距離表示為，B，C兩點間的距離表示為．若，，，則的值是．【答案】【解析】因為所以點關(guān)于原點對稱，對應(yīng)的數(shù)字b，c互為相反數(shù)，因為所以因為，所以，所以故答案為：．9．細(xì)菌是靠分裂進(jìn)行生殖的，也就是1個細(xì)菌分裂成2個細(xì)菌，分裂完的細(xì)菌長大以后又能進(jìn)行分裂．例如，圖中所示為某種細(xì)菌分裂的電鏡照片，顯示這種細(xì)菌每20分鐘就能分裂一次．1個這種細(xì)菌經(jīng)過3個小時可以分裂成個細(xì)菌．【答案】512【解析】3小時=180分鐘，（次）．即1個這種細(xì)菌經(jīng)過3個小時可以分裂成的細(xì)菌個數(shù)為：．故答案為：512．10．如圖所示，將圓的周長分為4個單位長度，在圓的4等分點處標(biāo)上數(shù)字0，1，2，3，先讓圓周上數(shù)字0所對應(yīng)的點與數(shù)軸上的數(shù)1所對應(yīng)的點重合，再讓圓沿著數(shù)軸按逆時針方向滾動，那么數(shù)軸上的數(shù)2024將與圓周上的數(shù)字__________重合．【答案】1【解析】由題意可得，2024÷4=506，因為由數(shù)軸可得：數(shù)軸上的1對應(yīng)圓周上的0，所以數(shù)軸上的0對應(yīng)圓周上的1，所以2024將與圓周上的數(shù)字1重合，故答案為：1．三、計算題11．計算：(1)； (2)；(3)； (4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．12．已知有理數(shù)：0,．(1)在數(shù)軸上表示這些有理數(shù)；(2)將上述有理數(shù)用“<”連接起來；(3)將上述有理數(shù)填入下圖中相應(yīng)的圓圈內(nèi)（每個數(shù)只能寫在一個對應(yīng)區(qū)域內(nèi)）．【解析】（1）在數(shù)軸上表示這些有理數(shù)如圖所示：；（2）；（3）負(fù)數(shù)集合為：，整數(shù)集合為：，正數(shù)集合為：，如圖所示：13．為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，零陵區(qū)委區(qū)政府打造特色經(jīng)濟(jì)作物產(chǎn)業(yè)，根據(jù)我區(qū)地域優(yōu)勢發(fā)展種植“四季水果園”．黃田鋪鎮(zhèn)的萬畝紐荷爾臍橙便是其中精品項目之一，紐荷爾臍橙質(zhì)優(yōu)價美，深受大家喜愛．下面是小明家種植的一塊地所采摘的袋臍橙，小明在記錄重量時采用了如下記錄方法，以千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過或不足部分分別用正，負(fù)數(shù)表示，記錄如下：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量差值袋數(shù)(1)請求出袋臍橙中最重一袋比最輕一袋重___________千克；(2)與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比，袋臍橙總質(zhì)量超過或不足多少千克？(3)若這批臍橙每千克售價為元，那么這袋臍橙可賣多少元？【解析】（1）因為，所以20袋臍橙中，最重的一袋比最輕的一袋重：（千克），故答案為：4；（2）（千克），答：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比，20袋臍橙總質(zhì)量不足6千克；（3）（元）．答：這20袋臍橙可賣2470元．14．我們知道數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，利用數(shù)軸及絕對值知識結(jié)合數(shù)形結(jié)合、分類討論思想可以解決一些問題．求解下列問題：(1)若時，的值為___________；(2)若成立，則___________；(3)若，則___________；(4)當(dāng)式子取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是___________，最小值是___________．【解析】（1）時，，故答案為：；（2）表示數(shù)軸上數(shù)a的點到的距離與到9的距離相等，因為與9的距離為，所以中點到的距離為7，所以，所以，故答案為：2；（3）因為，所以a，b，c符號有兩種情況：①一個負(fù)數(shù)、兩個正數(shù)；②三個負(fù)數(shù)．