專題08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）構(gòu)等腰角平分線第二定理模型（教師卷）

專題08三角形中的重要模型平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識點，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點，，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。平分平行（射影）構(gòu)等腰模型、角平行線第二定理模型（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理模型）模型1、平分平行（射影）構(gòu)等腰1）角平分線加平行線必出等腰三角形．模型分析：由平行線得到內(nèi)錯角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題．平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個條件都可以得出第三個。（簡稱：“知二求一”，在以后還會遇到很多類似總結(jié)）。平行四邊形中的翻折問題就常出現(xiàn)該類模型。

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點O作的平行線與，分別相交于點M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．→圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。例1．（2023·河南濮陽·統(tǒng)考二模）如圖，直線，點、分別在、上，以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交、于點、；分別以、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點；作射線交于點．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)作圖可知是的角平分線，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴∵，∴根據(jù)作圖可知是的角平分線，∴，故選：B．【點睛】本題考查了作角平分線，平行線的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．例2．（2023.湖南長沙八年級期中）如圖，點O為△ABC的∠ABC和∠ACB的平分線的交點，OD//AB交BC于點D，OE//AC交BC于點E．若AB=5cm，BC=10cm，AC=9cm，則△ODE的周長為(

)A．10cm B．9cm C．8cm D．5cm【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，把△ODE三條邊轉(zhuǎn)移到同一條線段BC上，即可解答．【詳解】解：如圖：∵OC、OB分別是∠ACB、∠ABC的角平分線，∴∠5=∠6，∠1=∠2，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠4=∠6，∠1=∠3．∴∠4=∠5，∠2=∠3，即OD=BD，OE=CE．∴△ODE的周長=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．故選：A．【點睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明△BDO，△OEC都是等腰三角形．例3．（2023·廣東·八年級期末）如圖，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E點，CF平分∠BCD交AD于F點，則EF的長為cm．【答案】1【分析】根據(jù)角平分線的概念、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，可分別推出AE=AB，DF=DC，進(jìn)而推出EF=AE+DFAD．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，則∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3cm，同理可證：DF＝DC＝AB＝3cm，則EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．故答案為：1．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是運(yùn)用角平分線的概念和平行線的性質(zhì)，由等角推出等邊．例4.（2023.成都市青羊區(qū)八年級期中）如圖，在中，，于點D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________．【答案】5【詳解】由角度分析易知，即，∵∴∵∴【點睛】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型．例5．（2023.山東八年級期末）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)圖①中有幾個等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5個，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BEFC．【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根據(jù)EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，則EO=BE，OF=FC，則EF=BE+FC．（2）由（1）的證明過程可知：在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過程中，與AB=AC的條件沒有關(guān)系，故這兩個等腰三角形還成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立．（3）思路與（2）相同，只不過結(jié)果變成了EF=BEFC．【詳解】解：（1）圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（2）當(dāng)AB≠AC時，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，（1）的結(jié)論仍然成立．∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，F(xiàn)O=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BEFC．理由如下：同（1）可證得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EOFO=BEFC．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線、角平分線的性質(zhì)等知識．進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．模型2、角平行線第二定理（內(nèi)角平分線定理和外角平分線定理）模型1）內(nèi)角平分線定理圖1圖2圖3條件：如圖1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分線。結(jié)論：2）外角平分線定理條件：如圖2，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點D。結(jié)論：．3）奔馳模型條件：如圖3，的三邊、、的長分別是a，b，c，其三條角平分線交于點O，將分為三個三角形。結(jié)論：=c：a：b。例1．（2022秋·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，是的平分線，設(shè)和的面積分別是，，則．【答案】/【分析】過點D作于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的面積公式得出與即可求解．【詳解】解：如圖，過點D作于E，∵，，是的角平分線，∴，∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·廣東惠州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，的三邊，，長分別是3，4，5，其三條角平分線將分為三個三角形，則為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作于點，作于點，作于點，由，，是的三條角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，然后利用三角形面積的計算公式表示出、、，結(jié)合已知，即可得到所求的三個面積的比．【詳解】解：過點作于點，作于點，作于點．

，，是的三條角平分線，，于，，的三邊、、長分別為3、4、5，．故選：D．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題．例3．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問題：角平分線分線段成比例定理，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則．下面是這個定理的部分證明過程．證明：如圖2，過點C作．交BA的延長線于點E．…任務(wù)：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；(2)如圖3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過C作，交BA的延長線于E，利用平行線分線段成比例定理得到，利用平行線的性質(zhì)得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有；（2）先利用勾股定理計算出，再利用（1）中的結(jié)論得到，即，則可計算出，然后利用勾股定理計算出，從而可得到△ABD的周長．【詳解】（1）證明：如圖2，過C作．交BA的延長線于E，∵，∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴．（2）解：如圖3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴，∵AD平分∠BAC，∴，即，∴，∴，∴△ABD的周長．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，勾股定理，掌握平行線分線段成比例定理，理解角平分線分線段成比例定理是關(guān)鍵．例4、△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點D，求證：．證明：過C作AD的平行線交AB于點E．∵∴，∠1=∠3，∠2=∠4∵AD為∠BAC的外角平分線∴∠1=∠2∴∠3=∠1=∠2=∠4∴AE=AC∴例5.（2022秋·北京·八年級北京八十中?？计谥校┰谥?，D是邊上的點（不與點B、C重合），連接．(1)如圖1，當(dāng)點D是邊的中點時，_____；(2)如圖2，當(dāng)平分時，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如圖3，平分，延長到E．使得，連接，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)16【分析】（1）過A作于E，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（2）過D作于E，于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（3）根據(jù)已知和（1）（2）的結(jié)論求出和的面積，即可求出答案．【詳解】（1））過A作于E，∵點D是邊上的中點，∴，∴故答案為：；（2）過D作于E，于F，∵為的角平分線，∴，∵，，∴；（3）∵，∴由（1）知：，∵，∴，∵，平分，∴由（2）知：，∴，∴，故答案為：16．【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積公式，能根據(jù)（1）（2）得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023春·山東淄博·九年級?？计谥校┤鐖D，中，，點I為各內(nèi)角平分線的交點，過I點作的垂線，垂足為H，若，，，那么的值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】連接、、，過I作于M，于N，利用角平分線的性質(zhì)，以及等積法求線段的長度，即可得解．【詳解】解：連接、、，過I作于M，于N，∵點I為各內(nèi)角平分線的交點，，，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，，，，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，等積法求線段長度．熟練掌握角平分線的性質(zhì)，利用等積法求線段的長度是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，相交于點于，，下列四個結(jié)論：①；②；③若的周長為，則；④若，則．其中正確的結(jié)論有（

）個．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可驗證結(jié)論①；如圖所示，在上截取，可證，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可驗證結(jié)論②；如圖所示，連接，過點分別作于點，作于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形的面積計算方法可驗證結(jié)論③；結(jié)合結(jié)論②，③，圖形結(jié)合，等面積法等知識可驗證結(jié)論④．【詳解】解：結(jié)論①，∵，，∴，∵是的角平分線，∴，，∴，在中，，∴，故結(jié)論①正確；結(jié)論②，由結(jié)論①正確可知，，∵，∴，∵，∴，如圖所示，在上截取，

∵是的角平分線，∴，∴在中，，∴，∴，∴，∴，，∴在中，，∴，∴，∴，故結(jié)論②正確；結(jié)論③若的周長為，則，如圖所示，連接，過點分別作于點，作于點，

∵是的角平分線，，，∴平分，，且，∵，∴，故結(jié)論③錯誤；結(jié)論④若，則，如圖所示，連接，過點分別作于點，作于點，∵，，且，∴，如圖所示，過點作于點，

∴，，∴，且，∴，同理，，如圖所示，由結(jié)論②正確可知，，，且∴，∴，∴，∴，故結(jié)論④正確；綜上所述，正確的有①②④，個，故選：．【點睛】本題主要考查三角形的綜合知識，掌握角的和差計算方法，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線交的性質(zhì)，線段之間比例的計算方法等知識的綜合是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·四川南充·八年級?？计谀┤鐖D，內(nèi)角和外角的平分線交于點，交于點，過點作交于點，交于點，連接，有以下結(jié)論；①；②；③若，則；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①根據(jù)角相等推出線段相等，再將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可證明；②與不能得出全等的結(jié)論，無法證明；③若，無法推出；④利用三角形面積的公式即可證明；⑤通過設(shè)未知數(shù)找到等量關(guān)系，從而證明．【詳解】①∵∴，∵內(nèi)角和外角的平分線交于點∴，∴，∴，∴∴，故①正確．②與只有兩個角是相等的，能得出相似，但不含相等的邊，所以不能得出全等的結(jié)論，不能推出，故②錯誤③若，則，則，無法推出，故③錯誤④的面積為乘以點到線段的距離乘以的面積為乘以點到線段的距離乘以點到線段的距離與點到線段的距離相等∴，故④正確⑤過點E作于N，于D，于M，如圖，∵平分，∴∵平分，∴∴，∴平分，設(shè)，，，則，，∵，∴，∴°，∵，∴，∴，即，故⑤正確；故選C【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等多個知識點，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)的定理進(jìn)行求解．4．（2022秋·江蘇宿遷·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，垂足為D，平分，交于點E，交于點F．若，則的長為（）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，根據(jù)角平分線和對頂角相等得出，即可得出，再利用勾股定理得出的長，即可得出答案．【詳解】解：過點F作于點G，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴設(shè)，則，則，解得：，即的長為．故選：A．【點睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是推出．5．（2023春·四川達(dá)州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F，則下列結(jié)論成立的是（）

A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF【答案】C【分析】求出∠CAF＝∠BAF，∠B＝∠ACD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠CEF＝∠CFE，即可得出答案；【詳解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAF，∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF．故選C．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．6．（2023·貴州·中考模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】利用角平分線和平行可以證明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN=MN即可解答．【詳解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵M(jìn)NBC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故選D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線和平行可以證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，以下結(jié)論錯誤的是（

）A．是的平分線 B．C．點在線段的垂直平分線上 D．【答案】D【分析】由作圖可得：平分可判斷A，再求解可得可判斷B，再證明可判斷C，過作于再證明再利用，可判斷D從而可得答案．【詳解】解：由作圖可得：平分故A不符合題意；故B不符合題意；在的垂直平分線上，故C不符合題意；過作于平分故D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．若AC＝6，AB＝10，則DE的長為（）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根據(jù)角平分線和對頂角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠AC＝6，AB＝10，則由勾股定理知：∴AC?BC＝AB?CD，則過點F作FG⊥AB于點G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴∵AC＝6，AB＝10，BC＝8，∴∵FC＝FG，∴解得：FC＝3，即CE的長為3．∴DE＝CD﹣CE＝﹣3＝．故選A．【點睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是推出∠CEF＝∠CFE．9．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，分別是，的平分線，過點D作，分別交，于點E，F(xiàn)．若，，則的長為．【答案】【分析】證明均為等腰三角形，得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，分別是，的平分線，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查角平分線，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握遇到角平分線和平行線，常常會有等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·陜西咸陽·八年級咸陽市秦都中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點為的邊上一點，點分別在邊上，連接，若，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的判定與性質(zhì)可知，最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，過點作，垂足為，∵，，∴，∵，∴，∴是的角平分線，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為．

【點睛】本題考查角平分線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握角平分線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．（2023秋·安徽滁州·八年級統(tǒng)考期末）中，D是邊上的點（不與點B，C重合），連接．

（1）如圖1，當(dāng)平分時，若，，則；（2）如圖2，平分，延長到E，使得，連接，如果，，，則.【答案】/9【分析】（1）過作于E，于，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形面積公式即可得到答案；（2）根據(jù)可得到，再根據(jù)，和（1）的結(jié)論得到，即可求出的面積．【詳解】解：（1）如圖1，過D作于E，于F，

是的角平分線，，，，，故答案為：；（2），∴，，，平分，由（1）可知：，，，故答案為：9．【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積公式，靈活運(yùn)用（1）（2）得出的結(jié)論是解題關(guān)鍵．12.（2023.廣東九年級期中）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時，EP+BP=________.【答案】12【解答】解：如圖，延長BQ交射線EF于點M.E、F分別是AB、AC的中點，EF//BC，∠CBM=∠EMBBM平分∠ABC，∠ABM=∠CBM，∠EMB=∠EBM，EB=EM，EP+BP=EP+PM=EMCQ=CE，EQ=2CQ由EF//BC得，△EMQ∽△CBQ13．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，是斜邊上的高，的平分線交于點，交于點．

(1)求證：是等腰三角形．(2)若，．求的長度．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意和圖形，可以求得，然后即可證明結(jié)論成立．（2）根據(jù)勾股定理可以求得的長，設(shè)，再根據(jù)勾股定理再根據(jù)等面積法和等腰三角形的性質(zhì)，即可求得的長．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）在中，過點作，垂足為，

∵平分，，∴，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，∴，，在中，即，解得，∵，∴，即，∴，∴，∴的長度為．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．14．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，是邊上的高，是的角平分線，與交于點，求證：是等腰三角形．

【答案】見解析【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得，根據(jù)等角對等邊求得，從而求得是等腰三角形．【詳解】證明：∵在中，，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∴，即，∴，∴是等腰三角形．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、直角三角形兩銳角互余、角平分線的定義、三角形外角的定義和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．（2023廣東江門八年級月考）（1）如圖1，已知，在中，，平分，平分，過點作，分別交、于、兩點，則圖中共有________個等腰三角形：與、之間的數(shù)量關(guān)系是________，的周長是________．（2）如圖2，若將（1）中“中，”改為“若為不等邊三角形，，”其余條件不變，則圖中共有________個等腰三角形；與、之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出的周長．（3）已知：如圖3，在外，，且平分，平分的外角，過點作，分別交、于、兩點，則與、之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？寫出結(jié)論并證明．【答案】（1）5，，20（2）2，，證明見詳解，18（3），證明見詳解【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，“兩直線平行，同位角相等”、“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可知，，即可求出，，根據(jù)“等角對等邊”可知，即可確定等腰三角形的數(shù)量，與、之間的數(shù)量關(guān)系以及的周長；（2）若為不等邊三角形，根據(jù)角平分線的定義可知，再結(jié)合平線性的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可知，即可推導(dǎo)，然后根據(jù)“等角對等邊”即可證明，然后解答即可；（3）根據(jù)角平分線的定義可知，再結(jié)合平線性的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可知，即可推導(dǎo)，然后根據(jù)“等角對等邊”即可證明，即可證明與、之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴等腰三角形有，共計5個，∴，即，∴的周長，故答案為：5，，20；（2）若為不等邊三角形，∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴等腰三角形有，共計2個，故答案為：2；∵，∴，即；∴的周長；（3）與、之間的數(shù)量關(guān)系為：，證明：∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即與、之間的數(shù)量關(guān)系為．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16.（2022秋·福建廈門·八年級廈門市湖里中學(xué)校考期中）如圖，為的角平分線．（1）如圖1，若于點，交于點，，．則________；（2）如圖2，若，，的面積是10，求的面積；（3）如圖3，若，，，請直接寫出的長（用含，的式子表示）【答案】（1）2；（2）24；（3）【分析】（1）利用ASA證明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案；（2）作DE⊥AB交于點E，DF⊥AC交于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DF，根據(jù)的面積求出DF，再求△ABD的面積，最后求出的面積；（3）在AB上取AN＝AC，可得CD＝DN＝m﹣n，根據(jù)△ABD和△ACD的高相等，面積比等于底之比可求出BD的長．【詳解】解：（1）∵AD是△ABC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠CFA＝∠EFA，在△AEF和△ACF中，∴△AEF≌△ACF（ASA），∴AE＝AC＝5，∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，故答案為：2；（2）如圖，作DE⊥AB交于點E，DF⊥AC交于點F∵的面積是10，AC=5，∴DF=2×10÷5=4，∵為的角平分線，∴DE=DF=4，∴=,∴．

（3）如圖，在AB上取AN＝AC，∵AD是△ABC的平分線，∴∠NAD＝CAD，在△ADN與△ADC中，∴△ADN≌△ADC（SAS），∴∠AND＝∠C，DN＝CD，∵∠C＝2∠B，∴∠AND＝2∠B，∴∠B＝∠BDN，∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n，∴CD＝DN＝m﹣n，根據(jù)△ABD和△ACD的高相等，面積比等于底之比可得：，∴，∴BD＝，故答案為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的面積等知識，利用角的軸對稱性構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考二模）如圖，，按照下列步驟作圖：①以點A為圓心，小于的長為半徑畫弧，分別交、于E、F兩點；②分別以E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③作射線，交于點M．(1)試根據(jù)作圖過程，說明是的平分線的理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）連接、易證，可得；（2）依據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可求得，最后依據(jù)三角形內(nèi)角和求解即可．【詳解】（1）連接、，根據(jù)作圖知：，在與中，，，，是的平分線．（2）由題意得，是的平分線，，∵，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的證明和性質(zhì)、角平分線的證明和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)換求值．18．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）愛動腦筋的小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完角平分線的性質(zhì)一節(jié)后意猶未盡經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)里面還有一個有趣的結(jié)