專題251直線與圓的位置關系-

專題2.5.1直線與圓的位置關系【基本知識梳理】知識點1：直線與圓的位置關系的判斷直線l：Ax＋By＋C＝0與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系位置關系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判斷方法幾何法：設圓心到直線的距離為d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0【特別注意】直線與圓的位置關系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組的解的個數(shù)來判斷．(3)直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷定點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關系．但有一定的局限性，必須是過定點的直線系．知識點2：圓的弦長問題求直線與圓相交時弦長的兩種方法：(1)幾何法：如圖①，直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).圖①(2)代數(shù)法：如圖②所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，圖②則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直線l的斜率k存在)．知識點3：圓的切線問題求過某一點的圓的切線方程(1)過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法①若切線斜率存在且不為0，則先求切點與圓心連線所在直線的斜率k(k≠0)，由垂直關系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式方程可得切線方程．②若切線斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.(2)過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法①若切線斜率存在，設切線的斜率為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．②當切線斜率不存在時要加以驗證．③過圓外一點的切線有兩條．知識點4：圓的方程的實際應用（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担米鴺撕头匠瘫硎締栴}中的幾何要素，通過代數(shù)運算，解決幾何問題．（2）解決直線與圓的實際應用題的步驟①審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知．②建系：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担米鴺撕头匠瘫硎編缀文Ｐ椭械幕驹兀矍蠼猓豪弥本€與圓的有關知識求出未知．④還原：將運算結果還原到實際問題中去．【題型1直線與圓的位置關系的判定】【例1】（20232024·浙江紹興·高二上·期中）已知直線，圓，則直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.以上都有可能【答案】C【解析】【分析】求出點到直線的距離即可求解.【詳解】因為圓，所以，半徑，因為點到直線的距離，所以直線與圓的位置關系是相離.故選：C.【變式11】（20232024·安徽·高三·聯(lián)考）已知直線，圓，則該動直線與圓的位置關系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得直線表示過定點，且除去的直線，點在圓上，可判斷直線與圓相交.【詳解】因為直線，即，當時，，解得，所以直線表示過定點，且除去的直線，將圓的方程化為標準方程為，因為，點在圓上，所以直線與圓可能相交，可能相切，相切時直線為，不合題意，所以直線與圓相交.故選：C.【變式12】（20232024·山東菏澤·高二上·期中）（多選）已知圓，則（）A.點在圓的內(nèi)部 B.圓的直徑為2C.過點的切線方程為 D.直線與圓相離【答案】ACD【解析】【分析】利用圓的標準方程，找到圓心和半徑，利用直線和圓的位置關系判斷即可.【詳解】A:將點代入圓：，所以點在圓內(nèi)，故A正確；B:圓的半徑為，所以直徑為，故B錯誤；C:將代入圓：，所以點在圓上，過圓上的一點做圓的切線有且只有一條，當斜率不存在時，此時過點的直線為，滿足，故只有唯一的切線方程，故C正確；D:圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故D正確.故選：ACD【變式13】（20232024·山東德州·高二上·期中）直線與圓的公共點個數(shù)為（）．A.0個 B.1個 C.2個 D.1個或2個【答案】D【解析】【分析】求直線過的定點，再判斷直線與圓位置關系，【詳解】為，故過定點，在圓上，故直線與圓相切或相交，公共點個數(shù)為1個或2個，故選：D【題型2根據(jù)直線與圓的位置關系求參數(shù)】【例2】（20232024·福建廈門·高二下·期末）（多選）已知直線與圓：有公共點，則可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相交或相切，則圓心到直線的距離，可解問題.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，由于直線與圓有公共點，則，解得，由于，所以符合條件的選項為C、D.故選：CD.【變式21】（20232024·山西咸陽·高二下·期末）若直線與圓有公共點，則的一個取值是_______.【答案】0（或1或2）【變式22】（20222023·山東煙臺·高二上·期中）若直線與圓相離，則過點的直線與圓的位置關系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求出圓心到直線的距離大于半徑，得到，故點在圓內(nèi)，進而判斷結果.【詳解】因為直線與圓相離，所以圓心到直線的距離大于半徑，即，所以，故點在圓內(nèi)，所以過點的直線與圓相交，故選：C.【變式23】（20232024·湖南衡陽·高三上·期末）（多選）已知半徑為的圓的圓心在直線上，且圓與直線相切，則圓的圓心坐標可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑列方程求解.【詳解】依題意可設圓的圓心坐標為，則，解得或，所以圓的圓心坐標為或.故選：AC【變式24】（20232024·全國·高三·階段練習）已知直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2A．14 B．12 C．1【解題思路】由直線和圓相切可得m2【解答過程】由于直線l:mx+ny=1與圓O:x故圓心到直線l的距離為d=1m2故mn≤m2+故選：B.【題型3圓的切線長及切線方程的求解】【例3】（20232024·天津·高二上·階段練習）圓在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】容易知道點為切點，圓心，設切線斜率為k，從而，由此即可得解.【詳解】將圓的方程化為標準方程得，∵點在圓上，∴點P為切點．從而圓心與點P的連線應與切線垂直．又∵圓心為，設切線斜率為k，∴，解得．∴切線方程為．故選：D.【變式31】（20232024·山東青島·高二上·期中）過點作圓的兩條切線，，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點點距離公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面積公式即可求解.【詳解】由可得，所以,進而可得，故，所以四邊形的面積為，故選：C【變式32】（20232024·山東濰坊·高二上·期中）已知圓：，直線：，為上的動點，過點作圓的切線，，切點分別為，，當四邊形面積最小時，的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心和半徑，然后得到四邊形面積為，利用切線長公式可知，當最短時，四邊形面積最小，求解即可得到答案.【詳解】

將化為標準方程為：，所以圓的圓心為，半徑為2，由題意，四邊形面積為，又因為，所以當最短時，四邊形面積最小，此時.故選：C【變式33】（20232024·山東青島即墨·高二上·期中）（多選）已知點為圓的兩條切線，切點分別為，則下列說法正確的是（

）A．圓的圓心坐標為，半徑為B．切線C．直線的方程為D．【答案】AC【分析】將圓的方程配方易得A項正確；利用圓的切線的性質(zhì)和勾股定理易求得；設出切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑求出值，回代入直線方程與圓的方程聯(lián)立，求出點的坐標，再利用斜率關系即可求得直線的方程；先判斷，求出的正余弦，再求即得.【詳解】對于A項，由可得：，知圓心為,半徑為，故A項正確；

如圖，點為圓的兩條切線,切點分別為.對于B項，分別連接,在中，,則,故B項錯誤；對于C項，設過點的圓的切線方程為：，即：，由圓心到直線的距離，解得：，取，則切線方程為代入整理得：，解得：，代入可得：，即得：，因,直線的斜率為1，則直線的斜率為，故直線的方程為：，即：，故C項正確；對于D項，由對稱性可知,由上分析知，,則，于是，.故D項錯誤.故選：AC.【點睛】思路點睛：本題主要考查直線與圓相切產(chǎn)生的切線長，直線方程和夾角問題，屬于較難題.解決此類題目的思路即是，作出圖形，利用圖形的幾何性質(zhì)，借助于直線與圓的方程聯(lián)立，求出相關點坐標和相關角的三角函數(shù)值即可依次求得.【變式34】（20232024·山西太原·高二上·期末）已知圓的方程為，點在圓內(nèi).（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求過點且與圓相切的直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用點與圓的位置關系列出不等式，求解不等式即得.（2）按切線斜率存在與否分類求出切線方程.【小問1詳解】圓：的圓心，半徑由點在圓內(nèi)，得，解得，所以的取值范圍為.【小問2詳解】顯然點在圓外，圓的切線經(jīng)過點，圓心到直線的距離為2，則直線是過點的圓的切線；當切線的斜率存在時，設圓的切線方程為，由，解得，切線方程為，即，所以圓的切線方程為或.【題型4已知切線求參數(shù)】【例4】（20232024·浙江寧波·高二上·期中）若直線與圓相切，則（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】【分析】求出圓的圓心和半徑，再利用圓的切線性質(zhì)求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，依題意，，解得，所以.故選：A【變式41】（20232024·全國·高三·模擬）“b=2”是“直線y=x+b與圓x2+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑得到方程，解出b值，再根據(jù)充分不必要條件的判定即可得到答案.【解答過程】若直線y=x+b與圓x2則圓心0,0到直線x?y+b=0的距離d等于半徑r，即b2=1，故前者能推出后者，后者無法推出前者，故“b=2”是“直線y=x+b與圓x故選：A.【變式42】（20232024·浙江臺州·高二上·期中）已知點P，Q是圓O：上的兩個動點，點A在直線l：上，若的最大值為，則點A的坐標是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷直線與圓為相離，再由題設得為圓的切線，根據(jù)已知確定，設應用兩點距離公式求坐標.【詳解】由到的距離，故直線任意一點與圓上兩點所成角最大，則為圓的切線，要使的最大值為，即為邊長為的正方形，則，此時，令，有，，所以，即.故選：A【變式43】（20232024·山東臨沂·高二上·聯(lián)考）已知直線l：的圖象與曲線C：有且只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍是．【答案】或【分析】求出動直線所過定點，化簡曲線為半圓，作出圖象，數(shù)形結合可得解.【詳解】由可得，即直線過定點，由可得，即曲線C：，作出曲線與直線的圖象，如圖，當直線過點時，斜率，當直線過點時，斜率，直線與曲線相切時，圓心到直線的距離，即，解得或（由圖可知不符合題意，舍去），由圖可知，當直線斜率滿足或時，直線與曲線只有一個交點.故答案為：或【題型5求圓的弦長與中點弦】【例5】（20232024·四川達州·高二上·期中）已知直線與圓交于兩點，則（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】先求出弦心距，然后根據(jù)弦長公式求出弦長即可.【詳解】由題意得圓的半徑為，圓心到的距離，所以，故選：B【變式51】（20232024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二上·階段練習）已知直線l與圓C:x?12+y2=9相交于A,B兩點,弦AB的中點為MA．x+2y+4=0 B．x+2y?4=0 C．x?2y+4=0 D．x?2y?4=0【解題思路】由M0,2是弦AB的中點,所以CM⊥AB,求出CM的斜率,進而求得AB的斜率,根據(jù)AB的中點為M0,2,根據(jù)點斜式即可寫出直線【解答過程】解:由題知,圓C:x?12+y因為弦AB的中點為M0,2,所以CM⊥AB因為kCM=2?1=?2因為M0,2在AB上,所以AB:y?2=12故選:C.【變式52】（20232024·山東棗莊·高二上·期中）直線被圓截得的最短弦長為________.【答案】【解析】【分析】求出直線過定點，當時直線被圓截得的最短弦長，從而求出最短弦長.【詳解】直線，即，令，解得，所以直線恒過點，又圓的圓心為，半徑，因為，當時直線被圓截得的最短弦長，最短弦長為.故答案為：【變式53】（20222023·山東德州·高二上·期中）已知圓C與x軸相切，圓心C在直線上，且與軸正半軸相交所得弦長為．（1）求圓C的方程；（2）過點的直線交圓于C，于E，F(xiàn)兩點，且，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】分析】（1）根據(jù)幾何法，利用勾股定理即可求解，（2）根據(jù)直線與圓相交，弦長公式即可求解.【小問1詳解】設圓心，因為圓與軸的正半軸相切，所以，圓的半徑為，因為圓截軸所得弦的弦長為，所以，即，又，所以，所以圓．【小問2詳解】當直線無斜率時，此時直線方程為，由題知：此時直線與圓C截得的弦長為，不滿足條件，當直線有斜率時，設直線方程為：，則圓心到直線的距離為，所以，解得，所以直線的方程為：或【題型6已知圓的弦長求方程或參數(shù)】【例6】（20232024·山東威?！じ叨稀て谀┮阎本€與圓交于，兩點，且，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，由垂徑定理得到方程，求出，驗證后得到答案.【詳解】變形為，故，解得，故圓心為，半徑為，設圓心到直線的距離為，則，由垂徑定理得，解得，滿足要求故選：D【變式61】（20232024·浙江杭州·高二上·期末）已知圓C：x2﹣2x+y2＝0與直線l：y＝mx+2m（m＞0），過l上任意一點P向圓C引切線，切點為A和B，若線段AB長度的最小值為2，則實數(shù)m的值為（）A．277 B．77 C．14【答案】D【變式62】（20232024·全國·高三·階段練習）直線y=kx+2與圓(x?2)2+(y?3)2=4相交于M,N兩點，若MNA．?34,34 B．?3【解題思路】根據(jù)MN≥23，由弦長公式得，圓心到直線的距離小于或等于1，從而可得關于【解答過程】圓(x?2)2+(y?3)2=4直線y=kx+2的方程化為一般形式為kx?y+2=0.∵MN≥23，設圓心到直線y=kx+2的距離為d∴d=2k?3+2k2故選：D.【變式63】（20232024·湖南長沙·高二上·期末）已知圓經(jīng)過點且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）已知直線經(jīng)過點，直線與圓相交所得的弦長為8，求直線的方程.【答案】解：（本題滿分12分）（1）設圓的方程為，因為圓經(jīng)過點，且圓心在直銭上，依題意有解得，所以圓的方程為.（2）設圓心到直戟的距離為，則弦長，當直線的斜率不存在時，，所以直線的斜率存在，設其方程為，即，，解得，所以所求直線的方程為或.【題型7直線與圓有關的最值問題】【例7】（20232024·北京豐臺·高二上·期中）已知點為圓上一點，記為點到直線的距離.當變化時，的最大值為______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)直線方程，求得該直線的定點，利用點到過定點直線以及點到圓上點距離的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由直線方程，則該直線過定點，易知圓上任意定點到該直線的最大距離就是該點到的距離，由圓的方程，則其圓心為，半徑為，點到圓上點的最大距離為.故答案為：.【變式71】（20232024·湖南·高二上·期中）（多選）已知直線：和圓：，則（）A.直線恒過定點B.直線與圓相交C.存在使得直線與直線：平行D.直線被圓截得的最短弦長為【答案】BD【解析】對于A，由可得，，令，即，此時，所以直線恒過定點，A錯誤；對于B，因為定點到圓心的距離為，所以定點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，B正確；對于C，因為直線：的斜率為，所以直線的斜率為，此時直線的方程為，直線與直線重合，故C錯誤；對于D，設直線恒過定點，圓心到直線的最大距離為，此時直線被圓截得的弦長最短為，D正確；故選BD.【變式72】（20232024·陜西·高二上·期中）已知直線l：x?y+4=0與x軸相交于點A，過直線l上的動點P作圓x2+y2=4的兩條切線，切點分別為C，D兩點，記M是CD的中點，則【答案】【變式73】（20232024·福建廈門·高二上·期中）數(shù)學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是阿氏圓.若對任意實數(shù)，直線與圓恒有公共點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設點，求出動點的軌跡圓的方程，再求出直線過定點坐標，依題意點在圓的內(nèi)部，即可得到不等式，解得即可.【詳解】設點，，，所以動點的軌跡為阿氏圓：，又直線恒過點，若對任意實數(shù)直線與圓恒有公共點，在圓的內(nèi)部或圓上，所以，所以，解得，即的取值范圍為.故選：C【題型8直線與圓的方程的應用】【例8】（20232024·山東聊城·高二上·期中）2023年第19屆亞運會在中國浙江杭州舉行，杭州有很多圓拱的懸索拱橋，經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔5米需用一根支柱支撐，則與相距30米的支柱的高度是__________米.（注意：）【答案】【解析】【分析】以點為坐標原點，所在直線為軸，過點且平行于的直線為軸，建立平面直角坐標系，求得點的坐標，設所求圓的半徑為，由勾股定理可列等式求得的值，進而可求得圓的方程，然后將代入圓的方程，求出點的縱坐標，進而即可計算出的長．【詳解】以點為坐標原點，所在直線為軸，過點且平行于的直線為軸，建立平面直角坐標系，由題意可知，點的坐標為，設圓拱橋弧所在圓的半徑為，由勾股定理可得，又，即，解得，所以圓心的坐標為，則圓的方程為，將代入圓的方程得，又，解得，所以(米)．故答案為：．【變式81】（20232024·湖北荊州·高二上·期中）如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面AB的長為16米，最大高度CD的長為4米，以C為坐標原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標系.(1)求該圓弧所在圓的方程;(2)若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車?(將汽車看作長方體)

【答案】解：(1)由圓的對稱性可知，該圓弧所在圓的圓心在y軸上，設該圓的半徑為r米，則r2=8故該圓弧所在圓的方程為x(2)設與該種汽車等高且能通過該隧道的最大寬度為d米，則(d2若并排通過5輛該種汽車，則安全通行的寬度為5×2.5+4×0.5=14.5>242.24，故該隧道不能并排通過5若并排通過4輛該種汽車，則安全通行的寬度為4×2.5+3×0.5=11.5<242.24，故該隧道能并排通過4綜上所述，該隧道最多可以并排通過4輛該種汽車.【變式82】（20232024·浙江臺州·高二上·期中）如圖，某海面有O，A，B三個小島（小島可視為質(zhì)點，不計大?。珹島在O島正東方向距O島20千米處，B島在O島北偏東45°方向距O島千米處．以O為坐標原