專題510平行線的判定（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

專題5.10平行線的判定（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】兩直線平行的判定方法1判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如圖1，幾何語言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）圖1【知識點二】兩直線平行的判定方法2判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.如圖2，幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）圖2【知識點三】兩直線平行的判定方法3判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.如圖3，幾何語言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）圖3特別提醒：平行線的判定是由角相等或互補，得出平行，即由數(shù)推形.【考點目錄】【考點1】同位角相等，兩直線平行；【考點2】內(nèi)錯角相等，兩直線平行；【考點3】同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；【考點4】垂直于同一直線的兩直線平行.【考點1】同位角相等，兩直線平行【例1】（2022上·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末），，．與平行嗎？為什么？

解：．，，即．又，且，∴．理由是：．．理由是：．【答案】90；90；，；等角的余角相等；同位角相等，兩直線平行【分析】由垂直于，利用垂直的定義得到為直角，進而得到與互余，再由與互余，根據(jù)，利用等角的余角相等得到，利用同位角相等兩直線平行即可得證．解：．，，即．又，且，．理由是：等角的余角相等．．理由是：同位角相等，兩直線平行．故答案為：90；90；，；等角的余角相等；同位角相等，兩直線平行．【點撥】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵【變式1】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的判定．根據(jù)平行線的判定定理，逐項判斷，即可求解．解：A、與是對頂角，無法判斷，故本選項不符合題意；B、與是同旁內(nèi)角，無法判斷，故本選項不符合題意；C、能判斷，故本選項符合題意；D、與是鄰補角，無法判斷，故本選項不符合題意；故選：C【變式2】（2023下·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，要使，需添加的一個條件是（寫出一個即可）

【答案】【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，圖中和為同位角，所以加上即可．解：∵圖中和為同位角，根據(jù)同位角相等兩直線平行，則加上，可得．【點撥】本題比較簡單，記住平行線的判定定理即可．【考點2】內(nèi)錯角相等，兩直線平行【例2】（2023上·七年級課時練習(xí)）如圖，已知于點于點．試說明：．

解：（已知），（__________）．同理，．（__________），即．（已知）_______（___________）．∴__________（____________）．【答案】垂直的定義，等量代換，，等量代換，，，內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)垂直的定義得到，推出，得到，由此證得．解：（已知），（垂直的定義）．同理，．（等量代換），即．（已知）（等量代換）．∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點撥】此題考查了垂直的定義，平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023上·黑龍江綏化·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，如果與、與分別互補，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同角的補角相等，平行線的判定；根據(jù)同角的補角相等可得，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得．解：∵與、與分別互補，∴，∴，故選：B．【變式2】（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）小友把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊，在同一條直線上，可以得到．【答案】【解析】略【考點3】同旁內(nèi)角互補，兩直線平行【例3】（2023上·黑龍江綏化·七年級校考階段練習(xí)）請將下列證明過程補充完整：已知：如圖，平分，平分，且求證：．證明：∵平分，∴．∵平分（已知），∴______（角的平分線的定義）．∴（______）．即．∵（已知），∴______（______）．∴（______）．【答案】角平分線的定義，，等式性質(zhì)，，等量代換，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【分析】本題主要考查了平行線的判定的運用，解題時注意：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．先根據(jù)角平分線的定義，得到，再根據(jù)，即可得到，進而判定．解：∵平分

（已知），∴（角平分線的定義）．∵平分（已知），∴（角的平分線的定義）．∴（等式性質(zhì)）．即．∵（已知），∴（等量代換）．∴（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義，，等式性質(zhì)，，等量代換，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【變式1】（2023下·七年級課時練習(xí)）如圖，下列能判定的條件有（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】略【變式2】（2023上·黑龍江綏化·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，對于下列條件：①；②；③；④；其中一定能判定的條件有（填寫所有正確條件的序號）．【答案】①③/③①【分析】本題考查了平行線的判定，準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定方法對各選項分析判斷后利用排除法求解．解：①，，符合題意；②，，故本選項錯誤；③，，故本選項正確；④；，故本選項錯誤；故選答案為：①③．【考點4】垂直于同一直線的兩直線平行【例4】（2023下·湖北咸寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，三角形中，．請依次解決下列問題：

（1）作交于點D，作于點E；（2）度；與的位置關(guān)系是；（3）點A到直線的距離是圖中線段的長度．【答案】（1）見分析；（2）30；；（3）【分析】（1）利用三角板的兩條直角邊作圖即可；（2）由垂直的定義可得，進而可求出的度數(shù)；根據(jù)垂直于同一直線的兩條直線互相平行可判斷與的位置關(guān)系；（3）根據(jù)點到直線距離的定義求解即可．解：（1）如圖，

（2）∵，∴，∵，∴．∵，，∴．故答案為：30；；（3）∵，∴點A到直線的距離是圖中線段的長度．故答案為：．【點撥】本題考查了垂線的定義及作法，角的和差，平行線的判定，以及點到直線的距離，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023下·山東濱州·七年級校考期末）在同一平面內(nèi)，是直線，下列關(guān)于它們位置關(guān)系的說法中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)、平行公理的推論判斷求解即可．解：若，則，故A錯誤，不符合題意；若，則，故B錯誤，不符合題意；若，則，故C錯誤，不符合題意；若，則，故D正確，符合題意；故選：D．【點撥】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的推論，熟練掌握平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）已知a，b，c在同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則ac．【答案】/平行【分析】本題考查了平行線的判定，熟知在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行是解題的關(guān)鍵．解：∵，，∴，故答案為：．【考點5】平行線判定探究【例5】（2021下·福建廈門·七年級?？计谥校┮阎喝鐖D，點、、三點共線，，，平分，，問：與有什么位置關(guān)系？請寫出推理過程．【答案】，推理見分析【分析】由得到，求出，由平分得到，進而得到，根據(jù)平行線的判定證明結(jié)論．解：，證明如下：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．【點撥】此題主要考查了平行線的判定、垂線的定義、角平分線的定義等知識，熟練掌握平行線的判定是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022下·四川綿陽·七年級統(tǒng)考期末）在探究“過直線外一點P作已知直線a的平行線”的活動中，王玲同學(xué)通過如下的折紙方式找到了符合要求的直線，在這個過程中她可能用到的推理依據(jù)組合是（

）①平角的定義；②鄰補角的定義；③角平分線的定義；④同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；⑤兩直線平行，內(nèi)錯角相等．A．②④ B．③⑤ C．①②⑤ D．①③④【答案】D【分析】如圖5，設(shè)直線PA與紙片的邊相交于點M、點N，直線AB與紙片的邊交于點H，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)推出∠PAB=∠PAH，∠MPC=∠APC，然后根據(jù)平角∠MPA=∠HAB=180°，即可推出∠PAB=∠PAH=90°，∠MPC=∠APC=90°，即得b平行于a．解：如圖5，設(shè)直線PA與紙片的邊相交于點M、點N，直線AB與紙片的邊交于點H，∵如題圖2，對折后，射線AH與射線AB重合而產(chǎn)生折線AP，∴∠PAB=∠PAH（角平分線的定義），∵如題圖3，對折后，射線PM和射線PA重合而產(chǎn)生折線PC，∴∠MPC=∠APC（角平分線的定義），∵點M、P、A在同一條直線上，點B、A、H在同一條直線上，∴∠MPA=∠HAB=180°（平角的定義），∴∠PAB=∠PAH=90°，∠MPC=∠APC=90°．∴b∥a（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．故選：D．【點撥】本題主要考查翻折變換的性質(zhì)，關(guān)鍵在于通過相關(guān)的性質(zhì)推出∠PAB=∠PAH，∠MPC=∠APC，確定∠MPA和∠HAB為平角．【變式2】（2023下·河北秦皇島·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示，直線上有兩點A，C，分別引兩條射線，，，射線別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為t，在射線轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，使得與平行所有滿足條件的時間秒．

【答案】5或/或5【分析】分①與在的兩側(cè)時，分別表示出與，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，列式計算即可得解；②旋轉(zhuǎn)到與都在的右側(cè)，分別表示出與，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解；③旋轉(zhuǎn)到與都在的左側(cè)，分別表示出與，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計算即