專題01勾股定理（考點(diǎn)清單）

專題01講勾股定理（考點(diǎn)清單）【聚焦考點(diǎn)】題型一：用勾股定理解三角形題型二：勾股數(shù)問題題型三：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積題型四：勾股定理和網(wǎng)格問題題型五：勾股定理和折疊問題題型六：利用勾股定理求兩條線段的平方和題型七：以炫圖為背景的計(jì)算題題型八：勾股定理的應(yīng)用題型九：勾股定理的證明題型十：勾股定理的綜合問題【題型歸納】題型一：用勾股定理解三角形【典例1】（2022下·廣東廣州·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，，若，，則的長為（

）A． B． C．1 D．5【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：在中，，，，，故選：A．【專訓(xùn)11】（2023下·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，，以邊為直徑作一個(gè)半圓，則半圓(陰影部分)的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出，再求出半圓面積即可．【詳解】解：，，，，∴陰影部分的面積．故選：B．【專訓(xùn)12】（2023下·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形的邊長為2，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(

)

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)B作x軸的垂線，可證為等腰直角三角形，然后可求得，繼而可求得的長，則就是點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)．【詳解】過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，則．如圖．

因?yàn)榱庑蔚倪呴L為2，∴．由菱形的對(duì)邊可得：，又，∴．∴．∴在中，即∴．∴．因此，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．故選：D．題型二：勾股數(shù)問題【典例2】（2023下·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．6，7，8 D．1，，【答案】B【分析】利用勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，不是勾股數(shù)；B、∵，∴9、40、41是勾股數(shù)；C、，∴6，7，8不是勾股數(shù)；D、，均不是整數(shù)，∴1，，不是勾股數(shù)；故選：B．【專訓(xùn)21】（2023下·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組是勾股數(shù)的是（）A． B．C．，，c＝ D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股數(shù)的概念對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：A、∵，∴能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意；B、∵不是整數(shù)，∴不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；C、∵不是整數(shù)，∴不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；D、∵，∴不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意．故選：A．【專訓(xùn)22】（2023下·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）成書于大約公元前1世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》是中國現(xiàn)存最早的一部數(shù)學(xué)典籍，里面記載的勾股定理的公式與證明相傳是在西周由商高發(fā)現(xiàn)，故又稱之為商高定理．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1；古希臘哲學(xué)家柏拉圖（公元前427年—公元前347年）研究了勾為（，m為正整數(shù)），弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為12，則其股為（

）

A．14 B．16 C．35 D．37【答案】C【分析】依題意，設(shè)斜邊為x，則股為，根據(jù)勾股定理即可求出x的值．【詳解】解：依題意，設(shè)斜邊為x，則股為，∴，解得：，∴股為，故選：C．題型三：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積【典例3】2023下·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線上有三個(gè)正方形，若的面積分別為6和9，則的面積為（

）A．9 B．12 C．15 D．20【答案】C【分析】先根據(jù)AAS證明，由此得，在中，根據(jù)勾股定理可得，等量代換可得，即可求出b的面積．【詳解】如圖，中，．，，．又，，．，，，即．故選：C【專訓(xùn)31】（2023下·安徽馬鞍山·八年級(jí)校考期末）中，，分別以的三邊作為邊長向形外作正方形，并把各正方形的面積分別記作，，，如圖，若，，則的值為（

）

A．13 B．17 C．20 D．35【答案】B【分析】由，，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴．故選：B．【專訓(xùn)32】（2023下·廣西柳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，分別以、為邊作正方形，若，則正方形和正方形的面積和為（

）A．144 B．120 C．100 D．無法計(jì)算【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵四邊形和四邊形為正方形，∴，，∵在中，，∴，∴，故選：A．題型四：勾股定理和網(wǎng)格問題【典例4】（2023下·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長都是1）中，標(biāo)記格點(diǎn)A，B，C，D，則下列線段長度為的是（

）

A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理分別求解，，，，從而可得答案．【詳解】解：由勾股定理可得：，，，，故選：B．【專訓(xùn)41】（2023下·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，由單位長度為1的4個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形網(wǎng)格，連接三個(gè)小格點(diǎn)，可得，則邊上的高是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)邊上的高為，由題意知，，則，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：設(shè)邊上的高為，由題意知，，∴，即，解得，∴邊上的高為，故選：C．【專訓(xùn)42】（2022上·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的頂點(diǎn)A，B，C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圖形的面積計(jì)算即可．【詳解】如圖，設(shè)邊上的高為h，根據(jù)題意，得的面積為：，，所以，解得，故選C．題型五：勾股定理和折疊問題【典例5】（2023下·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將沿翻折，使點(diǎn)A與邊上的點(diǎn)E重合，則的長是（

）

A．5 B．3 C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理求得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，求得，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵將沿翻折，使點(diǎn)A與邊上的點(diǎn)E重合，∴，，，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得，∴，∴，故選：D．【專訓(xùn)51】（2023下·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長為（

）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出的長，利用翻折得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，，∴，由翻折得，∴，故選：C．【專訓(xùn)52】（2023下·天津和平·八年級(jí)天津市第五十五中學(xué)?？计谀┤鐖D，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使它落在斜邊上，且與重合，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由勾股定理求得，由折疊得，，則，進(jìn)而根據(jù)等面積法即可求解．．【詳解】解：的兩直角邊，，，，由折疊得，，，，，解得，的長為，故選：A．題型六：利用勾股定理求兩條線段的平方和【典例6】（2021上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45【答案】D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2）＝AC2?AB2＝45．故選：D．【專訓(xùn)61】（2020上·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以AB，AC，BC為邊作等邊，等邊.等邊.設(shè)的面積為，的面積為，的面積為，四邊形DHCG的面積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，得，由，，是等邊三角形，得，，，即，從而可得.【詳解】∵在中，，∴，過點(diǎn)D作DM⊥AB∵是等邊三角形，∴∠ADM=∠ADB=×60°=30°，AM=AB，∴DM=AM=AB，∴同理：，，∴∵，∴，故選D.【專訓(xùn)62】（2018上·遼寧沈陽·八年級(jí)?？计谀┤鐖DOP=1，過P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；過P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2，依此法繼續(xù)作下去，得OP2017等于（）A．2015 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理分別求出每個(gè)直角三角形斜邊長，根據(jù)結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】∵OP=1,OP1=,OP2=,OP3=2，∴OP=，…，OP2017=.故選D.題型七：以炫圖為背景的計(jì)算題【典例7】（2023下·安徽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為625，則小正方形的邊長為（

）

A．7 B．24 C．17 D．25【答案】C【分析】勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的邊長為17．【詳解】解：由題意知小正方形的邊長是，由勾股定理得：，，，小正方形的邊長為17．故選：C．【專訓(xùn)71】（2023下·青海西寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形兩直角邊為a，b．斜邊為c，若，則小正方形的邊長為（

）

A．3 B．4 C． D．【答案】A【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長．【詳解】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：，∵每一個(gè)直角三角形的面積為：，∴大正方形的面積為：，∴，∴，故選：A．【專訓(xùn)72】（2023下·北京房山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，如果圖中勾，弦，則小正方形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】首先根據(jù)勾股定理求出，然后利用正方形的面積公式求解即可．【詳解】∵勾，弦，∴∴小正方形的面積為．故選：A．題型八：勾股定理的應(yīng)用【典例8】（2023下·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是樓梯的一部分，若，，，一只螞蟻在處發(fā)現(xiàn)處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（）

A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】將臺(tái)階展開得到的是一個(gè)矩形，螞蟻要從A點(diǎn)到C點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對(duì)角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：將臺(tái)階展開，如圖，∵，，∴根據(jù)勾股定理可得：，∴，故選：A．

【專訓(xùn)81】（2023下·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一個(gè)工人拿一個(gè)2.5米長的梯子，底端A放在距離墻根C米處，另一頭B點(diǎn)靠墻，如果梯子的頂部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（

）

A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8【答案】D【分析】首先在直角三角形中計(jì)算出長，再由題意可得長，再次在直角三角形中計(jì)算出長，從而可得的長度．【詳解】解：∵米，米，∴（米），∵梯子的頂部下滑0.4米，∴米，∴米，∴米．∴梯子的底部向外滑出（米）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．抓住“梯子長度不變”是解題關(guān)鍵．【專訓(xùn)82】（2023下·北京懷柔·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在我軍某次海上演習(xí)中，兩艘航母護(hù)衛(wèi)艦從同一港口O同時(shí)出發(fā)，1號(hào)艦沿東偏南方向以9節(jié)（1節(jié)=1海里/小時(shí)）的速度航行，2號(hào)艦沿南偏西方向以節(jié)的速度航行，離開港口2小時(shí)后它們分別到達(dá)A，B兩點(diǎn)，此時(shí)兩艦的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】D【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理計(jì)算求解．【詳解】解：由題意可得：，∴，又∵（海里），（海里），在Rt中，（海里）∴此時(shí)兩艦的距離是海里．故選：D．題型九：勾股定理的證明【典例9】（2023下·四川綿陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是年月在北京召開的第屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，創(chuàng)作的靈感來源于我國三國時(shí)代東吳數(shù)學(xué)家趙爽所注的著作《周髀算經(jīng)》中的一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）

A．黃金分割 B．完全平方公式 C．平方差公式 D．勾股定理【答案】D【分析】如圖，邊長為的大正方形的面積等于個(gè)全等的兩個(gè)直角邊長分別為和的直角三角形的面積加上邊長為的小正方形的面積，即可求解．【詳解】解：如圖所示：

由題意得：邊長為的大正方形的面積個(gè)全等的兩個(gè)直角邊長分別為和的直角三角形的面積邊長為的小正方形的面積，即：，整理得：，即直角三角形的斜邊的平方等于兩個(gè)直角邊的平方和，故選：D．【專訓(xùn)91】（2023下·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一，也是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具之一．下列圖形中可以證明勾股定理的有（

）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】利用同一個(gè)圖形的面積的不同表示方法進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：①，，∴，整理得，故①滿足題意；④或，∴，∴，故④滿足題意；②沒有體現(xiàn)直角三角形斜邊的長度，故②不符合題意；③無法證明直角三角三邊關(guān)系，故③不符合題意；故選：D【專訓(xùn)92】（2023上·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到的，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長方形的邊上，則長方形的面積為（

）A．420 B．440 C．430 D．410【答案】B【分析】延長交于P，延長交于Q，可得全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后求出和的長，再根據(jù)長方形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，延長交于P，延長交于Q，由題意得，，∴，∴，∴，同理可證，∴，∵圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到，∴，，∴長方形的面積．故選：B．題型十：勾股定理的綜合問題【典例10】（2023下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)校考期末）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地的高度為米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開．一個(gè)身高米的學(xué)生正對(duì)門，緩慢走到離門米的地方時(shí)米），感應(yīng)門自動(dòng)打開，為多少米？

【答案】米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，構(gòu)造，利用勾股定理求得的長度即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，米，米，米，（米）．在中，由勾股定理得到：（米），答：為米．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線段的長度．【專訓(xùn)101】．（2023上·河南周口·八年級(jí)?？计谀﹫D1為“弦圖”，最早是由三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．根據(jù)該圖，趙爽用兩種不同的方法計(jì)算正方形的面積，通過正方形面積相等，從而證明了勾股定理．現(xiàn)有4個(gè)全等的直角三角形（圖2中灰色部分），直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，將它們拼合為圖2的形狀．

(1)小誠同學(xué)在圖2中加了相應(yīng)的虛線，從而輕松證明了勾股定理，請(qǐng)你根據(jù)小誠同學(xué)的思路寫出證明過程；(2)當(dāng)，時(shí)，求圖2中空白部分的面積．【答案】(1)見解析(2)13【分析】（1）根據(jù)圖形可得，圖2中圖形的總面積可以表示為：以c為邊的正方形的面積+兩個(gè)直角