湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題含答案

2024年湖北云學(xué)名校聯(lián)盟高二年級(jí)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：武漢二中命題人：考試時(shí)間：2024年10月15日15：00-17：00時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，的虛部為（）A. B. C. D.12.已知一組數(shù)據(jù)：2，5，7，，10平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.7 B.6.5 C.6 D.5.53.直線：，：，若，則實(shí)數(shù)值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.或14.為了測(cè)量河對(duì)岸一古樹(shù)高度的問(wèn)題（如圖），某同學(xué)選取與樹(shù)底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)與，測(cè)得，，，并在點(diǎn)處測(cè)得樹(shù)頂?shù)难鼋菫?，則樹(shù)高約為（）（取，）A.100.8m B.33.6m C.81.6m D.57.12m5.如果直線ax＋by＝4與圓x2＋y2＝4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，那么點(diǎn)P(a，b)與圓的位置關(guān)系是()A.P在圓外B.P圓上C.P在圓內(nèi)D.P與圓的位置關(guān)系不確定6.在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)與滿足，且，則的值為（）A. B. C. D.7.下列命題中正確的是（）A.，則；B若點(diǎn)、、、共面，點(diǎn)、、、共面，則點(diǎn)、、、、共面；C.若，則事件與事件是對(duì)立事件；D.從長(zhǎng)度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為；8.動(dòng)點(diǎn)在棱長(zhǎng)為3的正方體側(cè)面上，滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在平面直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法正確的是（）A.若兩條直線垂直，則這兩條直線的斜率的乘積為；B.已知，，若直線：與線段有公共點(diǎn)，則；C.過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為；D.若圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則．10.如圖所示四面體中，，，，且，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.；B.當(dāng)是靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，，，共面；C.當(dāng)時(shí)，；D.的最小值為．11.已知是圓：內(nèi)一點(diǎn)，其中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)，若AB的最小值為4，則（）A.；B.若AB=4，則直線的傾斜角為；C.存在直線使得；D.記與的面積分別為，，則的最大值為8．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值是______．13.記的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，其中，若的面積，，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．14.如圖，已知四面體的體積為，，分別為，的中點(diǎn)，、分別在、上，且、是靠近的三等分點(diǎn)，則多面體的體積為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在對(duì)某高中1500名高二年級(jí)學(xué)生的百米成績(jī)的調(diào)查中，采用按學(xué)生性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取100人，已知這1500名高二年級(jí)學(xué)生中男生有900人，且抽取的樣本中男生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為13.2秒和13.36，女生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為15.2秒和17.56．（1）求抽取的總樣本的平均數(shù)；（2）試估計(jì)高二年級(jí)全體學(xué)生的百米成績(jī)的方差．16.在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，的角平分線所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程．17.直三棱柱中，，其中分別為棱的中點(diǎn)，已知，（1）求證：；（2）設(shè)平面與平面的交線為直線，求直線與直線所成角的余弦值．18.已知圓：，過(guò)直線：上的動(dòng)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，．（1）當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．19.四棱錐中，底面為等腰梯形，，側(cè)面為正三角形；（1）當(dāng)時(shí)，線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求三棱錐的外接球的體積．2024年湖北云學(xué)名校聯(lián)盟高二年級(jí)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：武漢二中命題人：考試時(shí)間：2024年10月15日15：00-17：00時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方、乘法、除法運(yùn)算法則結(jié)合復(fù)數(shù)的概念運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方可知，則，其虛部為.故選：C2.已知一組數(shù)據(jù)：2，5，7，，10的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.7 B.6.5 C.6 D.5.5【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)平均數(shù)求的值，然后將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分位數(shù)的概念求值.【詳解】因?yàn)?所以數(shù)據(jù)為：2，5，6，7，10.又因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為：.故選：B3.直線：，：，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A0 B.1 C.0或1 D.或1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，：垂直，所以，解得或，將，代入方程，均滿足題意，所以當(dāng)或時(shí)，.故選：.4.為了測(cè)量河對(duì)岸一古樹(shù)高度的問(wèn)題（如圖），某同學(xué)選取與樹(shù)底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)與，測(cè)得，，，并在點(diǎn)處測(cè)得樹(shù)頂?shù)难鼋菫椋瑒t樹(shù)高約為（）（取，）A.100.8m B.33.6m C.81.6m D.57.12m【答案】D【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求出，再在中求即可.【詳解】在中，，，所以，又，由正弦定理得：.在中，.故選：D5.如果直線ax＋by＝4與圓x2＋y2＝4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，那么點(diǎn)P(a，b)與圓的位置關(guān)系是()A.P在圓外B.P在圓上C.P在圓內(nèi)D.P與圓的位置關(guān)系不確定【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題意得，所以點(diǎn)在圓外考點(diǎn)：1．直線與圓的位置關(guān)系；2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系6.在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)與滿足，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為基底，表示出，利用空間向量的數(shù)量積求模.【詳解】如圖：以為基底，則，，所以.因?yàn)?所以.所以.故選：D7.下列命題中正確的是（）A.，則；B.若點(diǎn)、、、共面，點(diǎn)、、、共面，則點(diǎn)、、、、共面；C.若，則事件與事件是對(duì)立事件；D.從長(zhǎng)度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為；【答案】D【解析】【分析】舉反例說(shuō)明ABC不成立，根據(jù)古典概型的算法判斷D是正確的.【詳解】對(duì)A：若，，則，但不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：如圖：四面體中，是棱上一點(diǎn)，則點(diǎn)、、、共面，點(diǎn)、、、共面，但點(diǎn)、、、、不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：擲1枚骰子，即事件：點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)不大于3，則，，，但事件、不互斥，也不對(duì)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：從長(zhǎng)度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，有種選法，這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的的選法有：，，共3種，所以條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的的概率為：，故D正確.故選：D8.動(dòng)點(diǎn)在棱長(zhǎng)為3的正方體側(cè)面上，滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合圖形，計(jì)算出，由點(diǎn)平面，得出點(diǎn)的軌跡為圓弧，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即得.【詳解】如圖，易得平面,因平面，則，不妨設(shè)，則,，解得，又點(diǎn)平面，故點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧,故其長(zhǎng)度為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在平面直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法正確的是（）A.若兩條直線垂直，則這兩條直線的斜率的乘積為；B.已知，，若直線：與線段有公共點(diǎn)，則；C.過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為；D.若圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則．【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線是否存在斜率判斷A的真假；數(shù)形結(jié)合求的取值范圍判斷B的真假；根據(jù)截距的概念判斷真假；轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（圓心）到直線的距離求判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：“若兩條直線垂直，則這兩條直線的斜率的乘積為”成立的前提是兩條直線的斜率都存在且不為0，若兩條直線1條不存在斜率，另一條斜率為0，它們也垂直.故A是錯(cuò)誤的.對(duì)B：如圖：對(duì)直線：，表示過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線，且，，由直線與線段有公共點(diǎn)，所以：或，即或，進(jìn)而得：.故B正確；對(duì)C：過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：“圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1”可轉(zhuǎn)化為“圓心1,0到直線的距離等于1”.由.故D正確.故選：BD10.如圖所示四面體中，，，，且，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.；B.當(dāng)是靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，，，共面；C.當(dāng)時(shí)，；D.的最小值為．【答案】BCD【解析】【分析】以為基底，表示出相關(guān)向量，可直接判斷A的真假，借助空間向量共面的判定方法可判斷B的真假，利用空間向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算可判斷CD的真假.【詳解】以為基底，則，，,.對(duì)A：因?yàn)?所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)是靠近的三等分點(diǎn)，即時(shí)，，又，所以.故，，共面.故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，所以：，所以，故，故C正確；對(duì)D：設(shè)，.因?yàn)椋?所以，.當(dāng)時(shí)，有最小值，為：，故D正確.故選：BCD11.已知是圓：內(nèi)一點(diǎn)，其中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)，若AB的最小值為4，則（）A.；B.若AB=4，則直線的傾斜角為；C.存在直線使得；D.記與的面積分別為，，則的最大值為8．【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)，列不等式，可求的取值范圍，在根據(jù)弦AB的最小值為4求的值，判斷A的真假；明確圓的圓心和半徑，根據(jù)，可求直線的斜率，進(jìn)而求直線的傾斜角，判斷B的真假；利用圓心到直線的距離，確定弦長(zhǎng)的取值范圍，可判斷C的真假；由三角形面積公式和相交弦定理，可求的最大值，判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：由.此時(shí)圓：.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的弦AB的最小值為4，所以，又，由.故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，，所以直線的斜率為，其傾斜角為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)AB=4，，所以，所以為銳角，又隨著直線斜率的變化，最大可以為平角，所以存在直線使得.故C正確；對(duì)D：如圖：直線與圓交于、兩點(diǎn)，鏈接，，因?yàn)?，，所?所以.又，，且.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”.故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求的最大值時(shí)，應(yīng)該先結(jié)合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出為定值，再結(jié)合三角形的面積公式求的最大值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何意義為圓上的點(diǎn)與距離的平方，找出圓上的與的最大值，再平方即可求解.【詳解】解：由題意知：設(shè)，，則為圓上的點(diǎn)，圓的圓心O0,0,半徑，則表示圓上的點(diǎn)與距離的平方，又因?yàn)?所以；故的最大值是.故答案為：.13.記的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，其中，若的面積，，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理對(duì)化簡(jiǎn)，可得，再由三角形面積公式求出，根據(jù)題意寫(xiě)出，等式兩邊平方后，可求出的值，由余弦定理，求出的長(zhǎng).【詳解】,由正弦定理可得:，，，,，即,，,得，∵，∴，，即，由，解得或，根據(jù)余弦定理，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，.故答案為：.14.如圖，已知四面體的體積為，，分別為，的中點(diǎn)，、分別在、上，且、是靠近的三等分點(diǎn)，則多面體的體積為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】多面體的體積為三棱錐與四棱錐的體積之和，根據(jù)體積之比與底面積之比高之比的關(guān)系求解即可.【詳解】連接，，因?yàn)闉锳D上的靠近的三分點(diǎn)，所以，因?yàn)闉锳B的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到AD的距離為點(diǎn)到AD的距離的一半，所以，又為CD上靠近的三分點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的13，所以，，所以，所以多面體的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將多面體轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之和，通過(guò)體積之比與底面積之比高之比的關(guān)系求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在對(duì)某高中1500名高二年級(jí)學(xué)生的百米成績(jī)的調(diào)查中，采用按學(xué)生性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取100人，已知這1500名高二年級(jí)學(xué)生中男生有900人，且抽取的樣本中男生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為13.2秒和13.36，女生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為15.2秒和17.56．（1）求抽取的總樣本的平均數(shù)；（2）試估計(jì)高二年級(jí)全體學(xué)生的百米成績(jī)的方差．【答案】（1）14（2）16【解析】【分析】（1）先確定樣本中男生、女生的人數(shù)，再求總樣本的平均數(shù).（2）根據(jù)方差的概念，計(jì)算總樣本的方差.【小問(wèn)1詳解】樣本中男生的人數(shù)為：；女生的人數(shù)為：.所以總樣本的平均數(shù)為：.【小問(wèn)2詳解】記總樣本的方差為，則.所以，估計(jì)高二年級(jí)全體學(xué)生的百米成績(jī)的方差為16.16.在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，的角平分線所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，則，代入，求解即可；（2）設(shè)直線的方程為：，在直線取點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離，求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可知點(diǎn)在直線上，所以設(shè)，所以中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，設(shè)直線的方程為：，又因?yàn)?，所以直線的方程為：，又因?yàn)榈慕瞧椒志€所在的直線方程為，在直線取點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離，即有，整理得，解得：或，當(dāng)時(shí)，所求方程即為直線的方程，所以，所以直線的方程為：.17.直三棱柱中，，其中分別為棱的中點(diǎn)，已知，（1）求證：；（2）設(shè)平面與平面的交線為直線，求直線與直線所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接證得四邊形為平行四邊形，得到，利用，證得，得到，即可證得；（2）根據(jù)題意，證得平面，得到，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得，再取的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，得到直線與直線所成角，即為直線與直線所成角，求得，得到，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，可得，且，又因?yàn)?，且，所以，且，所以四邊形平行四邊形，所以，在正方形中，可得，所以，因?yàn)?，所以，中，可得，所以，又因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】解：在直三棱柱中，可得平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，即直三棱柱的底面為等腰直角三角形，以A為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)椋傻?，則，取的中點(diǎn)，連接，可得且，因?yàn)榍?，所以，且，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)，連接，可得即為平面與平面的交線，所以直線與直線所成角，即為直線與直線所成角，又由，設(shè)，可得，即，可得，所以，可得，設(shè)直線與直線所成角為，可得，即直線與直線所成角的余弦值為.18.已知圓：，過(guò)直線：上的動(dòng)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，．（1）當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】（1）或（2）過(guò)定點(diǎn)或（3）【解析】【分析】（1）點(diǎn)在直線上，設(shè)，由對(duì)稱性可知，可得，從而可得點(diǎn)坐標(biāo)．（2）的中點(diǎn)，因?yàn)槭菆A的切線，進(jìn)而可知經(jīng)過(guò)C，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MC為半徑的圓，進(jìn)而得到該圓的方程，根據(jù)其方程是關(guān)于m的恒等式，進(jìn)而可求得x和y，得到結(jié)果；（3）結(jié)合（2）將兩圓方程相減可得直線的方程，且得直線過(guò)定點(diǎn)，由幾何性質(zhì)得，即點(diǎn)N在以為直徑的圓上，進(jìn)而可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】（1）直線的方程為，點(diǎn)在直線上，設(shè)，因?yàn)椋蓪?duì)稱性可得：由對(duì)稱性可知，由題所以，所以，解之得：故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則的