2024屆江蘇省宿遷市三校高三年級4月摸底考試數(shù)學(xué)試題

2024屆江蘇省宿遷市三校高三年級4月摸底考試數(shù)學(xué)試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則（）A．2 B．3 C．-2 D．-32．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）A． B．C． D．3．已知斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為，則斜率k的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知橢圓+=1(a>b>0)與直線交于A，B兩點，焦點F(0，-c)，其中c為半焦距，若△ABF是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．運行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為300，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．6．趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的，如圖（1）），類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個大正六邊形，設(shè)，若在大正六邊形中隨機取一點，則此點取自小正六邊形的概率為（）A． B．C． D．7．函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，點的坐標(biāo)為，若將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．8．若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．9．一個正三角形的三個頂點都在雙曲線的右支上，且其中一個頂點在雙曲線的右頂點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．如圖，在正方體中，已知、、分別是線段上的點，且.則下列直線與平面平行的是（）A． B． C． D．11．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長為（）A． B． C． D．12．設(shè)分別是雙線的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側(cè)），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線是圓：與圓：的公切線，并且分別與軸正半軸，軸正半軸相交于，兩點，則的面積為_________14．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為__________.15．已知實數(shù)，滿足約束條件則的最大值為________．16．在回歸分析的問題中，我們可以通過對數(shù)變換把非線性回歸方程，（）轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，即兩邊取對數(shù)，令，得到.受其啟發(fā)，可求得函數(shù)（）的值域是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若正數(shù)、滿足，求證：.18．（12分）已知動圓E與圓外切，并與直線相切，記動圓圓心E的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點的直線l交曲線C于A，B兩點，若曲線C上存在點P使得，求直線l的斜率k的取值范圍.19．（12分）運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時，每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元（），運輸?shù)穆烦虨镾（千米）.設(shè)用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用（包括運費和損耗費）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請分別寫出、、的表達(dá)式；（2）試確定使用哪種運輸工具總費用最省.20．（12分）已知，分別是橢圓：的左，右焦點，點在橢圓上，且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點．（1）求,的值：（2）過點作不與軸重合的直線，設(shè)與圓相交于A，B兩點，且與橢圓相交于C，D兩點，當(dāng)時，求△的面積．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線經(jīng)過點且傾斜角為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于，滿足為的中點，求.22．（10分）為了解廣大學(xué)生家長對校園食品安全的認(rèn)識，某市食品安全檢測部門對該市家長進(jìn)行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查，每一位學(xué)生家長僅有一次參加機會，現(xiàn)對有效問卷進(jìn)行整理，并隨機抽取出了200份答卷，統(tǒng)計這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）.（1）請利用正態(tài)分布的知識求；（2）該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學(xué)生家長制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費：②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）概率市食品安全檢測部門預(yù)計參加此次活動的家長約5000人，請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費？附：①；②若；則，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上，求出b的值，即得解.【詳解】因為，所以所以，又也在直線上，所以，解得所以.故選：B【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2、C【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得，，又由，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，，有，又由在上單調(diào)遞增，則有，故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，由△得，利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件得，，代入上式即可求出的取值范圍．【詳解】設(shè)直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程，消去得：，△，，且，，，線段的中點為,，，，，，，，把代入，得，，，故選：【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．4、A【解析】

聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點A，B兩點，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式，解方程求解即可.【詳解】聯(lián)立方程，解方程可得或，不妨設(shè)A(0，a)，B(-b，0)，由題意可知，·=0，因為，，由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得，，因為，所以a2-c2=ac，兩邊同時除以可得，，解得e=或（舍去），所以該橢圓的離心率為.故選：A【點睛】本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、離心率的求解、平面向量垂直的坐標(biāo)表示；考查運算求解能力和知識遷移能力；利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.5、B【解析】

由，則輸出為300，即可得出判斷框的答案【詳解】由，則輸出的值為300，，故判斷框中應(yīng)填？故選：．【點睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．6、D【解析】

設(shè)，則，小正六邊形的邊長為，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為，再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)，則，即小正六邊形的邊長為，所以，，，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，大正六邊形的邊長為，所以，小正六邊形的面積為，大正六邊形的面積為，所以，此點取自小正六邊形的概率.故選：D.【點睛】本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

根據(jù)圖象以及題中所給的條件，求出和，即可求得的解析式，再通過平移變換函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，求得的最小值.【詳解】由于，函數(shù)最高點與最低點的高度差為，所以函數(shù)的半個周期，所以，又，，則有，可得，所以，將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，即平移后為偶函數(shù)，所以的最小值為1，故選：B.【點睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關(guān)鍵，要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系，屬于簡單題目.8、B【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號零點.由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)，要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，即在上有變號零點，令，則，令，則問題即在上有零點，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9、D【解析】

因為雙曲線分左右支，所以，根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線可解得．【詳解】因為雙曲線分左右支，所以，根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線方程得：，即，由得．故選：．【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．10、B【解析】

連接，使交于點，連接、，可證四邊形為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理即可得解．【詳解】如圖，連接，使交于點，連接、，則為的中點，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面.故選：B.【點睛】本題主要考查了線面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題．11、D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計算各棱的長度.【詳解】根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個四棱錐，如圖所示：由三視圖知：，所以，所以，所以該幾何體的最長棱的長為故選：D【點睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.12、B【解析】

由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)，利用三角形相似求得的值，代入三角形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，由與相似，可得，解得，再由與相似，可得，解得，由三角形的面積公式，可得的面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及三角形相似的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等，可得正四棱錐的棱與半徑的關(guān)系，進(jìn)而可寫出半球的半徑與四棱錐體積的關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所給半球的半徑為，則四棱錐的高，則，由四棱錐的體積，半球的體積為：.【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.15、1【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時，直線的截距最大，取得最大值，即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時，直線的截距最大此時取得最大值1．故答案為：1【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

轉(zhuǎn)化()為,即得解.【詳解】由題意：().故答案為：【點睛】本題考查類比法求函數(shù)的值域，考查了學(xué)生邏輯推理，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）等價于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ），分別解出，再求并集即可；（2）利用基本不等式及可得，代入可得最值.【詳解】（1）等價于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）由（Ⅰ）得：由（Ⅱ）得：由（Ⅲ）得：.原不等式的解集為；（2），，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，.【點睛】本題考查分類討論解絕對值不等式，考查三角不等式的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合已知條件，即可容易求得結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線相交則，結(jié)合由得到的斜率關(guān)系，即可求得斜率的范圍.【詳解】（1）因為動圓與圓外切，并與直線相切，所以點到點的距離比點到直線的距離大.因為圓的半徑為，所以點到點的距離等于點到直線的距離，所以圓心的軌跡為拋物線，且焦點坐標(biāo)為.所以曲線的方程.（2）設(shè)，，由得，由得且.，，同理由，得，即，所以，由，得且，又且，所以的取值范圍為.【點睛】本題考查由拋物線定義求拋物線方程，涉及直線與拋物線相交結(jié)合垂直關(guān)系求斜率的范圍，屬綜合中檔題.19、（1），，.（2）當(dāng)時，此時選擇火車運輸費最省；當(dāng)時，此時選擇飛機運輸費用最?。划?dāng)時，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【解析】

（1）將運費和損耗費相加得出總費用的表達(dá)式.（2）作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】（1），，.（2），故，恒成立，故只需比較與的大小關(guān)系即可，令，故當(dāng)，即時，，即，此時選擇火車運輸費最省，當(dāng)，即時，，即，此時選擇飛機運輸費用最省.當(dāng)，即時，，，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【點睛】本題考查了常見函數(shù)的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì)，可求出，；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與圓的方程可以求出，再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡，由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論，繼而求出面積．【詳解】（1）焦點為F（1，0），則F1（1，0），F(xiàn)2（1，0），，解得，＝1，＝1，（Ⅱ）由已知，可設(shè)直線方程為，，聯(lián)立得，易知△＞0，則＝＝＝因為，所以＝1，解得聯(lián)立，得，△＝8＞0設(shè)，則【點睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用，同時考查利用根與系數(shù)的關(guān)系，解決直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系問題．意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力．21、（1），；（2）.【解析】

（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)可得曲線的普通方程，由此可求曲線的極坐標(biāo)方程；直接利用直線的傾斜角以及經(jīng)過的點求出直線的參數(shù)方程即可；（2）將直線的參數(shù)方程，代入