專題講座：正余弦定理

“模塊”復習專題精講

——送教108中學高考數(shù)學復習“專題”講座大連八中：周鵬家必修五復習專題一：

“互余、互補”與“正、余弦定理”在解三角形時，運用正弦定理、余弦定理再結合角的互余關系、互補關系來解決的一類問題，常使人思維短路，得分率較低。究其原因主要是隱含條件挖掘不夠，重要的“兩互”關系常常被忽略，思想方法的運用不夠協(xié)調(diào)所致。讓我們共同來探究一番。例1：如圖：要在一座山中打一個涵洞，在山周圍取四個點A，B，C，D，使又測得CA=3，AD=7，BD=（單位均為km）求：涵洞AB的長ABCD分析解答：（方法一）設AB=，設，則其余角

由正弦定理，得

-----（1）

再由余弦定理，得

由（1）（2）可得：

答：涵洞的長為7km。解得（方法二）過點作延長線的垂線，交延長線于點，利用平面幾何中的相關知識，也可以解決此題。請大家嘗試一下例2：如圖：已知正方形內(nèi)有一個點，，求正方形的邊長。設設正方形的邊長為x(1<x<3)

由，得即而故

例2：

例3：如圖:有一個人在V型碼頭EOF內(nèi)位于P點的一艘船上，要想到達O地上岸，現(xiàn)有三種方案:自P直接航行到O；②自P與OE垂直航行到A點登陸，再由陸路乘車直達O;③自P與OF垂直航行到B點登陸，再由陸路乘車直達O;現(xiàn)已知陸路車速為船速的2倍，PA=2km,PB=5km,問：選擇那種方案用時最??？并通過計算加以說明。，由余弦定理

km分析解答：由已知得即由正弦定理得

由勾股定理得設船速為,則方案②用時為方案③用時為；

方案①用時為所以方案②用時最省，故選擇方案②。例4：在ΔABC中，已知AC邊上的中線BD=求的值分析解答：解法（一）設E為BC的中點，連接DE，則DE//AB，且設，在ΔBDE中利用余弦定理可得：，，解得或（舍去）

故BC=2，從而解得

再由得，由正弦定理得：

解得

解法（二）：如右圖

添加輔助線后

由已知可求得；；由勾股定理得；

再由正弦定理得。此法輔助線不好添，計算也并不簡便。解法（三）：首先利用中線定理，再運用余弦定理，最后運用正弦定理得到結果。此法相對比較繁瑣一些。解法（四）：首先由向量運算：兩邊平方得到再利用余弦定理求得最后由正弦定理得結論（過程略），此法較便捷，希望同學們一定親手試一試。

總結：方法一比較好，但添加輔助的平行線，創(chuàng)設出的互補關系，并利用互補關系是解題的關鍵也是難點。本來過中點添平行線比較常見，但利用同旁內(nèi)角互補，再結合正、余弦定理這就要看平時是否訓練到位了，方法四也比較好，若能從中點想到向量加法，再經(jīng)過平方、數(shù)量積運算得到邊長，是非常好的，這就要求平時多進行思維的靈活性、創(chuàng)造性、深刻性、敏捷性訓練，真正去培養(yǎng)自己的解題能力，在嘗試、探究、解決問題的過程中體驗成功逐漸提升能力，在此提醒大家一定要“鍥而不舍”，決不能“淺嘗輒止”。例5：(06年湖南高考題)

如圖：是直角三角形斜邊上一點，，記證明：（2）若求角。

解:(1)由已知得，

故

(2)

又在三角形由正弦定理得中再結合可得

即

解得或(舍)所求角