3慣性半徑積主慣矩

山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)第三節(jié)慣性半徑和慣性積一、慣性半徑

在工程計算中，有時需要將圖形的慣性矩，表示為圖形面積A與某一長度平方的乘積。即Iz=A

?iz

2iz

=

Iz

A式中

iz稱為平面圖形對

z

軸的慣性半徑，其單位為

m

或

mm。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)iz

=

Iz

A圖示矩形，對其形心軸

z

和

y

的慣性半徑可由上式算得：yzCbh/2h/2iz

=

Iz

A=bh312bh=h12iy

=

Iy

A=hb312bh=b12直徑為

D

的圓形，由于對稱，它對任一形心軸的慣性半徑都相等，為i

=

I

A=πD464×4πD2=D4山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)二、慣性積yzOdAzy

如圖所示，整個圖形微面積dA與它的兩個坐標(biāo)

z

、y乘積的總和，稱為平面圖形對z、y兩軸的慣性積，用

Iz

y

表示。即Iz

y=∫A

zy

dA

平面圖形的慣性積是對兩個坐標(biāo)軸而言的。由于坐標(biāo)值

z、y有正負(fù)，因而慣性積可能為正或負(fù)，也可能為零。它的單位為

m4

或

mm4

。

山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)Iz

y=∫A

zy

dA如果坐標(biāo)軸

z

或

y

中有一根是圖形的對稱軸，yzOzzyy圖中的

y

軸。在

y

軸兩側(cè)的對稱位置處，各取一相同的微面積

dA。顯然，兩者

y

坐標(biāo)相同，而

z

坐標(biāo)互為相反數(shù)。所以兩個微面積的慣性積也互為相反數(shù)，它們之和為零。推廣到整個圖形的慣性積也必然為零。即Iz

y=∫A

zy

dA

=0

由此可知：若平面圖形有一根對稱軸，則該圖形對于包括此對稱軸在內(nèi)的兩坐標(biāo)軸的慣性積一定等于零。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)第四節(jié)形心主慣性軸和形心主慣性矩的概念

若平面圖形對某兩坐標(biāo)軸的慣性積為零，則這對坐標(biāo)軸稱為該平面圖形的主慣性軸，簡稱主軸。平面圖形對主軸的慣性矩稱為主慣性矩，簡稱主慣矩。通過形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸，簡稱形心主軸。平面圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩，簡稱形心主慣矩。

可以證明：形心主慣矩是圖形對通過形心各軸的慣性矩中的最大值和最小值。

確定形心主軸的位置是十分重要的。對于具有對稱軸的平面圖形，形心主軸的位置可按以下方法確定：

如果圖形有一根對稱軸，則該軸必是形心主軸，而另一根形心主軸通過圖形的形心且與該軸垂直；如果圖形有兩根對稱軸，則兩軸都是形心主軸；如果圖形具有兩個以上的對稱軸，則任一根對稱軸都是形心主軸。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)思6-5

試大致繪出圖示平面圖形的形心主軸，并指出平面圖形對哪一根形心主軸的慣性矩最大。(a)相等相等(b)大小