線性代數(shù)總結(jié)

PAGE31、行列式行列式共有個元素，展開后有項，可分解為行列式;代數(shù)余子式的性質(zhì)：①、和的大小無關(guān)；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系:設(shè)行列式：將上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為，則；將順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)，所得行列式為，則；將主對角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置），所得行列式為,則；將主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為，則；行列式的重要公式：①、主對角行列式：主對角元素的乘積；②、副對角行列式：副對角元素的乘積；③、上、下三角行列式（):主對角元素的乘積;④、和:副對角元素的乘積；⑤、拉普拉斯展開式：、⑥、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；⑦、特征值；對于階行列式，恒有：，其中為階主子式；證明的方法：①、;②、反證法；③、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解;④、利用秩,證明;⑤、證明0是其特征值；2、矩陣是階可逆矩陣：（是非奇異矩陣）；（是滿秩矩陣）的行（列）向量組線性無關(guān);齊次方程組有非零解；，總有唯一解；與等價;可表示成若干個初等矩陣的乘積；的特征值全不為0;是正定矩陣；的行（列）向量組是的一組基;是中某兩組基的過渡矩陣；對于階矩陣：無條件恒成立；矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均、可逆：若，則：Ⅰ、；Ⅱ、；②、;（主對角分塊)③、；（副對角分塊)④、；(拉普拉斯）⑤、；（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組一個矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：;等價類：所有與等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣、，若；行最簡形矩陣:①、只能通過初等行變換獲得；②、每行首個非0元素必須為1；③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；初等行變換的應(yīng)用:（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）若,則可逆，且；②、對矩陣做初等行變化，當(dāng)變?yōu)闀r，就變成，即：；③、求解線形方程組：對于個未知數(shù)個方程，如果,則可逆，且；初等矩陣和對角矩陣的概念：①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；②、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；③、對調(diào)兩行或兩列,符號,且，例如：；④、倍乘某行或某列,符號，且，例如：;⑤、倍加某行或某列，符號，且，如:;矩陣秩的基本性質(zhì)：①、;②、；③、若,則;④、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）⑤、;(※）⑥、；(※)⑦、；（※）⑧、如果是矩陣，是矩陣,且，則：（※） Ⅰ、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）; Ⅱ、⑨、若、均為階方陣，則；三種特殊矩陣的方冪：①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；②、型如的矩陣：利用二項展開式; 二項展開式：; 注:Ⅰ、展開后有項；Ⅱ、Ⅲ、組合的性質(zhì):；③、利用特征值和相似對角化：伴隨矩陣：①、伴隨矩陣的秩：;②、伴隨矩陣的特征值：；③、、關(guān)于矩陣秩的描述:①、,中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話)②、，中有階子式全部為0；③、,中有階子式不為0；線性方程組：，其中為矩陣,則：①、與方程的個數(shù)相同,即方程組有個方程；②、與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組為元方程；線性方程組的求解：①、對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換(只能使用初等行變換）；②、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解;③、特解：自由變量賦初值后求得；由個未知數(shù)個方程的方程組構(gòu)成元線性方程：①、；②、（向量方程，為矩陣，個方程，個未知數(shù)）③、（全部按列分塊,其中）；④、（線性表出）⑤、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性個維列向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣;個維行向量所組成的向量組:構(gòu)成矩陣；含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng);①、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) 有、無非零解；（齊次線性方程組）②、向量的線性表出 是否有解；（線性方程組）③、向量組的相互線性表示 是否有解;（矩陣方程）矩陣與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14)；(例15)維向量線性相關(guān)的幾何意義：①、線性相關(guān) ;②、線性相關(guān) 坐標(biāo)成比例或共線(平行）；③、線性相關(guān) 共面；線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若線性相關(guān),則必線性相關(guān)；若線性無關(guān)，則必線性無關(guān);（向量的個數(shù)加加減減,二者為對偶）若維向量組的每個向量上添上個分量，構(gòu)成維向量組：若線性無關(guān),則也線性無關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之:無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定;向量組（個數(shù)為)能由向量組（個數(shù)為）線性表示，且線性無關(guān)，則(二版定理7)；向量組能由向量組線性表示，則；（定理3）向量組能由向量組線性表示有解； （定理2) 向量組能由向量組等價（定理2推論）方陣可逆存在有限個初等矩陣,使；①、矩陣行等價:（左乘，可逆）與同解②、矩陣列等價：（右乘，可逆）；③、矩陣等價：（、可逆）;對于矩陣與：①、若與行等價，則與的行秩相等;②、若與行等價，則與同解，且與的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；④、矩陣的行秩等于列秩；若，則:①、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣;②、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置）齊次方程組的解一定是的解,考試中可以直接作為定理使用，而無需證明;①、 只有零解只有零解；②、 有非零解一定存在非零解；設(shè)向量組可由向量組線性表示為：（題19結(jié)論)（） 其中為,且線性無關(guān)，則組線性無關(guān)；（與的列向量組具有相同線性相關(guān)性)(必要性：;充分性：反證法) 注：當(dāng)時,為方陣，可當(dāng)作定理使用；①、對矩陣，存在， 、的列向量線性無關(guān)；（）②、對矩陣，存在， 、的行向量線性無關(guān);線性相關(guān)存在一組不全為0的數(shù)，使得成立；（定義）有非零解,即有非零解；，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；設(shè)的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：；若為的一個解，為的一個基礎(chǔ)解系，則線性無關(guān)；（題33結(jié)論）5、相似矩陣和二次型正交矩陣或（定義),性質(zhì)：①、的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即；②、若為正交矩陣,則也為正交陣,且；③、若、正交陣，則也是正交陣； 注意:求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化;施密特正交化:； ;對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；對于實對稱陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；①、與等價 經(jīng)過初等變換得到；,、可逆;，、同型；②、與合同 ，其中可逆；