人教版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)專題13.5手拉手模型(壓軸題專項(xiàng)講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題13.5手拉手模型典例分析典例分析【典例1】（1）問題發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，我們把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形，如圖1，△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，分別連接BD，CE．求證：BD=CE；（2）類比探究：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段BD與CE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由．（3）問題解決：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，若AE=7，BE=2，請直接寫出四邊形ABEC的面積．【思路點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)、三線合一等性質(zhì)，熟練掌握三角形的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)即可解答．（2）根據(jù)（1）問中，“手拉手”全等的證明，可得△BAD≌△CAE(SAS)，利用全等的性質(zhì)可得BD=CE，∠ACE=∠ABC，又因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ACB=∠ACE=45°，從而可知∠BCE=90°，即（3）由△DCE是等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，可證得CM=12DE=12(AE?AD)，根據(jù)（1）問中，“手拉手”全等的證明，可得△ACD≌△BCE，從而得【解題過程】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC?∠CAD=∠DAE?∠CAD即∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE∴BD=CE．（2）BD與CE的數(shù)量關(guān)系是BD=CE，位置關(guān)系是BD⊥CE．理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE．（3）解：由（1）的方法得，△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴CM=1∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠EAB+∠CBA=90°，∴∠CBE+∠EAB+∠CBA=90°，∴∠AEB=90°即四邊形ABEC的面積=S學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24七年級下·貴州畢節(jié)·期末）在△BCD中，∠BCD<120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，連結(jié)AD、BE和CF交千點(diǎn)P，則以下結(jié)論中①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；④PB+PC+PD=BE．正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個(gè)三角板抽象成如圖2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，點(diǎn)B、C、E依次在同一條直線上，連結(jié)CD．若BC=4，CE=2，則△DCE的面積是．3．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC與BE相交于點(diǎn)M，AD與CE相交于點(diǎn)，連接MN，PC，則下列四個(gè)結(jié)論：①∠BMC=∠BMA；②∠APB=60°；③AN=BM；④PC平分∠BPD．其中，正確的是（只填寫序號）

4．（23-24九年級上·河南周口·期中）如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，直線AE，BD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)A，C，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，∠AFB的度數(shù)為______，線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系為______．（2）如圖2，當(dāng)△ECD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°≤α≤360°（3）若AC=4，CD=3，當(dāng)△ECD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，請直接寫出BD長的取值范圍．5．（23-24七年級下·四川成都·期中）數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點(diǎn)D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：__________，∠BDC=；（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點(diǎn)D．請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，連接BE，CF，將△AEF繞它們共同的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度后，若B，E，F(xiàn)三點(diǎn)剛好在同一直線上，求此時(shí)∠AFC的度數(shù)．6．（2024·河南·一模）如圖，

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC和△EDC都是等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，連接AE．①∠AEC的度數(shù)為______；②線段AE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）拓展探究：如圖②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，CM為△EDC中DE邊上的高，連接AE，試求∠AEB的度數(shù)及判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：如圖③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，點(diǎn)B、D，E在同一條直線上，請直接寫出∠EAB+∠ECB的度數(shù)．7．（23-24八年級上·重慶萬州·階段練習(xí)）（1）問題情境如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE，求證：△ABD≌△ACE．（2）遷移應(yīng)用如圖2，△ABC和△ADE都是等邊三角形，A，B，E三點(diǎn)在同一條直線上，M是AD的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)，P在BE上，△MNP是等邊三角形，求證：P是BE的中點(diǎn)．（3）拓展創(chuàng)新如圖3，P是線段BE的中點(diǎn)，BE=9，在BE的下方作等邊△PFH（P，F(xiàn)，H三點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列，△PFH的大小和位置可以變化），連接EF，BH．當(dāng)EF+BH的值最小時(shí)，直接寫出等邊△PFH邊長的最小值．8．（23-24七年級下·陜西咸陽·期末）【問題提出】（1）如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，BE交AC于點(diǎn)O，延長BE交CF于點(diǎn)D．①試說明：BE=CF；②求∠BDC的度數(shù)．【問題探究】（2）如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點(diǎn)D，請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說明理由．9．（23-24七年級下·安徽宿州·期末）已知，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊在AD的右側(cè)作等腰直角△ADE，∠DAE=90°，（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），請直接寫出線段CE與BD之間的數(shù)量關(guān)系：___________，位置關(guān)系：___________；（只寫結(jié)論，不用證明）②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請說明理由；若成立，寫出結(jié)論并加以論證；（2）如果AB≠AC，∠BAC<90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CE⊥BD（點(diǎn)C，E重合除外）？請寫出條件，并借助圖3簡述CE⊥BD成立的理由．10．（23-24七年級下·河南鄭州·期中）【綜合實(shí)踐】如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．（1）【初步把握】如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有△ABD≌；線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是；（2）【深入研究】如圖2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段BD與CE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由；（3）【拓展延伸】如圖3，直線l1⊥l2，垂足為點(diǎn)O，l2上有一點(diǎn)M在點(diǎn)O右側(cè)且OM=4，點(diǎn)N是l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，連接11．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC與△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求證：△AEC≌△ADB；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC與△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,B、D、E三點(diǎn)在一條直線上，AC與BE交于點(diǎn)F，若點(diǎn)F為AC中點(diǎn)，①求∠BEC的大小；②CE=2，求△ACE【拓展提高】（3）如圖3，△ABC與△ADE中，AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=90°,BE與CA交于點(diǎn)F,DC=DF,△BCF的面積為32，求AF的長．12．（2023·甘肅張掖·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化時(shí)，始終存在一對全等三角形．通過查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”．興趣小組進(jìn)行了如下操作：（1）觀察猜想：如圖①，已知△ABC,△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合，連接CE，易證△ABD≌△ACE，進(jìn)而判斷出AB與CE的位置關(guān)系是___________（2）類比探究：如圖②，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC=60°，試說明點(diǎn)B，D，E在同一直線上；（3）解決問題：如圖③，已知點(diǎn)E在等邊△ABC的外部，并且與點(diǎn)B位于線段AC的異側(cè)，連接AE、BE、CE．若∠BEC=60°,AE=3,CE=2，請求出BE的長．13．（23-24八年級上·河北滄州·期末）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），把線路AD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE（即AD=AE），使得∠DAE=∠BAC，連接DB、CE．（1）如圖1，點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=__________度．

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=60°，則∠BCE=__________度．

（3）如圖3，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，α，β的數(shù)量關(guān)系是什么？請說明理由．

（4）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β，當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)時(shí)，請直接寫出α，β的數(shù)量關(guān)系，不用證明．14．（24-25九年級上·廣東深圳·開學(xué)考試）【初步感知】（1）如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合）．以AD為邊向右側(cè)作等邊△ADE，連接CE．求證：△ABD≌△ACE；【類比探究】（2）如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，隨著動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)位置不同，線段EC，AC，CD之間的數(shù)量關(guān)系為__________，請證明你的結(jié)論．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在等邊△ABC中，AB=5，點(diǎn)P是邊AC上一定點(diǎn)且AP=2，若點(diǎn)D為射線BC上動(dòng)點(diǎn)，以DP為邊向右側(cè)作等邊△DPE，連接CE，BE．請問：PE+BE是否有最小值？若有，請求出其最小值；若沒有，請說明理由．15．（23-24七年級下·陜西西安·期末）問題發(fā)現(xiàn)：學(xué)習(xí)三角形全等的知識時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)重合兩個(gè)等腰直角三角形的頂點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生一對新的全等三角形．如圖1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，以AD為邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE問題探究：小明想，如果將上圖中的等腰直角三角形換成等邊三角形，那么這組全等三角形是否還存在？如圖2，△ABC和△ADE是等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線．（1）證明：△ABD≌（2）探索線段BE，AE，CE三者間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由．問題拓展：經(jīng)過上面的探究，小明聯(lián)想到幾天前一道不會(huì)的題，請你幫小明再想一想，是否有新的發(fā)現(xiàn)．如圖3，邊長為a的等邊△ABC中，D是AC中點(diǎn)，BD=b，E是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，在AE右側(cè)作等邊△AEF，連接FD，求△AFD周長的最小值（用含a，b的代數(shù)式表示），并直接寫出取最小值時(shí)∠AFD的度數(shù)．

16．（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在△ABC所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)．探究圖形間存在的關(guān)系．特例探究：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，連接CD，以CD為邊在其右側(cè)作等腰直角三角形CDE，連接BE，發(fā)現(xiàn)BE⊥AB，請說明理由；求異探究：（2）如圖2，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，△AEF為等腰直角三角形，點(diǎn)D在△ABC外部時(shí)，連接ED，以ED為邊在其右側(cè)作等腰直角三角形EDH，連接DF和CH，判斷DF與CH的關(guān)系，并證明；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上時(shí)，連接BD，在線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接AE．若CD=6，AE=10，求△ABD的面積．17．（22-23九年級上·安徽·階段練習(xí)）安安利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長線于點(diǎn)F，求證：∠AFB=60°；【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片△ABC的BC邊上取一點(diǎn)D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分線于點(diǎn)E，探究CE，DC和AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；【思維提升】（3）如圖3，△ABC和△DCE均為正三角形，當(dāng)B，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，連接PC，若BC=3CE，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個(gè)進(jìn)行證明：①AP?3PDPC②AP+PC+2PDBD?PC+PE18．（23-24七年級下·江西吉安·期末）某數(shù)學(xué)小組在探究三角形之間的關(guān)系問題中，經(jīng)歷了如下過程：問題發(fā)現(xiàn)如圖，A，B分別是鈍角∠MON的邊ON，OM上的點(diǎn)，P為∠MON內(nèi)部的一點(diǎn)，分別以AP，BP為腰作等腰△APO和△BPC，且OP=AP，BP=CP，AC交OP于點(diǎn)D，∠OPA=∠BPC=∠BOP，請根據(jù)下圖的各角和點(diǎn)的位置情況．

（1）當(dāng)∠OPA=∠BPC=∠BOP=50°時(shí)，ACOB的值為_______，∠CDO猜想論證（2）當(dāng)∠OPA=∠BPC=∠BOP=α0<α<90°時(shí)，ACOB的值是否會(huì)發(fā)生變化?∠CDO的度數(shù)與拓展思考（3）當(dāng)α為鈍角，且點(diǎn)C落在直線OM上時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立?如果成立，直接寫出∠MON與∠BPA滿足的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由；如果不成立，直接寫出結(jié)論，不必證明．19．（23-24七年級下·四川成都·期末）已知△ABC為等邊三角形，過點(diǎn)A的射線AM在△ABC的外部，D為射線AM上的一點(diǎn)，E為平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足BE=BD．（1）如圖1，連接CD，若點(diǎn)E恰好在CD上，且∠DBE=60°，求∠ADC的度數(shù)；（2）如圖2，連接DE交BC于點(diǎn)F，若∠DBE=120°，且F恰為BC的中點(diǎn)，求證：DF=AD+EF；（3）如圖3，若∠BAM=38°,∠DBE=120°，連接CE，當(dāng)線段CE的長度最小時(shí)，在射線CE上截取一點(diǎn)H，在邊BC上截取一點(diǎn)I，使CH=BI，連接AH,AI,則當(dāng)AH+AI的值最小時(shí)，請直接寫出∠HAB的度數(shù)．20．（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）【問題提出】如圖1，△ABD、△ACE都是等邊三角形，求證：BE=DC．【方法提煉】這兩個(gè)共頂點(diǎn)的等邊三角形，其在相對位置變化的同時(shí)，始終存在一對全等三角形，即△ADC≌△ABE．如果把小等邊三角形的一邊看作“小手”，大等邊三角形的一邊看作“大手”，這樣就類似“大手拉著小手”，不妨稱之為“手拉手”基本圖形，當(dāng)圖形中只有一個(gè)等邊三角形時(shí)，可嘗試在它的一個(gè)頂點(diǎn)作另一個(gè)等邊三角形，構(gòu)造“手拉手”基本圖形，從而解決問題．【方法應(yīng)用】

（1）等邊三角形ABC中，E是邊AC上一定點(diǎn)，D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊：等邊三角形DEF，連接CF．①如圖2，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF=CD．②如圖3，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，線段CE、CF、CD之間的關(guān)系為__________（直接寫出結(jié)論）（2）如圖4，等腰△ABC中，120°<∠BAC<180°，AB=AC，AD⊥BC，且交BC于點(diǎn)D，以AC為邊作等邊△ACE，直線BE交直線AD于點(diǎn)F，連接FC交AE于點(diǎn)M，寫出FE、FA、FC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．（3）如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ，則CQ是否有最小值，如有，求出它的最小值，沒有，請說明理由．專題13.5手拉手模型典例分析典例分析【典例1】（1）問題發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，我們把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形，如圖1，△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，分別連接BD，CE．求證：BD=CE；（2）類比探究：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段BD與CE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由．（3）問題解決：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，若AE=7，BE=2，請直接寫出四邊形ABEC的面積．【思路點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)、三線合一等性質(zhì)，熟練掌握三角形的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)即可解答．（2）根據(jù)（1）問中，“手拉手”全等的證明，可得△BAD≌△CAE(SAS)，利用全等的性質(zhì)可得BD=CE，∠ACE=∠ABC，又因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ACB=∠ACE=45°，從而可知∠BCE=90°，即（3）由△DCE是等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，可證得CM=12DE=12(AE?AD)，根據(jù)（1）問中，“手拉手”全等的證明，可得△ACD≌△BCE，從而得【解題過程】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC?∠CAD=∠DAE?∠CAD即∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE∴BD=CE．（2）BD與CE的數(shù)量關(guān)系是BD=CE，位置關(guān)系是BD⊥CE．理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE．（3）解：由（1）的方法得，△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴CM=1∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠EAB+∠CBA=90°，∴∠CBE+∠EAB+∠CBA=90°，∴∠AEB=90°即四邊形ABEC的面積=S學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24七年級下·貴州畢節(jié)·期末）在△BCD中，∠BCD<120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，連結(jié)AD、BE和CF交千點(diǎn)P，則以下結(jié)論中①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；④PB+PC+PD=BE．正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】證明△ABD≌△CBFSAS，△ACD≌△BCESAS，可得∠BAD=∠BCF，∠CAD=∠CBE，進(jìn)一步可判斷①②，證明∠APC=60°，求出∠BPC=120°，進(jìn)一步可判斷③，在PA上截取PG=PB，連接BG，證明∠BGA=∠BPC=120°，再證△BAG≌△BCPAAS，可得PC=GA【解題過程】解：∵△ABC，△BDF是等邊三角形，∴BA=BC，BD=BF，∠ABC=∠DBF=60°，∴∠ABD=∠CBF，∴△ABD≌△CBFSAS∴∠BAD=∠BCF，AD=CF，同理可得△ACD≌△BCESAS∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，∠BEC=∠ADC，∴AD=BE=CF，故①②符合題意；∵∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAD+∠CBE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠BAD+∠ABC+∠CBE=∠BAD+∠ABE=120°，∴∠BPA=60°=∠DPE，同理可得∠APC=60°，∴∠BPC=120°，∠EPC=60°，∴∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°，故③符合題意；如圖，在PA上截取PG=PB，連接BG，∴△BPG是等邊三角形，∴∠BGP=60°，∴∠BGA=120°，∴∠BGA=∠BPC，又∵∠BAG=∠BCP，AB=CB，∴△BAG≌△BCPAAS∴PC=GA，∴PA=PG+GA=PB+PC，∵AD=BE，∴PB+PC+PD=PA+PD=AD=BE；故④符合題意；故選D2．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個(gè)三角板抽象成如圖2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，點(diǎn)B、C、E依次在同一條直線上，連結(jié)CD．若BC=4，CE=2，則△DCE的面積是．【思路點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)SAS證明△ACD≌△ABE，由全等三角形的性質(zhì)得出∠ACD=∠B，【解題過程】解：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ACD≌△ABESAS∴∠ACD=∠B，∵∠B=45°，∴∠ACD=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∵BC=4，CE=2，∴BE=6，∴CD=6，∴S故答案為：6．3．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC與BE相交于點(diǎn)M，AD與CE相交于點(diǎn)，連接MN，PC，則下列四個(gè)結(jié)論：①∠BMC=∠BMA；②∠APB=60°；③AN=BM；④PC平分∠BPD．其中，正確的是（只填寫序號）

【思路點(diǎn)撥】當(dāng)M是AC的中點(diǎn)或者BM平分∠ABC時(shí)，∠BMC=∠BMA，故①錯(cuò)誤；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CA=CB,CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，則∠ACE=60°，可得△ACD≌△BCESAS，故∠CAD=∠CBE，再判斷△ACN≌△BCMASA，所以AN=BM；可以判斷③正確，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，則∠CBE+∠CDA=60°，然后再利用三角形內(nèi)角和定理即可得到∠BPD=120°，故∠APB=60°，故②正確；作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，即可證明△AQC≌△BHCAAS，故CQ=CH【解題過程】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴當(dāng)M是AC的中點(diǎn)或者BM平分∠ABC時(shí)，∴∠BMC=∠BMA，但題中M的位置不確定，∴∠BMC和∠BMA不一定相等，故①錯(cuò)誤；∵△ABC和△DEC都是等邊三角形，∴CA=CB,CD=CE，∠ACB=60°，∴∠ACE=60°，∴∠ACD=∠BCE=120°，在△ADC和△BCE中，CA=CB∴△ACD≌△BCESAS∴∠CAD=∠CBE，在△ACN和△BCM中，∠ACN=∠BCMCA=CB∴△ACN≌△BCMASA∴AN=BM，故③正確；∵∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，∴∠CBE+∠CDA=60°，∴∠BPD=120°，∴∠APB=60°，故②正確；作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如圖，

∵△ACD≌△BCE，∴AC=BC，∠CAD=∠CBE又∵∠BHC=∠AQC=90°∴△AQC≌△BHC∴CQ=CH，又∵∠CHP=∠CQP=90°，∴CP平分∠BPD，故④正確．綜上所述：正確的是②③④．故答案為：②③④．4．（23-24九年級上·河南周口·期中）如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，直線AE，BD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)A，C，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，∠AFB的度數(shù)為______，線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系為______．（2）如圖2，當(dāng)△ECD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°≤α≤360°（3）若AC=4，CD=3，當(dāng)△ECD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，請直接寫出BD長的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)證明△ACE≌△BCD，結(jié)合三角形的外角就可以得出結(jié)論；（2）同（1）中方法證明△ACE≌△BCD，得出AE=BD，∠2=∠3，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠AFB=60°；（3）當(dāng)B、C、D三點(diǎn)共線時(shí)得出BD的最大和最小值，即可得出結(jié)論．【解題過程】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵△ECD是等邊三角形，∴CE=CD，∠DCE=60°，∴∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠AFB=∠CAE+∠BDC，且∠ACB=60°∴∠AFB=∠CBD+∠BDC=∠ACB=60°（2）（1）中結(jié)論仍成立，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵△ECD是等邊三角形，∴CE=CD，∠DCE=60°，∴∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠1=∠DCE+∠1，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠2=∠3，∵∠AFB+∠3=∠ACB+∠2，且∠ACB=60°，∴∠AFB=60°；（3）∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=4，當(dāng)旋轉(zhuǎn)α=60°時(shí)，B、C、D三點(diǎn)共線，此時(shí)BD=BC+CD=7，當(dāng)旋轉(zhuǎn)α=240°時(shí)，B、C、D三點(diǎn)共線，此時(shí)BD=BC?CD=1；∴1≤BD≤7．5．（23-24七年級下·四川成都·期中）數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點(diǎn)D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：__________，∠BDC=；（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點(diǎn)D．請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，連接BE，CF，將△AEF繞它們共同的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度后，若B，E，F(xiàn)三點(diǎn)剛好在同一直線上，求此時(shí)∠AFC的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)AC交BD于點(diǎn)G，由∠BAC=∠EAF=30°可得∠BAE=∠CAF=30°+∠CAE，而AB=AC、AE=AF，即可根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△ACF，所以BE=CF，∠ABE=∠ACF，則∠BDC=∠AGD?∠ACF=∠AGD?∠ABE=∠BAC=30°即可解答；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABE≌△ACF可得BE=CF,（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABE≌△ACF可得∠AFC=AEB,AE=AF，再說明∠AEB=135°即可．【解題過程】（1）解：如圖1，設(shè)AC交BD于點(diǎn)G，∵∠BAC=∠EAF=30°，∴∠BAE=∠CAF=30°+∠CAE，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACFSAS∴∠ABE=∠ACF，BE=CF，∴∠BDC=∠AGD?∠ACF=∠ACD?∠ABE=∠BAC=30°．故答案為：BE=CF，30．（2）解：BE=CF，∵∠BAC=∠EAF=120°，∴∠BAC?∠EAC=∠EAF?∠EAC，即∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACFSAS∴BE=CF,∵∠EAF=120°,∴∠AEF=∠AFE=30°，∴∠BDC=∠BEF?∠EFD=∠AEB+30°?∠AFC?30°（3）解：如圖3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB=∠EAF=90°，∴∠CAB?∠CAE=∠FAE?∠CAE，即：∠BAE=∠CAF，∴△BAE≌△CAF(SAS∴∠AFC=AEB,AE=AF，∵∠EAF=90°，∴∠AEF=45°,∴∠AEB=180°?∠AEF=135°,∴∠AFC=∠AEB=135°．6．（2024·河南·一模）如圖，

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC和△EDC都是等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，連接AE．①∠AEC的度數(shù)為______；②線段AE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）拓展探究：如圖②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，CM為△EDC中DE邊上的高，連接AE，試求∠AEB的度數(shù)及判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：如圖③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，點(diǎn)B、D，E在同一條直線上，請直接寫出∠EAB+∠ECB的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BDC=120°，證明△ECA≌△DCBSAS（2）證明△ECA≌△DCBSAS，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CDB=135°，進(jìn)而得到∠CEA=∠CDB=135°，∠AEB=∠CEA?∠CEB，即可得到∠AEB的度數(shù)；由△DCE是等腰直角三角形，CM為△EDC中DE邊上的高，可得BE=AE+2CM，即可得到線段CM、AE、BM（3）證明△ECA≌△DCBSAS，得到∠CEA=∠CDB=108°，推出∠EAC+∠ECA=72°，最后根據(jù)∠EAB+∠ECB=∠EAC+∠CAB+∠ECA+∠ACB【解題過程】（1）解：①∵△ABC和△EDC都是等邊三角形，∴CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=60°，∴∠BDC=180°?∠EDC=120°，∴∠ECD?∠ACD=∠ACB?∠ACD，即∠ECA=∠DCB，在△ECA和△DCB中，CE=CD∠ECA=∠DCB∴△ECA≌△DCBSAS∴∠AEC=∠BDC=120°，故答案為：120°；②∵△ECA≌∴AE=BD，故答案為：AE=BD；（2）解：∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，EC=DC,AC=BC,∠ECD=∠ACB=90°,∠CDE=∠CED=45°，∴∠ECD?∠ACD=∠ACB?∠ACD，∴∠ECA=∠DCB，

在△AEC與△BDC中，EC=DC∠ECA=∠DCB∴△AEC≌△BDC(SAS∴∠AEC=∠BDC,AE=BD，∵∠CDE=45°，點(diǎn)B、D、E在同一條直線上，∴∠BDC=135°，∴∠AEC=∠BDC=135°，∴∠AEB=∠AEC?∠CEB=135°?45°=90°，∵△EDC都是等腰直角三角形，CM⊥DE，∴CM=EM=MD，∴ED=2CM，∴BE=BD+DE=AE+2CM，∠AEB的度數(shù)為90°，線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系為：BE=AE+2CM；（3）解：根據(jù)（1）（2）中結(jié)論可知：△AEC≌△BDC，得∠AEC=∠BDC，∵△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，∴∠CDE=∠ABC=180°?36°∴∠AEC=∠BDC=180°?72°=108°，∴∠AEC+∠ABC=108°+72°=180°，∴∠EAB+∠ECB=360°?180°=180°．7．（23-24八年級上·重慶萬州·階段練習(xí)）（1）問題情境如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE，求證：△ABD≌△ACE．（2）遷移應(yīng)用如圖2，△ABC和△ADE都是等邊三角形，A，B，E三點(diǎn)在同一條直線上，M是AD的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)，P在BE上，△MNP是等邊三角形，求證：P是BE的中點(diǎn)．（3）拓展創(chuàng)新如圖3，P是線段BE的中點(diǎn)，BE=9，在BE的下方作等邊△PFH（P，F(xiàn)，H三點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列，△PFH的大小和位置可以變化），連接EF，BH．當(dāng)EF+BH的值最小時(shí)，直接寫出等邊△PFH邊長的最小值．【思路點(diǎn)撥】（1）證出∠BAD=∠CAE，根據(jù)SAS證明△ABD≌△ACE；（2）在AE上取點(diǎn)K，使得AK=AM，連接KM，證明△AMN≌△KMP(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出AN=KP，證出（3）作∠EPQ=60°，使PQ=PE，連接QE,QB，證明△EPF≌△QPH(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出EF=QH，則EF+BH=QH+BH，當(dāng)點(diǎn)H在線段QB上時(shí)，【解題過程】（1）證明:∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC,AD=AE，∴∠BAC?∠ACD=∠DAE?∠ACD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS（2）證明:在AE上取點(diǎn)K，使得AK=AM，連接KM，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形.∴∠DAE=60°，AD=AE，AC=AB，∴△AMK是等邊三角形,∴AM=MK=AK，∠AMK=60°，∵△MPN是等邊三角形,∴MN=MP，∠PMN=60°，∴∠PMN=∠KMA，∴∠PMN?∠AMP=∠KMA?∠AMP，即∠AMN=∠KMP，在△AMN和△KMP中AM=KM∠AMN=∠KMP∴△AMN≌△KMP(SAS∴AN=KP，∴AM=AK=AP+AN，∵M(jìn)為AD的中點(diǎn),點(diǎn)N為AC的中點(diǎn),∴AE=AD=2AM，AB=AC=2AN，設(shè)AP=x，AN=y，則AK=x+y，AB=2y，∴AE=2AK=2x+2y，BP=AB+AP=x+2y，∴EP=AE?AP=x+2y，∴EP=BP，∴點(diǎn)P為BE的中點(diǎn)；（3）作∠EPQ=60°，使PQ=PE，連接EQ,QB，∵△PFH是等邊三角形,∴PF=PH，∠FPH=60°，∴∠EPF=∠QPH，∴△EPF≌△QPHSAS∴EF=QH，∴EF+BH=QH+BH，當(dāng)點(diǎn)H在線段QB上時(shí)，EF+BH的值最小，此時(shí)PH⊥BQ，PH的值最小，∵PQ=PB=PE，∴∠PBQ=∠PQB=30°，在Rt△PBH中，PH=即當(dāng)EF+BH的值最小時(shí)，△PFH邊長的最小值為98．（23-24七年級下·陜西咸陽·期末）【問題提出】（1）如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，BE交AC于點(diǎn)O，延長BE交CF于點(diǎn)D．①試說明：BE=CF；②求∠BDC的度數(shù)．【問題探究】（2）如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點(diǎn)D，請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）①利用SAS證明△ABE≌△ACF，即可得出結(jié)論；（2）利用SAS證明△ABE≌△ACF，由全等三角形的性質(zhì)即可得出BE=CF；然后，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)即可求出【解題過程】解：（1）①∵∠BAC=∠EAF=30°∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，即∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌∴BE=CF；②如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，∵△ABE≌∴∠ABE=∠ACF，∵∠AOE=∠ABE+∠BAC，∠AOE=∠ACF+∠BDC，∴∠BDC=∠BAC=30°；（2）BE=CF，∠BDC=60°，理由如下：∵∠BAC=∠EAF=120°，∴∠BAC?∠EAC=∠EAF?∠EAC，即∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌∴BE=CF，∠AEB=∠AFC，∵∠EAF=120°，AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=1∴∠BDC=∠BEF?∠EFD==∠AEB?∠AFC+∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠AFE=30°+30°=60°．9．（23-24七年級下·安徽宿州·期末）已知，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊在AD的右側(cè)作等腰直角△ADE，∠DAE=90°，（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），請直接寫出線段CE與BD之間的數(shù)量關(guān)系：___________，位置關(guān)系：___________；（只寫結(jié)論，不用證明）②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請說明理由；若成立，寫出結(jié)論并加以論證；（2）如果AB≠AC，∠BAC<90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CE⊥BD（點(diǎn)C，E重合除外）？請寫出條件，并借助圖3簡述CE⊥BD成立的理由．【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)．熟練掌握等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得到∠B=∠ACB=45°,推出∠BAD=∠CAE，得到△ABD≌△ACESAS，得到CE=BD，∠ACE=∠B=45°，得到∠BCE=90°，CE⊥BD②根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得到∠B=∠ACB=45°,推出∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACESAS，得到CE=BD，∠ACE=∠B=45°，得到∠BCE=90°，即得CE⊥BD（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，CE⊥BD．過點(diǎn)A作AF⊥AC交CB的延長線于點(diǎn)F，得到△AFC是等腰直角三角形，根據(jù)∠DAE=90°，AD=AE，推出∠FAD=∠CAE，得到△FAD≌△CAESAS，得到∠ACE=∠F=45°，得到∠BCE=90°【解題過程】（1）①當(dāng)AB=AC，∠BAC=90°時(shí)，∠B=∠ACB=45°，∵∠DAE=90°，∴∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACESAS∴CE=BD，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD；故答案為：CE=BD，CE⊥BD；②CE=BD，CE⊥BD仍然成立，理由：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°,∵∠DAE=90°，∴∠BAD?∠CAD=∠CAE?∠CAD=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACESAS∴CE=BD，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD；（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，CE⊥BD，理由：如答圖，過點(diǎn)A作AF⊥AC交CB的延長線于點(diǎn)F，則∠FAC=90°，∵∠ACB=45°，∴∠F=90°?∠ACB=45°，∴AC=AF，∵∠DAE=90°，∴∠FAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，∴∠FAD=∠CAE，∴△FAD≌△CAESAS∴∠ACE=∠F=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD．10．（23-24七年級下·河南鄭州·期中）【綜合實(shí)踐】如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．（1）【初步把握】如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有△ABD≌；線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是；（2）【深入研究】如圖2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段BD與CE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由；（3）【拓展延伸】如圖3，直線l1⊥l2，垂足為點(diǎn)O，l2上有一點(diǎn)M在點(diǎn)O右側(cè)且OM=4，點(diǎn)N是l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，連接【思路點(diǎn)撥】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理．（1）由∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，根據(jù)SAS可得△ABD≌△ACE，則可得出結(jié)論；（2）由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，即可證△ABD≌△ACESAS，有BD=CE，∠ACE=∠ABC，而△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，知∠ABC=∠ACB=45°，故∠ACE=∠ABC=45°，即可得∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，BD⊥CE（3）證明∠O'MO=45°，當(dāng)OP有最小，即O'P【解題過程】（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS故答案為：△ACE；BD=CE；（2）解：BD與CE的數(shù)量關(guān)系是BD=CE，位置關(guān)系是BD⊥CE∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE；（3）∵△MNP是等腰直角三角形，∴∠MNP=∠NPM=45°，將△OPM繞M點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△O'P'M連接OO∴△PMO≌△P∴MO=MO'，∴∠O當(dāng)OP有最小，即O'P'由∠O'O∴O'P'∴ON=4，OP最小值為4．11．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC與△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求證：△AEC≌△ADB；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC與△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,B、D、E三點(diǎn)在一條直線上，AC與BE交于點(diǎn)F，若點(diǎn)F為AC中點(diǎn)，①求∠BEC的大小；②CE=2，求△ACE【拓展提高】（3）如圖3，△ABC與△ADE中，AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=90°,BE與CA交于點(diǎn)F,DC=DF,△BCF的面積為32，求AF的長．【思路點(diǎn)撥】（1）由SAS證△AEC≌△ADB即可；（2）①同（1）得△AEC≌△ADBSAS，得∠AEC=∠ADB=135°②過點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)G，證△AGF≌△CEFASA，得AG=CE=2，GF=EF，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得DG=EG=AG=2，則GF=EF=1（3）連接CE，同（2）得△CDE≌△FDASAS，則CE=AF，∠DCE=∠DFA=135°，得∠ACE=90°，再證△ACE≌△BAFSAS，得CE=AF，S△ACE=S△BAF，然后證CE∥AB，得【解題過程】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠BAE=∠DAE?∠BAE，即∠CAE=∠BAD，在△AEC和△ADB中，AC=AB∠CAE=∠BAD∴△AEC≌△ADBSAS（2）解：①∵AD=AE，∠DAE=90∴∠ADE=∠AED=45°，∴∠ADB=180°?∠ADE=180°?45°=135°，同（1）得：△AEC≌△ADBSAS∴∠AEC=∠ADB=135°，∴∠BEC=∠AEC?∠AED=135°?45°=90°；②如圖2，過點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)G，則∠FGA=90°，由①可知，∠FEC=90°，∴∠FGA=∠FEC，∵點(diǎn)F為AC中點(diǎn)，∴AF=CF，又∵∠AFG=∠CFE，∴△AGF≌△CEFAAS∴AG=CE=2，GF=EF，∵AD=AE，∠DAE=90∴DG=EG=AG=2，∴GF=EF=1∴S（3）解：如圖3，連接CE，同（2）得：△CDE≌△FDASAS∴CE=AF，∠DCE=∠DFA=135°，∴∠ACE=∠DCE?∠ACB=135°?45°=90°，在△ACE和△BAF中，AC=AB∠ACE=∠BAF=90°∴△ACE≌△BAFSAS∴S△ACE∵∠ACE=∠BAC，∴CE∥∴S∵S∴12∴AC?AF?AF?CF=64，∴AF(AC?CF)=64，∴AF∴AF=8，負(fù)值舍去，即AF的長為8．12．（2023·甘肅張掖·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化時(shí)，始終存在一對全等三角形．通過查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”．興趣小組進(jìn)行了如下操作：（1）觀察猜想：如圖①，已知△ABC,△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合，連接CE，易證△ABD≌△ACE，進(jìn)而判斷出AB與CE的位置關(guān)系是___________（2）類比探究：如圖②，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC=60°，試說明點(diǎn)B，D，E在同一直線上；（3）解決問題：如圖③，已知點(diǎn)E在等邊△ABC的外部，并且與點(diǎn)B位于線段AC的異側(cè)，連接AE、BE、CE．若∠BEC=60°,AE=3,CE=2，請求出BE的長．【思路點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）利用SAS證明△BAD≌△CAE，可求出∠BAC=∠ACE=60°，利用平行線的判定即可得出結(jié)論；（2）利用SAS證明△BAD≌△CAE，可得出∠ADB=∠AEC=120°，進(jìn)而得出∠ADB+∠ADE=180°，即可得證；（3）在線段BE上取一點(diǎn)H，使得BH=CE，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O，先利用外角的性質(zhì)證明∠ABH=∠ACE，再利用SAS證明△ABH≌△ACE，得出∠BAH=∠CAE，AH=AE，則可證明△AEH是等邊三角形，得出AE=EH，即可求解．【解題過程】（1）解：AB∥理由如下：∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠B=∠ACE=60°，∴∠BAC=∠ACE=60°，∴AB∥故答案為：AB∥（2）證明：∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ADE=60°，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∵∠AED=60°，∠DEC=60°，∴∠AEC=120°，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠ADB=∠AEC=120°，∴∠ADB+∠ADE=180°，∴點(diǎn)B，D，E在同一直線上；（3）解：如圖③，在線段BE上取一點(diǎn)H，使得BH=CE，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠BAC=60°，∵∠BEC=60°，∴∠BAO=∠OEC=60°，∵∠AOB=∠EOC，∴∠ABH=∠ACE，在△ABH和△ACE中，AB=AC∠ABH=∠ACE∴△ABH≌△ACESAS∴∠BAH=∠CAE，AH=AE，∴∠HAE=∠BAC=60°，∴△AEH是等邊三角形，∴AE=EH，∴BE=BH+EH=EC+AE，即BE=AE+EC，∵AE=3，CE=2，∴BE=3+2=5．13．（23-24八年級上·河北滄州·期末）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），把線路AD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE（即AD=AE），使得∠DAE=∠BAC，連接DB、CE．（1）如圖1，點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=__________度．

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=60°，則∠BCE=__________度．

（3）如圖3，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，α，β的數(shù)量關(guān)系是什么？請說明理由．

（4）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β，當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)時(shí)，請直接寫出α，β的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【思路點(diǎn)撥】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度數(shù)；（2）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，得∠ABC=∠ACE=60°，可求∠BCE的度數(shù)；（3）由“SAS”可證△BAD≌△CAE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（4）由“SAS”可證△BAD≌△CAE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【解題過程】（1）解：∵∠BAC=90°，∴∠DAE=∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案為：90；（2）∵∠BAC=60°，∴∠DAE=∠BAC=60°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=60°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD＝在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠ACE=∠B=60°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，故答案為：120；（3）α+β=180°，理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠ACE=∠B，∴∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB，∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=β，∴∠B+∠ACB=β，∵∠BAC=α，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；（4）如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，α+β=180°，

證明方法同（3）；如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長線上時(shí)，α=β，

理由如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，∴∠DAB=∠EAC，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∴∠BAC=∠BCE，∵∠BAC=α，∴α=β．綜上，α+β=180°或α=β．14．（24-25九年級上·廣東深圳·開學(xué)考試）【初步感知】（1）如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合）．以AD為邊向右側(cè)作等邊△ADE，連接CE．求證：△ABD≌△ACE；【類比探究】（2）如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，隨著動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)位置不同，線段EC，AC，CD之間的數(shù)量關(guān)系為__________，請證明你的結(jié)論．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在等邊△ABC中，AB=5，點(diǎn)P是邊AC上一定點(diǎn)且AP=2，若點(diǎn)D為射線BC上動(dòng)點(diǎn)，以DP為邊向右側(cè)作等邊△DPE，連接CE，BE．請問：PE+BE是否有最小值？若有，請求出其最小值；若沒有，請說明理由．【思路點(diǎn)撥】本題考查三角形綜合，全等三角形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由△ABC和△ADE是等邊三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因?yàn)椤螧AC=∠DAE，則∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，利用SAS證明△ABD≌△ACE即可；（2）證明△ABD≌△ACESAS，得出CE=BD，結(jié)合AC=BC，則CE=BD=BC+CD=AC+CD（3）在射線BC上截取PC=DM，連接EM，易證△EPC≌△EDM，則EC=EM，∠CEM=∠PED=60°，得出△CEM是等邊三角形，則∠ECM=60°，即點(diǎn)E在∠ACD角平分線上運(yùn)動(dòng)，在射線CD上截取CP'=CP，連接EP'，證明△CEP≌△CEP'SAS，得出PE=P'E，推出BE+PE=BE+P'【解題過程】（1）證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS（2）解：EC=AC+CD，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴CE=BD，∵AC=BC，∴CE=BD=BC+CD=AC+CD．（3）解：有最小值，在射線BC上截取PC=DM，連接EM，，∵△ABC和△DPE是等邊三角形，∴PE=ED，∠DPE=∠ACB=60°，∴∠ACD=180°?∠ACB=120°，∴∠ACD+∠DEP=180°，∵∠PCE+∠CEP+∠EPC=180°，∠ECD+∠CDE+∠CED=180°，∴∠ECD+∠CDE+∠CED+∠PCE+∠CEP+∠EPC=360°，∵∠PCE+∠ECD+∠CEP+∠CED?∠ACD+∠DEP=180°，∴∠EPC+∠CDE=180°，∴∠EPC=∠EDM，在△EPC和△EDM中，PE=ED∠EPC=∠EDM∴△EPC≌△EDMSAS∴EC=EM，∠PEC=∠DEM，∵∠PEC+∠CED=∠DEP=60°，∴∠CEM=∠DEM+∠CED=60°，∴△CEM是等邊三角形，∴∠ECM=60°，∴∠ECD=60°，∠ACE=180°?∠ECD?∠ACB=60°，即點(diǎn)E在∠ACD角平分線上運(yùn)動(dòng)，在射線CD上截取CP'=CP在△CEP和△CEPPC=P∴△CEP≌△CEP∴PE=P∴BE+PE=BE+P由三角形三邊關(guān)系可得，BE+P'E≥BP'，即當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，BE+∵AP=2，AC=BC=AB=5，∴PC=AC?AP=3，∴BE+PE=BE+∴BE+PE的最小值為8．15．（23-24七年級下·陜西西安·期末）問題發(fā)現(xiàn)：學(xué)習(xí)三角形全等的知識時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)重合兩個(gè)等腰直角三角形的頂點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生一對新的全等三角形．如圖1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，以AD為邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE問題探究：小明想，如果將上圖中的等腰直角三角形換成等邊三角形，那么這組全等三角形是否還存在？如圖2，△ABC和△ADE是等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線．（1）證明：△ABD≌（2）探索線段BE，AE，CE三者間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由．問題拓展：經(jīng)過上面的探究，小明聯(lián)想到幾天前一道不會(huì)的題，請你幫小明再想一想，是否有新的發(fā)現(xiàn)．如圖3，邊長為a的等邊△ABC中，D是AC中點(diǎn)，BD=b，E是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，在AE右側(cè)作等邊△AEF，連接FD，求△AFD周長的最小值（用含a，b的代數(shù)式表示），并直接寫出取最小值時(shí)∠AFD的度數(shù)．

【思路點(diǎn)撥】問題發(fā)現(xiàn)：由∠BAC=90°，∠DAE=90°，得到∠BAD=∠CAE，可證明△ABD≌△ACE，推出∠ABD=∠ACE，由Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC問題探究：（1）由△ABC和△ADE是等邊三角形，得到∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=AE=DE，推出∠BAD=∠CAE，即可證明；（2）由△ABD≌△ACE可得BD=CE，推出問題拓展：證明△ABE≌△ACF，得到∠ACF=∠ABE，由于∠ABE是定值，所以∠ACF為定值，P在一條固定的線段上運(yùn)動(dòng)，延長CF至點(diǎn)P，使得BD=CP，推出點(diǎn)F在線段CP上運(yùn)動(dòng)，以直線CP為對稱軸，作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A'，得到AC=A'C，AF=A'F，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得AF+DF=A'F+FD≥A'D，令A(yù)'D與CP交于點(diǎn)F'，則有【解題過程】解：問題發(fā)現(xiàn)：∵∠BAC=90°，∠DAE=90∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌∴∠ABD=∠ACE，∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°；問題探究：（1）∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=AE=DE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌（2）BE=AE+CE，理由如下：∵△ABD≌∴BD=CE，∵AE=DE，∴BE=DE+BD=AE+CE；問題拓展：連接CF，∵△ABC和△AEF是等邊三角形，∴∠BAC=∠EAF=60°，AB=BC=AC，AE=AF=EF，∴∠BAC?∠EAD=∠EAF?∠EAD，即∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE∴∠ACF=∠ABE，由于∠ABE是定值，所以∠ACF為定值，P在一條固定的線段上運(yùn)動(dòng)，如圖3，延長CF至點(diǎn)P，使得BD=CP，∴點(diǎn)F在線段CP上運(yùn)動(dòng)，以直線CP為對稱軸，作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A'∴AC=A'C∴AF+DF=A令A(yù)'D與CP交于點(diǎn)F'∵BA=BC，DA=DC，∴BD⊥AC，∠ABD=1∵△ABE≌∴∠ACF=∠ABD=1∵∠ACF=12∠AC∴∠ACA∴△ACA∵CA=CB，CA=CA∴CA又∵BD⊥AC，∴DA∴C△AFD∵AD=CD，∴∠ADA延長AF'交A'∵AD=CD，∴A'∵△ACA∴AA'=AC又∵A'∴∠CAD'=綜上所述，△AFD周長的最小值為12a+b，此時(shí)16．（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在△ABC所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)．探究圖形間存在的關(guān)系．特例探究：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，連接CD，以CD為邊在其右側(cè)作等腰直角三角形CDE，連接BE，發(fā)現(xiàn)BE⊥AB，請說明理由；求異探究：（2）如圖2，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，△AEF為等腰直角三角形，點(diǎn)D在△ABC外部時(shí)，連接ED，以ED為邊在其右側(cè)作等腰直角三角形EDH，連接DF和CH，判斷DF與CH的關(guān)系，并證明；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上時(shí)，連接BD，在線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接AE．若CD=6，AE=10，求△ABD的面積．【思路點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，進(jìn)而證明△ACD≌△BCESAS，得出∠CBE=∠A=45°，可得∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°（2）連接AD，CF，先證明△DAE≌△HFESAS可得∠EAD=∠EFH，AD=FH，進(jìn)而證明△ADF≌△FHC（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長線上時(shí)，過點(diǎn)B作FB⊥AB，交AD的延長線于點(diǎn)F，得出△ACB是等腰直角三角形，證明△ABE≌△FBDSAS，得出FD=AE=10，BC=CF=CA=16，AD=22，利用三角形面積公式可求解；當(dāng)點(diǎn)D在CA【解題過程】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠ABC=45°，∵將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCESAS∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，∴BE⊥AB；（2）DF=CH，DF⊥CH；如圖所示，連接AD，CF，∵以ED為邊在其右側(cè)作等腰直角三角形EDH，∴ED=EH，∠DEH=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵點(diǎn)E和F分別為AC和AB的中點(diǎn)，∴EF∥BC，EF=1∴∠AED=∠FEH，∴△DAE≌△HFESAS∴∠EAD=∠EFH，AD=FH，∵CF⊥AB，∠ACB=90°，CA=CB，∴CF=1又∵EF⊥AC，∴∠EFC=45°，∴∠EFC=∠EAF=45°，∴∠EAD?∠EAF=∠EFH?∠EFC，即∠FAD=∠CFH，在△ADF和△FHC中，AD=FH∠FAD=∠CFH∴△ADF≌△FHCSAS∴DF=CH，∠AFD=∠FCH，∵∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，∴AF=CF=BF，∠AFC=90°，∴∠AFD+∠CFG=90°，∴∠FCH+∠CFG=90°，∴∠FGC=90°，∴DF⊥CH；（3）當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長線上時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)B作FB⊥AB，交AD的延長線于點(diǎn)F，∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∵FB⊥AB，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BA=BF，∵將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，∴DB=EB，∠DBE=90°，∴∠FBD=90°?∠ABD=∠ABE，∴△ABE≌△FBDSAS∴FD=AE=10，∵∠ACB=90°，BA=FB，∴BC=CF=CA=CD+DF=16，AD=CA+CD=22，∴△ABD的面積為12當(dāng)點(diǎn)D在CA的延長線上時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)B作FB⊥AB，交AD的延長線于點(diǎn)F，同理△ABF是等腰直角三角形，△ABE≌△FBDSAS∴FD=AE=10，∵∠ACB=90°，BA=FB，∴BC=CF=CA=DF?CD=4，AD=CD?CA=2，∴△ABD的面積為12綜上，△ABD的面積為4或176．17．（22-23九年級上·安徽·階段練習(xí)）安安利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長線于點(diǎn)F，求證：∠AFB=60°；【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片△ABC的BC邊上取一點(diǎn)D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分線于點(diǎn)E，探究CE，DC和AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；【思維提升】（3）如圖3，△ABC和△DCE均為正三角形，當(dāng)B，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，連接PC，若BC=3CE，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個(gè)進(jìn)行證明：①AP?3PDPC②AP+PC+2PDBD?PC+PE【思路點(diǎn)撥】（1）證明△ACE?△BCD(SAS)，推出（2）如圖2，在AB上取一點(diǎn)G，使得BG=BD，證明△BDG是等邊三角形，