2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第06講拓展一：平面向量的拓展應(yīng)用(精講)(學(xué)生版+解析)

第06講拓展一：平面向量的拓展應(yīng)用目錄TOC\o"1-1"\h\u高頻考點一：平面向量夾角為銳角問題 1高頻考點二：平面向量夾角為鈍角問題 2高頻考點三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法） 3高頻考點四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法） 4高頻考點五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法） 5高頻考點六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法） 6高頻考點七：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（定義法） 7高頻考點八：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（向量數(shù)量積幾何意義法） 7高頻考點九：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法（自主建系法）） 8高頻考點十：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法） 10高頻考點一：平面向量夾角為銳角問題典型例題例題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知：向量與的夾角為銳角．若是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．例題2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為．例題3．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知，是夾角為的兩個單位向量．若，，其中，若，的夾角為銳角，求的取值范圍．練透核心考點1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知平面向量與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是．2．（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）已知與的夾角為.(1)求在方向上的投影向量;(2)求的值;(3)若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.高頻考點二：平面向量夾角為鈍角問題典型例題例題1．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）已知，與的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）若向量，的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為．例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且.(1)求；(2)求與的夾角的余弦值；(3)若與夾角為鈍角，求實數(shù)k的取值范圍.練透核心考點1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）設(shè)兩個向量，滿足，，，之間的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）設(shè)兩個向量滿足，(1)求在上的投影向量（用坐標(biāo)表示）；(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍.高頻考點三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法）典型例題例題1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（

）A．4 B．2 C． D．5例題2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題3．（23-24高三下·上海松江·階段練習(xí)）向量滿足，，，則的最大值為.練透核心考點1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，，，為的中點，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）若、是平面內(nèi)兩個互相垂直，且模長都是2的向量，向量滿足，則的最大值是．3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）定義：已知兩個非零向量與的夾角為.我們把數(shù)量叫做向量與的叉乘的模，記作，即.(1)若向量，，求；(2)若平行四邊形的面積為4，求；(3)若，，求的最小值.高頻考點四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法）典型例題例題1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對任意不等式恒成立，若，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知向量、垂直，且，若，則的最小值為（

）A．34 B．26 C．24 D．14例題3．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）已知平面向量滿足，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．3練透核心考點1．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（

）A． B． C．2 D．2．（23-24高三下·江蘇揚州·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩點，點，且，則線段的長的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．高頻考點五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法）典型例題例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知平面向量，，滿足：，，，則，且的取值范圍為.練透核心考點1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為單位向量，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．6高頻考點六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法）典型例題例題1．（23-24高二上·福建泉州·期中）在棱長為2的正方體中，為中點，在平面內(nèi)，且滿足.則點的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（23-24高三·浙江·開學(xué)考試）均為單位向量，且它們的夾角為45°，設(shè)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題3．（23-24·浙江溫州·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，則的取值范圍是．練透核心考點1．（23-24高三上·重慶九龍坡·期中）已知，，，，則的取值范圍（

）A． B．C． D．2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知五個點，滿足：，，則的最小值為．3．（23-24高三上·河南駐馬店·階段練習(xí)）△QAB是邊長為6的正三角形，點C滿足，且，，，則的取值范圍是.高頻考點七：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（定義法）典型例題例題1．（23-24高三上·陜西西安·期中）在直角中，，點M是外接圓上任意一點，則的最大值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12例題2．（23-24高三上·北京大興·期中）已知等邊的邊長為，分別是的中點，則；若是線段上的動點，且，則的最小值為．練透核心考點1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知中，，，的對邊，，成等比數(shù)列，，延長至點，使.求：(1)的大小；(2)的取值范圍.高頻考點八：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（向量數(shù)量積幾何意義法）典型例題例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知正六邊形的邊長為2，對稱中心為，以為圓心作半徑為1的圓，點為圓上任意一點，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．(2)若求實數(shù)λ的值；(3)在（2）的條件下，若M，N是線段BC上的動點，且求的最小值.練透核心考點1．（多選）（23-24高一下·四川涼山·階段練習(xí)）已知梯形ABCD中，，，，，，點P，Q在線段BC上移動，且，則的值可能為（

）A．3 B． C． D．2．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC邊的中點，，，，則；設(shè)M為平面上一點，且，其中，則的最小值為．3．（23-24高一下·山東濟寧·階段練習(xí)）如圖，已知是邊長為的正方形的中心，質(zhì)點從點出發(fā)沿方向，同時質(zhì)點也從點出發(fā)沿方向在該正方形上運動，直至它們首次相遇為止．已知質(zhì)點的速度為，質(zhì)點的速度為．(1)請將表示為時間（單位：）的函數(shù)______；(2)求的最小值．高頻考點十：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法）典型例題例題1．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）閱讀一下一段文字：，，兩式相減得我們把這個等式稱作“極化恒等式”，它實現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個向量的數(shù)量積運算化為“?！钡倪\算．試根據(jù)上面的內(nèi)容解決以下問題：如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點．(1)若AD＝6，BC＝4，求的值；(2)若，，求的值．例題2．（23-24高一下·貴州·階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數(shù)量積化為“模”的運算.如圖所示的四邊形中，，為中點.(1)若，求的面積；(2)若，求的值.練透核心考點1．（23-24高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點，，，則（

）A．32 B．-32 C．16 D．-162．（23-24高一下·廣東潮州·階段練習(xí)）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數(shù)量積化為“?！钡倪\算.如圖所示的四邊形中，，為中點.(1)若，求的面積；(2)若，求的值；(3)若為平面內(nèi)一點，求的最小值.第06講拓展一：平面向量的拓展應(yīng)用目錄TOC\o"1-1"\h\u高頻考點一：平面向量夾角為銳角問題 1高頻考點二：平面向量夾角為鈍角問題 4高頻考點三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法） 8高頻考點四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法） 11高頻考點五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法） 17高頻考點六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法） 19高頻考點七：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（定義法） 25高頻考點八：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（向量數(shù)量積幾何意義法） 27高頻考點九：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法（自主建系法）） 31高頻考點十：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（積化恒等式法） 37高頻考點一：平面向量夾角為銳角問題典型例題例題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知：向量與的夾角為銳角．若是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量夾角為銳角得到關(guān)于的不等式組，進而求得的取值范圍，再結(jié)合為假命題取的取值范圍的補集即可得解.【詳解】當(dāng)向量向量與的夾角為銳角時，有且與方向不相同，即，解得且，因為是假命題，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.例題2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】且【分析】根據(jù)題意可知，，，，可得出的取值范圍，再計算與同向時的值，即可得的取值范圍.【詳解】因為與的夾角為銳角，所以，且與不同向，所以，因為，為互相垂直的單位向量，所以，，，所以，可得，當(dāng)與同向時，，即，可得，可得，此時不滿足與的夾角為銳角，綜上所述：實數(shù)的取值范圍為且.故答案為：且.例題3．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知，是夾角為的兩個單位向量．若，，其中，若，的夾角為銳角，求的取值范圍．【答案】．【分析】向量的夾角為銳角，轉(zhuǎn)化成為向量的數(shù)量積大于0，且向量不共線，從而求參數(shù)的取值范圍.【詳解】∵，是夾角為的兩個單位向量，所以，因為，的夾角為銳角，由.由，綜上，的取值范圍是且，即.練透核心考點1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知平面向量與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】且【分析】因夾角為銳角可知數(shù)量積大于0，但要去掉夾角為0的情況.【詳解】由題意知，得，當(dāng)時，，得故答案為：且2．（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）已知與的夾角為.(1)求在方向上的投影向量;(2)求的值;(3)若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接根據(jù)投影向量的概念求解；（2）通過展開計算；（3）根據(jù)，且與不共線計算求解.【詳解】（1）在方向上的投影向量為；（2）；（3）因為向量與的夾角為銳角，所以，且與不共線，對于，得，解得，若與共線，則存在，得，解得，所以若向量與的夾角為銳角，實數(shù)的取值范圍為.高頻考點二：平面向量夾角為鈍角問題典型例題例題1．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）已知，與的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意當(dāng)且僅當(dāng)且與不反向才滿足題意，由此解不等式組即可求解.【詳解】已知，與的夾角為，則，由題意，，又時，與反向，，且故選：C.例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）若向量，的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】兩向量的夾角為鈍角，等價于兩向量的數(shù)量積小于零且兩向量不同向共線，由此可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為向量，的夾角為鈍角，所以且不同向共線，由；由；所以，的夾角為鈍角，可得的取值范圍是：.故答案為：例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且.(1)求；(2)求與的夾角的余弦值；(3)若與夾角為鈍角，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)定義得出內(nèi)積的值，并根據(jù)展開得到；（2）利用直接計算即可得到結(jié)果；（3）將條件轉(zhuǎn)化為且，然后計算，解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題目條件知，.（2）.（3）由于，，，而與夾角為鈍角，這等價于且.從而且，即且.將方程變形為，整理得到，即.這在時一定不成立，故可直接去除該條件.從而的取值范圍是.練透核心考點1．（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）設(shè)兩個向量，滿足，，，之間的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，，且不能共線反向，再求解即可得實數(shù)的取值范圍；【詳解】因為，，與的夾角為，所以，因為向量與向量的夾角為鈍角，所以且不能共線反向，若，則，解得，若向量與向量共線反向，則有，即，解得（舍去）或，所以，綜上可得實數(shù)的取值范圍.故選：B2．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）設(shè)兩個向量滿足，(1)求在上的投影向量（用坐標(biāo)表示）；(2)若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用投影向量的意義求解即得.（2）利用向量夾角的余弦，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示求解即得.【詳解】（1）依題意，，所以在上的投影向量是.（2）由，得，，由向量與向量的夾角為鈍角，得，且與不共線，因此，整理得，解得且，所以實數(shù)的取值范圍是.高頻考點三：平面向量模的最值（或范圍）問題（定義法）典型例題例題1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（

）A．4 B．2 C． D．5【答案】C【分析】利用進行轉(zhuǎn)化，把轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，再用二次函數(shù)的性質(zhì)求值域.【詳解】因為，所以所以，所以.故選：C例題2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)向量，的夾角為，求得的表達式，利用平方的方法，結(jié)合余弦函數(shù)的值域等知識求得正確答案.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，則，因為，所以，令，則，因為，所以，又，所以.故選：C例題3．（23-24高三下·上海松江·階段練習(xí)）向量滿足，，，則的最大值為.【答案】【分析】利用數(shù)量積的運算法則求得，從而假設(shè)的坐標(biāo)，進而得到的三角表示，再結(jié)合三角恒等變換即可得解.【詳解】因為，，所以，則，則，所以，又因為，所以，則可設(shè)，則，又因為，所以，故又可設(shè)的坐標(biāo)為，所以，因此，所以最大值為.故答案為：.練透核心考點1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，，，為的中點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由平面向量基本定理及數(shù)量積求出余弦定理求出，解法一利用重要不等式求解即可；解法二先利用重要不等式求的最大值，再結(jié)合題意求解即可；解法三根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出三點共線時取得最大值，進而求出.【詳解】記，由于，為的中點，則，等式兩邊平方得:．在中，由余弦定理得．解法一：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故．解法二：因為當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，即的最大值為．又，所以的最大值為．解法三：在中，，，所以外接圓圓的半徑為，．在中，．因為，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，所以的最大值為．故選:B．2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）若、是平面內(nèi)兩個互相垂直，且模長都是2的向量，向量滿足，則的最大值是．【答案】【分析】首先根據(jù)數(shù)量積公式展開，再化簡，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.【詳解】、是平面內(nèi)兩個互相垂直，且模長都是2的向量，設(shè)，，，，，，其中為向量與之間的夾角，，或，，，，的最大值是.故答案為：.3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）定義：已知兩個非零向量與的夾角為.我們把數(shù)量叫做向量與的叉乘的模，記作，即.(1)若向量，，求；(2)若平行四邊形的面積為4，求；(3)若，，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運算求得，從而利用新定義即可得解；（2）利用平行四邊形的面積公式，結(jié)合新定義即可得解；（3）利用新定義與向量數(shù)量積的定義求得的夾角，從而得到，再利用向量數(shù)量積的運算法則與基本不等式即可得解.【詳解】（1）因為，，則，所以，因為是向量的夾角，所以，因此，故.（2）因為平行四邊形ABCD的面積為4，所以，所以.（3）因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.高頻考點四：平面向量模的最值（或范圍）問題（幾何法）典型例題例題1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對任意不等式恒成立，若，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，結(jié)合圖象可得，從而可得，接下來方法一，直接對進行平方化簡，由二次函數(shù)最值可解；方法二，由三點共線基本定理，結(jié)合三角形面積公式和余弦定理可解.【詳解】和相互垂直，則，則，結(jié)合圖象，，則，因為恒成立，則，即，則，法（一）：對稱軸時：，即法（二）：，因為，所以向量的終點共線（起點重合），則的面積，，所以.故選:．

【點睛】關(guān)鍵點點睛：數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)，，則，因為恒成立，則.例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知向量、垂直，且，若，則的最小值為（

）A．34 B．26 C．24 D．14【答案】B【分析】取點，使得，在取一動點，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，過點作，使得點與關(guān)于對稱，結(jié)合三點共線，即可求解.【詳解】如圖所示，在直角中，由已知得，在上取點，使得，在取一動點，設(shè)，則，過點作，取，則點與關(guān)于對稱，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取得最小值，最小值為.故選：B.例題3．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）已知平面向量滿足，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)向量加減法的平行四邊形法則作圖，問題轉(zhuǎn)化為求的最值，利用外接圓數(shù)形結(jié)合可求最值.【詳解】設(shè)，如圖，

由題意，即在平行四邊形中，，，求的最大值.延長至，使，則，由正弦定理，三點所在外接圓的直徑，所以，設(shè)圓心為，如圖，

所以可知，又，所以由余弦定理可得，則由圖象可知，故選：C練透核心考點1．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由，即得到點共圓，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.【詳解】設(shè)，因為，，所以，又，所以，所以點共圓，要使的最大，即為直徑，在中，由余弦定理可得，又由正弦定理，即的最大值等于，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是由向量之間的夾角確定點共圓，再由正弦和余弦定理求解即可.2．（23-24高三下·江蘇揚州·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩點，點，且，則線段的長的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】易知以為鄰邊作平行四邊形為矩形，由平面向量可證明，再由可得其取值范圍.【詳解】以為鄰邊作平行四邊形，由可得四邊形為矩形，如下圖所示：，可得，解得，即，即點軌跡是以為圓心，半徑為的圓，易知，，所以線段的長的取值范圍是.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本意關(guān)鍵在于利用平面向量證明求得，再結(jié)合圓上點到定點距離最值問題求得結(jié)果.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)向量模長和垂直條件，考慮運用幾何法求解，由想到構(gòu)造矩形，運用極化恒等式推導(dǎo)出結(jié)論，求得,最后用三角形三邊關(guān)系定理得到的范圍，轉(zhuǎn)化即得.【詳解】如圖，設(shè)，，，點在圓上，點在圓上，則，，由可得：，作矩形,則.下證：.設(shè)交于點，連接,因則，同理可得：，兩式左右分別相加得：，.即，故.又，因，即，故有．故選:C．【點睛】方法點睛：本題考查平面向量的線性運算的模長范圍問題，屬于較難題.處理平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：（1）坐標(biāo)法：即通過建立直角坐標(biāo)系，通過向量坐標(biāo)運算求得；（2）基向量表示法：即通過選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運算求得；（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長定值構(gòu)造圓形，由向量點乘等于零得到兩向量垂直.高頻考點五：平面向量模的最值（或范圍）問題（三角不等式法）典型例題例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知平面向量，，滿足：，，，則，且的取值范圍為.【答案】5【分析】第一空：直接根據(jù)模的計算公式即可求解；第二空，由向量之間的“三角不等式”即可求解.【詳解】第一空：因為，，，所以，；第二空：對于兩個向量，有，進一步有，所以，注意到，，從而，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)反向，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)同向，所以的取值范圍為.故答案為：5；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第一空的關(guān)鍵是在于利用整體思想結(jié)合，得到，其中，，由此即可順利得解.練透核心考點1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為單位向量，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．6【答案】B【分析】由，得，可得，由，當(dāng)?shù)忍柍闪r可得最小值.【詳解】為單位向量，有，得，由，得，有，所以，，，，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時“”成立，如取時，可使“”成立.所以.故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點是由已知條件得，這樣就能得到.高頻考點六：平面向量模的最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法）典型例題例題1．（23-24高二上·福建泉州·期中）在棱長為2的正方體中，為中點，在平面內(nèi)，且滿足.則點的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先考慮的軌跡，再結(jié)合該軌跡可在平面直角坐標(biāo)系中求出的取值范圍.【詳解】如圖，連接，因為平面，平面，故，而，，故平面，而平面，故.在平面中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，因為，故在以為直徑圓上（如圖所示），且圓的方程為：即，設(shè)，則，故，設(shè)，則表示，由圖可得，故，故選：B.【點睛】思路點睛：對于空間中的動點的軌跡問題，可利用空間中位置關(guān)系的判斷方法找到平面上動點滿足的軌跡方程，從而把空間問題平面化.例題2．（23-24高三·浙江·開學(xué)考試）均為單位向量，且它們的夾角為45°，設(shè)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立直角坐標(biāo)系，求得向量，的終點軌跡方程是圓和直線，利用圓心到直線距離減去半徑得到最小值得解【詳解】設(shè)，以的方向為正方向，所在直線為軸，垂直于所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系均為單位向量，且它們的夾角為45°，則，，設(shè)滿足，設(shè),故，則，則的最小值為圓上的點到直線距離的最小值其最小值為故選:C.【點睛】向量模長最值問題轉(zhuǎn)化為點到直線距離是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.例題3．（23-24·浙江溫州·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】由題可得當(dāng)時適合題意，當(dāng)時，不妨設(shè)，結(jié)合條件可得存在，使，進而分類討論即得.【詳解】當(dāng)時，取明顯成立，當(dāng)時，不妨設(shè)，則，∴，即存在，使，當(dāng)時，，不合題意，當(dāng)時，存在，使，即適合題意；綜上，的取值范圍是.故答案為：.練透核心考點1．（23-24高三上·重慶九龍坡·期中）已知，，，，則的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)易知四邊形為矩形，構(gòu)建以為原點直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為平面上滿足的情況下，結(jié)合兩點距離公式求兩點距離的范圍.【詳解】由題設(shè)，四邊形為矩形，構(gòu)建以為原點的直角坐標(biāo)系，如下圖，

若，則，設(shè)，∴，且，又，∴，即.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)建直角坐標(biāo)系，將平面向量的模長問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點的距離問題，應(yīng)用解析法求范圍.2．（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知五個點，滿足：，，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)出合理的向量模，再將其置于坐標(biāo)系中，利用坐標(biāo)表示出，再用基本不等式求解出最值即可.【詳解】因為，所以，，，由題意設(shè)，則，，設(shè)，如圖，因為求的最小值，則，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為．故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先是對向量模的合理假設(shè)，然后為了進一步降低計算的復(fù)雜性，我們選擇利用坐標(biāo)法將涉及的各個點用坐標(biāo)表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值.3．（23-24高三上·河南駐馬店·階段練習(xí)）△QAB是邊長為6的正三角形，點C滿足，且，，，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，寫出點坐標(biāo)，表示出，再求向量，再根據(jù)已知，，得，，代入得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，∴，，，∴，∴∴，∵，，∴，，∴，∴由二次函數(shù)的性質(zhì)知，∴故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查向量坐標(biāo)運算，模的求解，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知用表示向量的模，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于一般題.高頻考點七：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（定義法）典型例題例題1．（23-24高三上·陜西西安·期中）在直角中，，點M是外接圓上任意一點，則的最大值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】由平面向量的線性運算，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解最大值，得到答案．【詳解】由題意，設(shè)△ABC的外心即BC中點為O，由平面向量的線性運算，知，所以=，由圖可知：==，當(dāng)時，，，故選：D．

【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算，以及平面向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記向量的線性運算和平面向量的數(shù)量積的運算公式，合理運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．例題2．（23-24高三上·北京大興·期中）已知等邊的邊長為，分別是的中點，則；若是線段上的動點，且，則的最小值為．【答案】/【分析】第一空：通過展開整理，帶入數(shù)據(jù)計算即可；第二空：設(shè)，通過展開整理，帶入數(shù)據(jù)然后配方求最值.【詳解】

;若是線段上的動點，且，不妨設(shè)點相對更靠近點，設(shè)，，當(dāng)時，取最小值，且為.故答案為：；.練透核心考點1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知中，，，的對邊，，成等比數(shù)列，，延長至點，使.求：(1)的大小；(2)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和，，化簡得，又，則，利用兩角和公式即可得解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，，故為等邊三角形，設(shè)的邊長為，，結(jié)合的范圍即可得解.【詳解】（1）.①又，則②故或（舍去）.又，從而，.（2）由（1）結(jié)論，①+②得則，故為等邊三角形.設(shè)的邊長為.則.故，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立.故的取值范圍是.高頻考點八：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（向量數(shù)量積幾何意義法）典型例題例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知正六邊形的邊長為2，對稱中心為，以為圓心作半徑為1的圓，點為圓上任意一點，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】解法一

連接，，設(shè)，根據(jù)向量的線性運算用，表示出，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．解法二

以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．解法三

借助向量投影的知識將轉(zhuǎn)化，找到取得最值時點的位置，即可求得結(jié)果．【詳解】解法一：如圖所示：

連接，設(shè)，連接，依題意得，，，，則，．因為，所以，（三角函數(shù)的有界性）所以．故選：C．解法二

如圖，

以為坐標(biāo)原點，以直線為軸，過且和垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得，，，因為圓的半徑為1，所以可設(shè)，所以，，所以，又，（三角函數(shù)的有界性）所以．故選：C．解法三如圖所示：

設(shè)，則．可看成是在上的投影，當(dāng)點與重合時最小，最小值為，當(dāng)點與重合時最大，最大值為0，故．故選：C．例題2．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）如圖，是邊長2的正方形，為半圓弧上的動點（含端點）則的取值范圍為．

【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，由投影的幾何意義并結(jié)合圖形即可求得其范圍.【詳解】，由投影的定義知，結(jié)合圖形得，當(dāng)與半圓弧相切于P點的直線平行于BC時，最大為，此時；當(dāng)P在C或B點重合時，最小為，此時即可得故答案為：練透核心考點1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知平行四邊形ABCD中，，，，若以C為圓心的圓與對角線BD相切，P是圓C上的一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意做出圖形，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果【詳解】如圖所示，過作的平行線交圓于點，過作，垂足為，在平行四邊形中，，，，可得，，則由余弦定理可得，由，可得，則四邊形為正方形，則，因為，則的最小值為，即的最小值為，故C正確。故選：C.2．（2024·遼寧沈陽·一模）已知是半徑為1的球面上不同的三點，則的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】是球面上不同的三點，不共線，故平面截球面得到的是一個圓，記此圓半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)平面過球心時，.在半徑為的圓中，對于任意的弦，過作于,由向量數(shù)量積的幾何意義知，當(dāng)在如圖所示的位置時，取最小值，則的最小值為，當(dāng)時，取最小值，又的最大值為1，故所求最小值為.故答案為：高頻考點九：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（坐標(biāo)法（自主建系法））典型例題例題1．（23-24高一下·全國·期末）在邊長為2的正方形中，動點P，Q在線段上，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】方法一：設(shè)的中點為，則可得，化簡后可求出其最小值；方法二：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，則，化簡后可求得其最小值.【詳解】方法一：設(shè)的中點為，則（當(dāng)為中點時取等號）.方法二：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，因為在邊長為2的正方形中，動點P，Q在線段上，且，所以，，所以，所以當(dāng)時，有最小值1.故選：C.例題2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在菱形ABCD中，，若點M在線段AD上運動，則的取值范圍為．【答案】．【分析】解法一：建立平面直角坐標(biāo)系，求的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示求再求其范圍；解法二：根據(jù)數(shù)量積的定義，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義求的范圍.【詳解】解法一：，記的交點為，以為原點，所在直線分別為x，y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，則，故，又則．解法二：，如圖2所示，當(dāng)M在線段AD上運動時可得，即，又，所以．故答案為：例題3．（23-24高一下·天津紅橋·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，(1)求的值；(2)若求實數(shù)λ的值；(3)在（2）的條件下，若M，N是線段BC上的動點，且求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積公式求解；（2）根據(jù)，可得，即可得，根據(jù)數(shù)量積公式，可得AD的長，分析即可得答案；（3）如圖建系，求得D點坐標(biāo)，設(shè)，則，即可得坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合x的范圍，即可得答案.【詳解】（1）.（2）因為，所以，所以，所以，所以，又，所以，即.（3）以BC為x軸正方向，過B作BC垂線為y軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示，因為，所以，則，設(shè)，則，因為是線段上的兩個動點，所以，解得，所以，所以，所以當(dāng)時，有最小值.練透核心考點1．（多選）（23-24高一下·四川涼山·階段練習(xí)）已知梯形ABCD中，，，，，，點P，Q在線段BC上移動，且，則的值可能為（

）A．3 B． C． D．【答案】AD【分析】以為坐標(biāo)原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用坐標(biāo)表示向量，計