2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（滬教版2020測試范圍：必修第一冊第一章-第二章 函數(shù)的概念與性質(zhì)）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。a2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：滬教版2020必修第一冊第一章~第二章+函數(shù)的概念與性質(zhì)。5．難度系數(shù)：0.75。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．已知全集，若，，則.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，又，則.故答案為：.2．若、中至少有一個(gè)小于0，則是命題.（填“真”或“假”）【答案】假【解析】、中至少有一個(gè)小于0包括、都小于0和、兩個(gè)數(shù)中一個(gè)小于0，一個(gè)大于0，故當(dāng)，時(shí)，滿足條件，但是，所以命題：若、中至少有一個(gè)小于0，則為假命題.故答案為：假3．函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意自變量應(yīng)滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.4．已知函數(shù)的表達(dá)式為，，則.【答案】或3【解析】當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，(舍負(fù))綜上，或，故答案為：或3．5．若兩個(gè)正數(shù)的幾何平均值是1，則與的算術(shù)平均值的最小值是.【答案】1【解析】根據(jù)基本不等式可得，所以與的算數(shù)平均數(shù)的最小值為1.故答案為：1.6．若關(guān)于的方程無解，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【解析】關(guān)于的方程無解，即方程無解，所以，所以.故答案為：7．已知全集，集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為.【答案】/【解析】解：因?yàn)椋?，所以，所以故答案為?．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.【答案】【解析】解：當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：9．方程的解集為.【答案】【解析】由絕對值三角不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的解集為.故答案為：.10．某輛汽車以的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全，要求）時(shí)，每小時(shí)的油耗（所需要的汽油量）為，其中k為常數(shù)．若汽車以110km/h的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為13L，欲使每小時(shí)的油耗不超過11L，則速度x的取值范圍為km/h．（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】【解析】由，解得，所以，所以，故．故答案為：.11．已知關(guān)于的不等式組的整數(shù)解恰好有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由可得，當(dāng)時(shí)，，原不等式組無解，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，，原不等式組的解集為，沒有兩個(gè)整數(shù)解，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，，原不等式組的解集為，沒有兩個(gè)整數(shù)解，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，，原不等式組的解集為，因?yàn)樵坏仁浇M的解集中恰好有兩個(gè)整數(shù)解，所以這兩個(gè)整數(shù)解為，所以，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.12．函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象上任一點(diǎn)滿足．命題：①函數(shù)一定是偶函數(shù)；②函數(shù)可能既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；③函數(shù)可以是奇函數(shù)；④函數(shù)是偶函數(shù)，則值域是或；⑤若函數(shù)值域是，則一定是奇函數(shù)．其中正確命題的序號是．（填上所有正確的序號）【答案】③⑤【解析】由于的定義域是，則，，所以④錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象有如下四種情況：（1）（2）（3）（4）根據(jù)圖象可知③⑤正確，①②④故答案為：③⑤.二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))13．下列兩組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）（1）和；（2）和.A．僅（1）是 B．僅（2）是 C．（1）（2）都是 D．（1）（2）都不是【答案】A【解析】對于（1），兩個(gè)函數(shù)定義域都為，化簡后兩個(gè)函數(shù)都為，所以（1）中兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；對于（2），的定義域是，的定義域?yàn)榛颍x域不一致，所以不是同一個(gè)函數(shù).故選：A14．下列說法，其中一定正確的是（

）A． B．C． D．的最小值為【答案】B【解析】對于A：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故B正確；對于C：當(dāng)時(shí)，滿足，但是，故C錯(cuò)誤；對于D：令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，即的最小值為，故D錯(cuò)誤；故選：B15．已知：奇函數(shù)，在嚴(yán)格遞減，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在嚴(yán)格遞減 B．在上嚴(yán)格遞減C．在上嚴(yán)格遞減 D．在上嚴(yán)格遞減【答案】D【解析】根據(jù)題意可知：奇函數(shù)在和上分別嚴(yán)格遞減，但由于不確定的值，故在上和上的單調(diào)性也不確定，A和B錯(cuò)；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，在上的單調(diào)性仍然不確定，C錯(cuò)；對于選項(xiàng)D：易得，故，∴，故在上嚴(yán)格遞減，D正確.故選：D.16．已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中正整數(shù)、且）或（其中正整數(shù)、且）．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①；②集合．則下列判斷正確的是（

）A．①對②對 B．①對②錯(cuò) C．①錯(cuò)②對 D．①錯(cuò)②錯(cuò)【答案】A【解析】因?yàn)槿簦瑒t當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且，且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，所以，，因?yàn)椋瑵M足其中且，所以，因?yàn)?，且，，所以，因?yàn)?，，，所以，故①對；下面討論元素與集合的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，，所以；依次類推，當(dāng)時(shí)，，，，所以，則，故②對.故選：A.三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．已知集合，或x≥4．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，或，∴．（6分）（2）解：∵或，∴，∵“”是“”的充分不必要條件，∴是的真子集，（8分）∵，∴，∴，∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（14分）18．已知函數(shù)，其中.(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，對，，所以函?shù)為奇函數(shù)；（2分）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，對，，此時(shí)，此時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)；（6分）（2）設(shè)，則，，因?yàn)椋?，，?0分）若為上的增函數(shù)，則成立，則成立，所以成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（14分）19．如圖，正方形的邊長為2，E為邊上的一點(diǎn)，．F為線段上的一點(diǎn)，，垂足為G，，垂足為H．（1）設(shè)，試將矩形的面積S表示成關(guān)于x的函數(shù)；（2）求矩形的面積S的最大值．【解析】（1）作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以?分）所以（6分）（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)（9分）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)（13分）綜上：當(dāng)時(shí)．當(dāng)時(shí)（14分）20．已知關(guān)于x的不等式的解集為M．(1)若，求x的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，滿足：“對于任意正整數(shù)n，都有；對于任意負(fù)整數(shù)m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，即，解得，即x的取值范圍為.（4分）（2）當(dāng)時(shí)，解得，或，①當(dāng)時(shí)，不等式化為，時(shí)，解集為；（5分）②當(dāng)時(shí)，不等式化為，對任意實(shí)數(shù)不等式不成立；（7分）③當(dāng)時(shí)，可得，則k的取值范圍為；（10分）綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.（3）根據(jù)題意，得出解集，，當(dāng)時(shí)，解得，或，時(shí)，不等式的解集為，滿足條件，時(shí)，恒成立，不滿足條件，當(dāng)時(shí)，此時(shí)對應(yīng)的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不滿足條件，當(dāng)時(shí)，此時(shí)對應(yīng)的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不滿足條件，綜上，存在滿足條件的值為5．（18分）21．已知函數(shù)與的定義域均為，若對任意的都有成立，則稱函數(shù)是函數(shù)在上的“L函數(shù)”.(1)若，判斷函數(shù)是否是函數(shù)在上的“函數(shù)”，并說明理由；(2)若，函數(shù)是函數(shù)在上的“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，函數(shù)是函數(shù)在上的“函數(shù)”，且，求證：對任意的都有.【解析】（1）對任意的，且，.顯然有，所以函數(shù)y=gx是函數(shù)y=fx在上的“L函數(shù)”；（4（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=gx是函數(shù)y=fx在上的“L函數(shù)”所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立，化簡得對任意的恒成立，即對任