2024-2025學(xué)年黑龍江省“龍東聯(lián)盟”高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年黑龍江省“龍東聯(lián)盟”高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.過點(diǎn)2,?1，且一個(gè)方向向量為?1,2的直線方程為(

)A.x+2y=0 B.2x+y?3=0 C.x?2y?4=0 D.2x?y?5=02.若直線ax+y?a+1=0與x+2y?4=0的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.?∞,?13∪(3,+∞) B.?13,33.已知點(diǎn)Px0,y0，直線l:Ax+By+C=0A2+A.Ax?x0+By?y0=0 4.在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A(0,1)的距離為3，且與點(diǎn)B(3,5)的距離為2的直線共有(

)A.1條 B.2條 C.3條 D.4條5.已知圓C1:x2+y2?23x+a=0與圓CA.?1或?9 B.?1 C.?9 D.?16.已知x∈Z，y∈Z，且x+y≤2，則x2+yA.23 B.913 C.137.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》第五卷“商功”中，把底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”.今有“陽(yáng)馬”P?ABCD，PA⊥平面ABCD，PA=AB=4，AD=2，E，F(xiàn)，G分別為棱PA，AB，PD的中點(diǎn)，則點(diǎn)G到平面CEF的距離為(

)A.322 B.33 8.已知點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓(x?3)2+(y+4)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P(t,?t?4)，則當(dāng)實(shí)數(shù)tA.8 B.7 C.6 D.5二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，A表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是3”，B表示事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，C表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，D表示事件“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”，則(

)A.A與C互斥 B.B與D對(duì)立 C.A與B獨(dú)立 D.B與C獨(dú)立10.已知P是直線l:y=x+4上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過P作圓O:x2+y2=3的兩條切線，切點(diǎn)分別為AA.PO的最小值為22

B.cos∠APB的最大值為58

C.當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?2,2)時(shí)，直線AB經(jīng)過點(diǎn)?12,1

D.當(dāng)直線11.設(shè)直線系M:xcosmθ+ysinnθ=1(其中θ，m，n均為參數(shù)，0≤θ≤2π，mA.不存在m，n，使直線系M中所有直線恒過定點(diǎn)

B.當(dāng)m=n=1時(shí)，存在一個(gè)圓與直線系M中所有直線都相切

C.當(dāng)m=n=2時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線系M中所有直線的距離最大值為2，最小值為1

D.當(dāng)m=1，n=2時(shí)，若存在點(diǎn)A(0,a)，使其到直線系M中所有直線的距離不大于1，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若直線mx+3y+1=0與直線x+(m+2)y+m=0平行，則實(shí)數(shù)m的值為

．13.若圓(x?3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且只有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線4x?3y?2=014.已知過點(diǎn)P(1,2)且斜率為32的直線與圓(x+1)2+y2=1相交于A，B四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為13，乙每次投籃投中的概率為1(1)求投籃結(jié)束時(shí)，甲、乙各只投1個(gè)球的概率；(2)求投籃結(jié)束時(shí)，甲只投了2個(gè)球的概率；(3)求乙獲勝的概率；16.(本小題12分)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中證明了“任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上”這一結(jié)論，后人稱這條直線為三角形的歐拉線．在?ABC中，已知A(0,2)，B(?4,0)，且?ABC歐拉線的方程為x+y+2=0．(1)求?ABC外心F坐標(biāo)；(2)求?ABC重心G的坐標(biāo)；(3)求?ABC垂心H的坐標(biāo)．17.(本小題12分)已知圓C:(x+2)2+y2=1，動(dòng)圓D的圓心D在y軸上，且與圓C外切，圓D與y軸交于A，(1)當(dāng)點(diǎn)D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan∠APB(2)是否存在x軸上的定點(diǎn)Q，使得點(diǎn)D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠AQB是定值，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．18.(本小題12分)已知兩個(gè)非零向量a，b在空間任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作?a,b?.定義a與b的“向量積”為：a×b是一個(gè)向量，它與向量a，(1)求正四棱錐S?ABCD的體積V；(2)若P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，且SD⊥平面PAC，求平面PAC與平面ABCD夾角的余弦值；(3)若點(diǎn)E是側(cè)棱SC(包含端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線DE與平面BCE所成角最大時(shí)，求SE:EC的值．19.(本小題12分)已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(?2,0)和(?12,0)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足到點(diǎn)M的距離是它到點(diǎn)N的距離的2倍，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線E，曲線E與y軸的交點(diǎn)分別為S，T點(diǎn)．點(diǎn)P是直線y=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PS，PT分別與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)(均與S，T(1)若?PST是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)求四邊形ASBT面積的最大值．

參考答案1.B

2.A

3.D

4.C

5.A

6.B

7.B

8.C

9.ACD

10.ACD

11.BCD

12.?3

13.3,7

14.7

15.(1)設(shè)Ai,B則PAi=12，所求的概率為PA(2)所求的概率為P=1(3)所求的概率為P=1

16.(1)因?yàn)閗AB=2?00+4=又因?yàn)锳B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,1)，所以AB垂直平分線方程為y?1=?2(x+2)，即2x+y+3=0，因?yàn)橥庑腇既在AB的垂直平分線上，又在歐拉線上，所以解方程組2x+y+3=0x+y+2=0，得x=?1y=?1，所以外心F的坐標(biāo)為(2)設(shè)Cx0,因?yàn)橹匦腉在歐拉線x+y+2=0上，所以x0?43因?yàn)镕A=FC，所以所以解方程組x0+12+當(dāng)x0=?4，y0=0時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，不滿足題意，所以點(diǎn)所以重心G的坐標(biāo)為?4(3)垂心H在BC邊上的高所在直線上，由(2)可知，C(0,?4)，又B(?4,0)，故BC邊所在直線垂直于x軸，所以BC邊上的高所在直線方程為y=0，解方程組y=0x+y+2=0，得所以垂心H的坐標(biāo)為(?2,0)．

17.(1)設(shè)圓D的圓心D(0,m)，半徑為r>0，因?yàn)閳AD與圓C外切，所以22因?yàn)閙2≥0，所以1+r≥2，即不妨設(shè)點(diǎn)A(0,m+r)，B(0,m?r)，若m?r>0，則∠APB=∠APO?∠BPO，此時(shí)tan∠BPO=若m?r<0，∠APB=∠APO+∠BPO，此時(shí)tan∠BPO=?所以tan∠APB=因?yàn)閞≥1，所以當(dāng)r=1時(shí)，tan∠APB取最小值8(2)設(shè)Q(n,0)，同理可得tan∠AQB=若存在定點(diǎn)Q，當(dāng)圓D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠AQB是定值，所以n2?3=0，即所以存在定點(diǎn)Q(±3,0)，當(dāng)圓D在y

18.(1)設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O，取AD的中點(diǎn)為K，連接KO，因?yàn)锳D//BC，故BC,SD的夾角即為AD故BC×所以SK=7，所以所以正四棱錐S?ABCD的體積V=1(2)以O(shè)為原點(diǎn)，OA,OB,OS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，B(0,2,0)，因?yàn)镻在SD上，且SD⊥平面PAC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為SD=(0,?又因?yàn)镾O⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一個(gè)法向量為SO=(0,0,?設(shè)平面PAC與平面ABCD夾角為θ，則cosθ=即平面PAC與平面ABCD夾角的余弦值為3(3)因?yàn)辄c(diǎn)E是側(cè)棱SC(包含端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則SE=λ設(shè)E(x,y,z)，由(x,y,z?6)=λ(?所以DE因?yàn)辄c(diǎn)E在SC上，所以平面BCE的法向量就是平面SBC的法向量，設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，BC=(?因?yàn)閚?BC=0，且n?BS設(shè)直線DE與平面BCE所成角為α，則sinα=因?yàn)?≤λ≤1，所以當(dāng)λ=34時(shí)，此時(shí)直線DE與平面BCE所成角最大，所以SE=34SC，所以

19.(1)設(shè)點(diǎn)Q(x,y)，由QM=2QN，得整理得曲線E的軌跡方程為x2+y設(shè)點(diǎn)P(t,2)，若?PST是等腰三角形，則t2+(2?1所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)(2)由(1)知S(0,1),T(0,?1)，