數(shù)學(xué)教案：組合第一課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．2。2組合eq\o（\s\up7()，\s\do5(整體設(shè)計)）教材分析排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問題．排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān)．與順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)的是組合問題,順序?qū)ε帕小⒔M合問題的求解特別重要．排列與組合的區(qū)別,從定義上來說是簡單的，但在具體求解過程中學(xué)生往往感到困惑,分不清到底與順序有無關(guān)系．指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來的順序．教的秘訣在于度，學(xué)的真諦在于悟，只有學(xué)生真正理解了，才能舉一反三、融會貫通．學(xué)生易于辨別組合、全排列問題，而排列問題就是先組合后全排列．在求解排列、組合問題時,可引導(dǎo)學(xué)生找出兩定義的關(guān)系后，按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來，選出元素后再去考慮是否要對元素進(jìn)行排隊(duì),即第一步僅從組合的角度考慮,第二步則考慮元素是否需全排列，如果不需要,是組合問題;否則是排列問題．排列、組合問題大都來源于同學(xué)們生活和學(xué)習(xí)中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的過程，用數(shù)學(xué)的原理和語言加以表述．也可以說解排列、組合題就是從生活經(jīng)驗(yàn)、知識經(jīng)驗(yàn)、具體情景出發(fā)，正確領(lǐng)會問題的實(shí)質(zhì)，抽象出“按部就班”的處理問題的過程．據(jù)筆者觀察，有些同學(xué)之所以在學(xué)習(xí)中感到抽象，不知如何思考，并不是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識跟不上，而是因?yàn)槠綍r做事、考慮問題就缺乏條理性，或解題思路是自己主觀想象的做法(很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法)．要解決這個問題，需要師生一道在分析問題時要根據(jù)實(shí)際情況，怎么做事就怎么分析,若能借助適當(dāng)?shù)墓ぞ?，模擬做事的過程，則更能說明問題．久而久之,學(xué)生的邏輯思維能力將會大大提高．課時分配3課時第一課時教學(xué)目標(biāo)知識與技能理解組合的意義，能寫出一些簡單問題的所有組合．明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別，能判斷一個問題是排列問題還是組合問題．過程與方法通過具體實(shí)例，體會組合數(shù)的意義，總結(jié)排列數(shù)Aeq\o\al(m,n）與組合數(shù)Ceq\o\al(m，n）之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式，能運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計算．情感、態(tài)度與價值觀能運(yùn)用組合要領(lǐng)分析簡單的實(shí)際問題，提高分析問題的能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：組合的概念和組合數(shù)公式．教學(xué)難點(diǎn)：組合的概念和組合數(shù)公式．eq\o（\s\up7（），\s\do5(教學(xué)過程）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(引入新課））提出問題1：回顧分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，排列的概念和排列數(shù)公式．活動設(shè)計：教師提問．活動成果：1．分類加法計數(shù)原理:做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理:做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．排列的概念：從n個不同元素中，任取m（m≤n)個元素(這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．4．排列數(shù)的定義：從n個不同元素中，任取m（m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．5．排列數(shù)公式:Aeq\o\al(m,n)＝n（n－1）（n－2）…(n－m＋1）（m，n∈N，m≤n)．6．階乘：n！表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘．規(guī)定0?。?.7．排列數(shù)的另一個計算公式：Aeq\o\al(m，n)＝eq\f（n！，（n－m）！)。設(shè)計意圖：檢查學(xué)生的掌握情況，為新知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．提出問題2：分析下列兩個問題是不是排列問題，為什么？問題（1)：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動,其中1名同學(xué)參加上午的活動,1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題(2)：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動，有多少種不同的選法？活動設(shè)計:學(xué)生自己分析,教師提問．活動成果:問題(1）中不但要求選出2名同學(xué)，而且還要按照一定的順序“排列”，而問題（2）只要求選出2名同學(xué)，是與順序無關(guān)的，不是排列．我們把這樣的問題稱為組合問題．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過具體實(shí)例找出排列與組合問題的不同,引出組合的概念．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（探索新知)）提出問題1：結(jié)合上述問題（2），試總結(jié)組合和組合數(shù)的概念．活動設(shè)計：學(xué)生小組討論，總結(jié)概念．活動成果：1．組合的概念：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．2．組合數(shù)的概念:從n個不同元素中取出m（m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)．用符號Ceq\o\al（m,n)表示．設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生的類比和概括能力．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（理解新知))提出問題1:判斷下列問題是組合問題還是排列問題？（1）在北京、上海、廣州三個民航站之間的直達(dá)航線上,有多少種不同的飛機(jī)票？(2）高中部11個班進(jìn)行籃球單循環(huán)比賽，需要進(jìn)行多少場比賽？（3)從全班23人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個職務(wù),有多少種不同的選法？（4)10個人互相通信一次，共寫了多少封信？（5)10個人互通電話一次，共打了多少個電話？活動設(shè)計：小組交流,共同分析．活動成果:(1）（3)(4）是排列；（2)(5）是組合．設(shè)計意圖：通過具體實(shí)例比較排列和組合,加深對組合的理解．提出問題2：試找出排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系．活動設(shè)計:小組交流,教師提問，學(xué)生補(bǔ)充．活動成果：1．區(qū)別：(1）排列有順序,組合無順序．（2）相同的組合只需選出的元素相同,相同的排列則需選出的元素相同，并且選出元素的順序相同．2．聯(lián)系：(1)都是從n個不同的元素中選出m（m≤n)個元素；(2)排列可以看成先組合再全排列．設(shè)計意圖：加深對排列組合的理解，為推導(dǎo)組合數(shù)公式奠定基礎(chǔ)．提出問題2：你能類比排列數(shù)的推導(dǎo)過程和排列與組合的聯(lián)系推導(dǎo)出從4個不同元素a，b，c，d中取出3個元素的組合數(shù)Ceq\o\al(3,4)是多少嗎?活動設(shè)計：小組交流，共同推導(dǎo)．活動成果：由于排列是先組合再排列，而從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)Aeq\o\al(3，4）可以求得，故我們可以考察一下Ceq\o\al(3，4)和Aeq\o\al（3，4)的關(guān)系，如下:組合排列abc→abc，bac,cab，acb，bca,cbaabd→abd，bad,dab，adb，bda，dbaacd→acd，cad，dac，adc,cda，dcabcd→bcd,cbd，dbc，bdc，cdb，dcb由此可知，每一個組合都對應(yīng)著6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)Aeq\o\al(3,4)，可以分如下兩步：①考慮從4個不同元素中取出3個元素的組合，共有Ceq\o\al（3,4)個；②對每一個組合的3個不同元素進(jìn)行全排列，各有Aeq\o\al（3，3)種方法．由分步乘法計數(shù)原理得:Aeq\o\al(3,4）＝Ceq\o\al(3，4）·Aeq\o\al（3,3)，所以，Ceq\o\al（3,4)＝eq\f（A\o\al（3，4)，A\o\al（3，3））.設(shè)計意圖：從具體實(shí)例出發(fā)，探索組合數(shù)的求法．提出問題3：你能想出求Ceq\o\al（m,n）的方法嗎?活動設(shè)計：小組交流，共同推導(dǎo)．活動成果：一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)Ceq\o\al(m,n），可以分如下兩步：①先求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)Aeq\o\al（m，n）；②求每一個組合中m個元素的全排列數(shù)Aeq\o\al（m，m)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得：Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al（m，n)·Aeq\o\al(m,m）.得到組合數(shù)的公式:Ceq\o\al（m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n)，A\o\al（m,m))＝eq\f（n（n－1)（n－2）…(n－m＋1),m?。┗駽eq\o\al(m，n)＝eq\f（n！,m！（n－m）！)（n，m∈N，且m≤n）．規(guī)定：Ceq\o\al(0，n）＝1。設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生逐步利用分步乘法計數(shù)原理推導(dǎo)出組合數(shù)公式．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（運(yùn)用新知））類型一:組合數(shù)公式的應(yīng)用1計算：(1)Ceq\o\al（4，7）；（2)Ceq\o\al（7，10)。解：(1）Ceq\o\al（4,7)＝eq\f（7×6×5×4,4！)＝35；（2）解法1:Ceq\o\al（7，10)＝eq\f（10×9×8×7×6×5×4，7?。?20。解法2：Ceq\o\al(7，10)＝eq\f(10！,7！3?。絜q\f（10×9×8,3！)＝120.【鞏固練習(xí)】求證:Ceq\o\al(m，n)＝eq\f（m＋1,n－m）·Ceq\o\al(m＋1，n).證明：∵Ceq\o\al(m,n)＝eq\f（n!，m!(n－m)?。琫q\f(m＋1，n－m)·Ceq\o\al(m＋1，n）＝eq\f（m＋1，n－m)·eq\f(n！，（m＋1)！(n－m－1)！)＝eq\f（m＋1，(m＋1)!）·eq\f（n！，（n－m)（n－m－1）！）＝eq\f(n!,m?。╪－m)！）,∴Ceq\o\al(m，n)＝eq\f（m＋1，n－m）·Ceq\o\al（m＋1,n）?！咀兙氀菥帯吭O(shè)x∈N*，求Ceq\o\al（x－1,2x－3)＋Ceq\o\al(2x－3，x＋1)的值．解：由題意可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－3≥x－1,,x＋1≥2x－3，））解得2≤x≤4，∵x∈N＊，∴x＝2或x＝3或x＝4.當(dāng)x＝2時原式的值為4；當(dāng)x＝3時原式的值為7;當(dāng)x＝4時原式的值為11.∴所求的值為4或7或11。類型二:簡單的組合問題例2一位教練的足球隊(duì)共有17名初級學(xué)員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比賽規(guī)則，比賽時一個足球隊(duì)的上場隊(duì)員是11人．問：(1)這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場方案？（2)如果在選出11名上場隊(duì)員時,還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？思路分析：對于（1)，根據(jù)題意，17名學(xué)員沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個從17個不同元素中選出11個元素的組合問題；對于（2)，守門員的位置是特殊的，其余上場學(xué)員的地位沒有差異，因此這是一個分步完成的組合問題．解：(1）由于上場學(xué)員沒有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場方案種數(shù)為Ceq\o\al（11，17）＝12376.（2)教練員可以分兩步完成這件事情：第1步，從17名學(xué)員中選出11人組成上場小組，共有Ceq\o\al（11,17）種選法;第2步，從選出的11人中選出1名守門員,共有Ceq\o\al（1,11）種選法．所以教練員做這件事情的方式種數(shù)為Ceq\o\al（11,17)×Ceq\o\al(1,11)＝136136?！眷柟叹毩?xí)】（1)平面內(nèi)有10個點(diǎn),以其中每2個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?(2）平面內(nèi)有10個點(diǎn)，以其中每2個點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？解：(1)以平面內(nèi)10個點(diǎn)中每2個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從10個不同的元素中取出2個元素的組合數(shù)，即線段條數(shù)為Ceq\o\al(2,10）＝eq\f(10×9,1×2)＝45。（2)由于有向線段的兩個端點(diǎn)中一個是起點(diǎn)、另一個是終點(diǎn)，以平面內(nèi)10個點(diǎn)中每2個點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù),就是從10個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為Aeq\o\al（2，10)＝10×9＝90.【變練演編】（1）凸五邊形有多少條對角線？（2)凸n(n>3)邊形有多少條對角線?解答：（1)凸五邊形的五個頂點(diǎn)中，任意兩個頂點(diǎn)的連線是凸五邊形的一條對角線或是一條邊，所以，凸五邊形的對角線條數(shù)為Ceq\o\al（2，5)－5＝5。（2)凸n邊形的n個頂點(diǎn)中，任意兩個頂點(diǎn)的連線是凸n邊形的一條對角線或是一條邊，所以,凸n邊形的對角線條數(shù)為Ceq\o\al(2，n）－n＝eq\f(n(n－3),2).【達(dá)標(biāo)檢測】1．判斷下列問題哪個是排列問題,哪個是組合問題:（1)從4個風(fēng)景點(diǎn)中選出2個安排游覽,有多少種不同的方法?（2)從4個風(fēng)景點(diǎn)中選出2個,并確定這2個風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序，有多少種不同的方法？2．7名同學(xué)進(jìn)行乒乓球擂臺賽，決出新的擂主，則共需進(jìn)行的比賽場數(shù)為(）A．42B．21C．7D．63．如果把兩條異面直線看作“一對”,則在五棱錐的棱所在的直線中，異面直線有（)A．15對B．25對C．30對D．20對答案:1.(1)是組合問題(2)是排列問題2。B3。Aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．知識收獲：組合概念、組合數(shù)公式．2．方法收獲：化歸．3．思維收獲:分類討論、化歸思想．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(補(bǔ)充練習(xí)))【基礎(chǔ)練習(xí)】1．A，B，C,D，E5個足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，（1)共需比賽多少場?(2）若各隊(duì)的得分互不相同，則冠、亞軍的可能情況共有多少種？2．空間有10個點(diǎn),其中任何4點(diǎn)不共面，(1）過每3個點(diǎn)作一個平面，一共可作多少個平面？（2）以每4個點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個四面體,一共可作多少個四面體？3．壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各一張，一共可以組成多少種幣值？4．寫出從a，b,c，d,e這5個元素中每次取出4個的所有不同的組合．答案：1。（1）10（2）202。（1）Ceq\o\al（3，10）＝120（2)Ceq\o\al(4，10）＝2103。Ceq\o\al（1，4）＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al（3，4）＋Ceq\o\al(4，4)＝24－1＝15。4．a(chǎn),b,c,da，b，c，ea，b,d，ea，c，d，eb，c,d，e.【拓展練習(xí)】5．第19屆世界杯足球賽于2010年夏季在南非舉辦，共32支球隊(duì)有幸參加，他們先分成8個小組進(jìn)行循環(huán)賽，決出16強(qiáng)(每隊(duì)均與本組其他隊(duì)賽一場，各組一、二名晉級16強(qiáng)),這16支球隊(duì)按確定的程序進(jìn)行淘汰賽，最后決出冠亞軍，此外還要決出第三名、第四名，問這次世界杯總共將進(jìn)行多少場比賽?解：可分為如下幾類比賽：（1）小組循環(huán)賽:每組有Ceq\o\al(2，4)＝6場，8個小組共有48場;（2）八分之一淘汰賽：8個小組的第一、二名組