2024-2025學年北京市西城區(qū)育才學校高二（上）月考數(shù)學試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市西城區(qū)育才學校高二（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知a=(2,?1,3)，b=(?4,2,x)，且a⊥b，則A.103 B.?6 C.6 D.2.直線x+y?1=0的傾斜角為(

)A.45° B.135° C.90° D.120°3.已知空間向量a=(0,2,0)，b=(1,0,?1)，則(aA.?2 B.?1 C.1 D.24.在空間直角坐標系中，點P(1,2,?3)關于坐標平面xOy的對稱點為(

)A.(?1,?2,3) B.(?1,?2,?3) C.(?1,2,?3) D.(1,2,3)5.若a=(x,?1,3)，b=(2,y,6)，且a//bA.x=1，y=2 B.x=1，y=?2

C.x=12，y=?2 D.x=?1，6.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為CDA.25B.35

C.137.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為AA.13 B.33 C.58.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M是OA的中點，點N在BC上，且CN=2NB，設MN=xaA.12?,?13,?23B.9.已知在棱長均為2的正三棱柱ABC?A1B1C1中，點D為B1C1的中點，若在棱AB上存在一點P，使得A.2 B.5 C.6 10.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E是側面BB1C1A.圓

B.半圓

C.直線

D.線段二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。11.已知向量a=(1,2,2),b=(3,2,0)，則|a12.已知點A(?2,0,?2)，B(?1,6,?8)，AB的中點坐標為______．13.如圖，以長方體ABCD?A1B1C1D1的頂點D為坐標原點，過D的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若DB14.正四棱錐所有棱長均為2，則側面與底面所成二面角的正切值為______．15.棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，若點P為線段A1B上的動點(不含端點)，則下列結論正確的是______．

①平面A1D1P⊥平面AA1P

②三、解答題：本題共4小題，共40分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，AD=AA1=2，點E在AB上，且AE=1．

(1)求直線B17.(本小題10分)

如圖，已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，若∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，M為AB的中點．

(1)求異面直線AC18.(本小題10分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD為正三角形，AD//BC，AD=CD=2BC=2，E，F(xiàn)分別為棱PD，PB的中點．

(1)如圖，O為棱AD的中點，以O為坐標原點建立空間直角坐標系，是否合理？請說明理由；

(2)求證：AE⊥平面PCD；

(3)求平面AEF與平面PAD夾角的余弦值．19.(本小題10分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，且AB=2，∠DAB=60°，點M為棱DP的中點．

(1)在棱BC上是否存在一點N，使得CM//平面PAN？如果存在，確定點N的位置，如果不存在，請并說明理由；

(2)若二面角B?CM?D的余弦值為66時，求棱DP的長度，并求點A到平面BCM的距離．

參考答案1.A

2.B

3.D

4.D

5.B

6.C

7.C

8.C

9.B

10.B

11.212.(?313.(?4,3,2)

14.215.①②③

16.解：(1)以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則A1(2,0,2)，E(2,1,0)，B(2,3,0)，C1(0,3,2)，C(0,3,0)，B1(2,3,2)，

可得A1E=(0,1,?2)，BC1=(?2,0,2)，EC=(?2,2,0)，

設平面A1EC的法向量為n=(x,y,z)，

則n?A1E=y?2z=0n?EC=?2x+2y=0，

令z=1，則x=y=2，可得n=(2,2,1)，

可得|17.解：(1)由題意，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB=90°，

則可以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由AC=BC=1，AA1=2，M為AB的中點，

可得A(1,0,0)，C(0,0,0)，M(12,12,0)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)，

則AC1=(?1,0,2)，CB1=(0,1,2)，

故cos<AC1,CB1>=AC1?CB1|AC1||CB1|=45×5=45，

18.解：(1)因為△PAD為正三角形，O為AD中點，則PO⊥AD，

又AD//BC，AD=2BC，O為棱AD的中點，

所以BO/?/CD，又CD⊥平面PAD，

所以BO⊥平面PAD，由OD，OP?平面PAD，

故OB，OD，OP兩兩垂直，

所以以O為坐標原點建立的空間直角坐標系合理；

(2)證明：因為CD⊥平面PAD，AD?平面PAD，AE?平面PAD，

所以CD⊥AD，CD⊥AE，

又因為△PAD為等邊三角形，E為PD的中點，

所以PD⊥AE，又PD∩CD=D，

所以AE⊥平面PCD；

(3)由題意，A(0,0,0)，E(?12,0,32)，F(xiàn)(0,1,32)，

B(0,2,0)，P(0,0,3)，D(?1,0,0)，

則AE=(?32,0,32)，EF=(12,1,0)，

設平面AEF的一個法向量為n=(x,y,z)，

則有n?AE=019.解：(1)在棱BC上存在點N，使得CM/?/平面PAN，點N為棱BC的中點．證明如下：

取PA的中點Q，連結NQ、MQ，

由題意，MQ//AD且MQ=12AD，CN/?/AD且CN=12AD，

故CN//MQ且CN=MQ．

∴四邊形CNQM為平行四邊形．

∴CM//NQ，又CM?平面PAN，NQ?平面PAN，∴CM/?/平面PAN．

(2)因為PD⊥平面ABCD，又∠DAB=60°，底面ABCD為菱形，

所以△ABD為正三角形，

取AB中點E，連接DE，

則DE⊥AB，也即DE⊥DC，

所以DE，DC，DP兩兩互相垂直，

以D為坐標原點，分別以DE，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

設MD=a，