高考高中數(shù)學(xué)：二項(xiàng)式定理必考題型歸納總結(jié)

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高考高中數(shù)學(xué)：二項(xiàng)式定理必考題型歸納總結(jié)

二項(xiàng)式定理題型歸納

一、二項(xiàng)式定理

（p+bT=C；a"+C\aHlbl+-C；6"

數(shù)學(xué)本源：（a+6）'好比播成〃個(gè)盒子式相乘，意義：在〃個(gè)盒子中都取“取了。個(gè)b則

結(jié)果是通項(xiàng)是在〃個(gè)盒子中取了公〃取了”則結(jié)果是…6'

二、基本概念

】、二項(xiàng)展開式；右邊的多項(xiàng)式叫（a的二項(xiàng)展開式

2、二項(xiàng)式系數(shù)；展開五中各項(xiàng)的系數(shù)C：（r=0,1,2,…”）

3、項(xiàng)數(shù)：共（r+1項(xiàng)，是關(guān)于，與人的齊次多項(xiàng)式

4、通項(xiàng)：展開式中的第，+1項(xiàng)C；a"P'叫作二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)

用表示

三、注意關(guān)鍵點(diǎn)

I、項(xiàng)數(shù)：展開式中總有（"I項(xiàng)

2、順序：注意正確選擇。力其順序不能更改

四、常用結(jié)論

令a=l,b=x,（l+xT=C：+CA+-+C：x，

令a=l,b=r.（l=C：-Cl'+CT…

五、性質(zhì)

I、二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)稱性.首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等

2、二項(xiàng)式系數(shù)和：令a=b=l則二項(xiàng)式系數(shù)的和為U+C…+02"

3、奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和

4、系數(shù)最大項(xiàng)，求（。+加）'展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式中

各項(xiàng)系數(shù)分別為4"?，…設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有從而解出廠

來(lái)

應(yīng)用題型：

題型一、二項(xiàng)式定理逆用；

例；C：+C：6+…+C：6*T=

解(1+61=C：+C：6+C；62+…+C：6"與已知的有一些差距

,

.".C：+^6+.+C：6-=1fc6+..+C：6")=l^-l)

練：C：+3C：+9C：+…+3""。：=

解：設(shè)S.=C：+3C：+…+3-C：

則3s.=C：.3+C”+…+。：.3"=胃2

題型二、利用通項(xiàng)公式求工"的系數(shù)

例：在二項(xiàng)式仔呵的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45,求含有.v'的項(xiàng)的系數(shù)

解；由條件知C：1=45JIJC；=45,/.n2-n-90=0,則

〃=10,由0“=€?</)(%)=10-r2

4乙“=謝系數(shù)為

C;ox§,r=6,Cl/=210x210

練：求卜展開式中X訥系數(shù)

解：?！?2?廣[曰=4-目，7,18?3r=9.r=3

故工訥系數(shù)為。；（-]=-弓

題型三、利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)

例：求二項(xiàng)式（/+古）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？

解：“C；G廠O=%卜吟令20告=0,得「=8

所一Y?噎

練：1、求二項(xiàng)式（2x-（J的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？

解:如問(wèn)2》尸（-1心）=（-1七2嗯卜叱“3，L”-20

2,若（zx+gj的展開式中常數(shù)項(xiàng)為得，則實(shí)數(shù)”的值為（）

A,±2B,-C.-2D.±-

3,在卜G+：）的二項(xiàng)展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為（二項(xiàng)式系數(shù)之和為8,

若4+8=72,則二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為（）

A,6B.9C.）2D.18

解析:中，令”1.得力-4",由題意知8=2.，所以4"+2”=72

的一項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為=C；/）8

3'C；x苧，令子=0,得r=l,所以常數(shù)項(xiàng)為〃=3。；=9

練:若x2+-的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則〃=

解：7；=C：G），［-C>2-12,令2”-12=0.得〃=6

題型四、利用通項(xiàng)公式再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)

例：求二項(xiàng)式/-五）展開式中的有理項(xiàng)？

解：a=C：（x；）（-/）=（-ljGx.，令2^WZ,（OS'S9）

得r=?或9當(dāng)1=如土二二=4,7；=（-l）*C*4=-R4/

6

當(dāng)「=淵亭：=3,4=（-l》Ck=4

6

題型五、奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和一偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和

若仔色）

例:展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為-256求〃

設(shè)（"一啟）

解:展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為%小…4,令X

則有旬+。1+…+4.=0,⑴令X=l則有/-4］+…+(-1)*&=2',⑵

',

(1)-(2)^92(a)+O,+???)=-2":.at+ai+ai+---=-2*

由題意得-2-'=-256=-28,.\n=9

練：1、（l-2x）1二項(xiàng)展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為（）

A.2"B.2-'C.（-"+3”D.（一"-3'

22

解：令x=1,則冊(cè)+《+…+CT”=（-1）",再令x=-1則％-q+…+（-1）*見=3"

2、已知正整數(shù)此7,若卜-目（1-》］的展開式中，不含x的項(xiàng)，則"的值為（）

A.7B.8C.9D.10

解：x的系數(shù)和為0,即。；=<7：，”=8

7

3、S（2-x）=a0+a|（l+x）+a2（l+xy+…+67（1+》『

（I）%+4+「+%=

(2)at+2a2+3a,+-??+I6a16=

解：(2-x)7=B-Q+x))'=%+%(1+*)+。2(1+#丫+…+的(1+》)'

令x=-lMo=3",％,=-1、再令x=0,則為+4+…+i|7=2"

二%+4+…+。［6=2"+1

77

(2)、［3-(l+x)J=o0+ol(l+x)+-+al7(l+xj

兩邊同時(shí)求導(dǎo)：?17(2?"6=《+2%(1+刀)+-+17《7(1+只6

1616

令x=0.得6+2a2+?-?+17an=-17x2/.at+2o2+--?+16ol6=-17x2-I7ap

=-1706-1)

同型訓(xùn)練：(x+21=4+1/+4/，+-?+%.一則(q+3%+…+9%)1-

(2O2+4at+,??+J的值為()

A.3,B.3"C.3"D.3'2

解析：選。，對(duì)（x+2T=q+qx+…兩邊同時(shí)求導(dǎo)

210

9（x+21=fl1+2a2x+3<ijX+???+9ax令x=I,得q+2a2+…+9a,=3

令工=-1得%-2%+,11+94=3’

所以（q+34+56+…+9。9y-（2%+4%+…+8aJ

102

■（o,+2a2+???+9即X"i-2a2+34…+9o,）=3x3=3”

題型六、最大系數(shù)項(xiàng)，最大項(xiàng)

例、已知（；+2x）,若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，

求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？

解：???（7：+C：=2C：,-21〃+98=0,.?.〃=7或14

當(dāng)〃=7時(shí)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是7；和7；一?.丁■的系數(shù)=[J'=y

確系數(shù)=C；（；）2，=70

當(dāng)〃=14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是7；,7；的系數(shù)=。;（；）7=3432

練：I、在（，+/>廣的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是多少？

解：二項(xiàng)式的幕指數(shù)是32〃,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即心，

—??I

2

練：2、在-七）的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大'則展開式中常數(shù)項(xiàng)是

至少

解：1+1=5,二〃=8,.?展開式中常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng)=C：（；）=7

例：寫出（a-3’的展開項(xiàng)中系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？

解：因?yàn)槎?xiàng)式的幕指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第4,5）的二項(xiàng)式系數(shù)相等且同時(shí)取

得最大值，從而有7；=-的系數(shù)最小，訥系數(shù)最大

例：若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79求（；+2x）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？

解：由C：+C：+C：=79.解出〃=12,假設(shè)?“項(xiàng)最大，V（同期…

(4.1n4

］品4,2C；；W“化簡(jiǎn)得至IJ9.4srS10.4,又0srS12r=10

14.I-4.2

展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為％=（；）0；；42/°=16896yo

練（1+2工）”的展開式中系數(shù)最大項(xiàng)是多少?

解：假設(shè)乙項(xiàng)最大,???，“=Go2”

:沈邕:解得1HZ）化簡(jiǎn)得物』3

.?，=7展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為7；=C,；27X7=15360/

題型七、含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)

例：求當(dāng)仁+3x+2）的展開式中工的一次項(xiàng)的系數(shù)

解法一：G+3*+2）=卜+2%3x],7；“=C；G+2廠（3x）當(dāng)且僅當(dāng)r=1

7；”的展開項(xiàng)中才有工的一次項(xiàng)，此時(shí)乙尸4=CG+2）3x所以x得一次項(xiàng)為

它的系數(shù)為UU2'?=240

解法二、(r2+3x+2)=(x+iy(x+2y=^x5+C；x4+-+CJ)

+C*2+…+C；2')J5(展開式中含x的項(xiàng)C；x或2,+C；x2'=240x

故展開式中x的系數(shù)為240

練：求式子1眄I的常數(shù)項(xiàng)?

解:（木豺忸木）設(shè)第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則

2=禺（-1用O=（-lTC：|x|j,得6-2r=O,r=3,.Z=-2O

題型八、兩個(gè)二項(xiàng)式相乘

例：求（l+ZxYQ-x）4展開式中.一的系數(shù)

解：：（1+2x》（1-X）4展開式的通項(xiàng)公式是C：?（2才=C；?2-k

（17丁的展開項(xiàng)的通項(xiàng)是C：（-x）r=C：（-1TX”其中川=0,1,2,3,〃=0,1,234

令力+〃=2,貝lj/w=0且”=2,m=I,且〃=1,/w=2且〃-0

因此（1+2*）'（1-短的展開式中X的系數(shù)等于GTcX-iy+cgGU）

+C；-20Cj（-lJ=-6

練：求展開式中的常數(shù)項(xiàng)

■?4?-3?

解:問(wèn)J展開項(xiàng)的通項(xiàng)為c；xy。，=c[c>12其中〃j=0.1.2.…6

”=0.1,2,…10,當(dāng)且僅空4,”=3〃即1"°或［'〃"’或［"'"6時(shí)展開式中的常數(shù)項(xiàng)

n=0n=4n=8

C：小+C：C；+C：G：=4246

練：已知《+x+/1+$?）的展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)〃wN?且2s〃s8,則〃=_

解：卜+｝）展開式的通項(xiàng)為C：xix"=C：xi'通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得

C>>*42,展開式中不含常數(shù)項(xiàng)2sAs8...〃W4/?且”=4r+1

〃w4r+2即〃*2,346,7.8n=5

題型九、奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和

例：在G-&T*的二項(xiàng)展開式中，含、的奇次幕的項(xiàng)之和為s,當(dāng)：=&時(shí)s=_

2006

解：設(shè)（一播）=°0+4]|+…+a200ftx…（I）

（x-Vl）""+…+限、2006…（2）

（1）-（2海2猷+%/+???+限產(chǎn)）=（r-&廣-&+⑸""

.dVMS⑸咱叵五廣一⑷尤門=-2由

題型十、賦值法

例：設(shè)二項(xiàng)式（3爪+」〕的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為〃所有二項(xiàng)式系效的和為S若

\XJ

p+s=272,則”等于多少

解:若（3火+1）=%+qx+…+a.x”有〃=即+4+…+q1f

S.Y+C+…+C：=2"令x=l,得p=4",*+s=272

即4"+2"=272=＞&-+17上"-16卜0解得〃=4

練：若（五-亡）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少？

解：令x=l,貝（爪-9）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2"=64所以〃=6

則展開式的常數(shù)項(xiàng)為=-540

例：若（l-2x嚴(yán)=%+%-…+3亦叫段火則5+%+-+券的值為

解:令尸今可得4+＞曲…+第=0

吟+雜…+舞…。再令＞0可得冊(cè)=1因而尹?+籌=7

練：若（*-2丫=%x'+???+%/+&則q+%+/+4+%=___

解：ax==一32,令x=1得詢+q+…+%=-1

q+%+…+%=31

題型十一、整除性

例：證明3”.2—8〃一9。€可.施被64整除

證：32_8〃_9=9川_即_9=(8+］尸_8〃_9

Y.區(qū)“+C：.8,+…+C：.8+C：；-8〃-9

"C。8"“+.??+C：；；8'由于各項(xiàng)均能被M整除

/.-8〃-9b€V