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2024屆華中師大新高三下學(xué)期網(wǎng)絡(luò)教學(xué)訓(xùn)練題(二)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)),若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的最大值為()A. B. C. D.2.已知菱形的邊長(zhǎng)為2,,則()A.4 B.6 C. D.3.已知,,,則()A. B.C. D.4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是,則()A.2 B.3 C.-2 D.-36.已知集合,,則為()A. B. C. D.7.設(shè),,則()A. B.C. D.8.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo),的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.10.若函數(shù)函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.11.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,則()A. B. C.1 D.212.中國(guó)的國(guó)旗和國(guó)徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)是定義在上的函數(shù),且,對(duì)任意,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為,且互不相等,則稱(chēng)為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù),記為.當(dāng)_________時(shí),為的幾何平均數(shù).(只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)14.已知函數(shù),若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.15.記復(fù)數(shù)z=a+bi(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為,已知z=2+i,則_____.16.在矩形中,,為的中點(diǎn),將和分別沿,翻折,使點(diǎn)與重合于點(diǎn).若,則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)十八大以來(lái),黨中央提出要在2020年實(shí)現(xiàn)全面脫貧,為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),國(guó)家對(duì)“新農(nóng)合”(新型農(nóng)村合作醫(yī)療)推出了新政,各級(jí)財(cái)政提高了對(duì)“新農(nóng)合”的補(bǔ)助標(biāo)準(zhǔn).提高了各項(xiàng)報(bào)銷(xiāo)的比例,其中門(mén)診報(bào)銷(xiāo)比例如下:表1:新農(nóng)合門(mén)診報(bào)銷(xiāo)比例醫(yī)院類(lèi)別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院門(mén)診報(bào)銷(xiāo)比例60%40%30%20%根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),李村一個(gè)結(jié)算年度門(mén)診就診人次情況如下:表2:李村一個(gè)結(jié)算年度門(mén)診就診情況統(tǒng)計(jì)表醫(yī)院類(lèi)別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)各門(mén)診就診人次占李村總就診人次的比例70%10%15%5%如果一個(gè)結(jié)算年度每人次到村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院門(mén)診平均費(fèi)用分別為50元、100元、200元、500元.若李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門(mén)診就診人次為2000人次.(Ⅰ)李村在這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中,60歲以上的人次占了80%,從去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中任選2人次,恰好2人次都是60歲以上人次的概率是多少?(Ⅱ)如果將李村這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)門(mén)診就診人次占全村總就診人次的比例視為概率,求李村這個(gè)結(jié)算年度每人次用于門(mén)診實(shí)付費(fèi)用(報(bào)銷(xiāo)后個(gè)人應(yīng)承擔(dān)部分)的分布列與期望.18.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線交于兩點(diǎn)(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O).(1)若直線過(guò)點(diǎn),,求的方程;(2)當(dāng)時(shí),判斷直線是否過(guò)定點(diǎn),若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),說(shuō)明理由.19.(12分)在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,已知,,角為銳角,的面積為.(1)求角的大??;(2)求的值.20.(12分)設(shè)點(diǎn),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn),是直線上的兩點(diǎn),且,,求四邊形面積的最大值.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解關(guān)于x的不等式;(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意實(shí)數(shù),都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)在中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,并且.(1)已知_______________,計(jì)算的面積;請(qǐng)①,②,③這三個(gè)條件中任選兩個(gè),將問(wèn)題(1)補(bǔ)充完整,并作答.注意,只需選擇其中的一種情況作答即可,如果選擇多種情況作答,以第一種情況的解答計(jì)分.(2)求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,分別畫(huà)出與的圖象,結(jié)合圖象可得.【詳解】解:,∴,設(shè),∴,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,∴,當(dāng)時(shí),,當(dāng),,函數(shù)恒過(guò)點(diǎn),分別畫(huà)出與的圖象,如圖所示,,若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值,∴且,即,且∴,故實(shí)數(shù)m的最大值為,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問(wèn)題,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、B【解析】
根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系,利用余弦定理和數(shù)量積公式,即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示,菱形形的邊長(zhǎng)為2,,∴,∴,∴,且,∴,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題..3、C【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡(jiǎn)可得,即可求得結(jié)果.【詳解】,所以,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡(jiǎn)三角函數(shù),難度較易.4、A【解析】
觀察可知,這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成,:一個(gè)半圓柱體,底面圓的半徑為1,高為2;一個(gè)半球體,半徑為1,按公式計(jì)算可得體積?!驹斀狻吭O(shè)半圓柱體體積為,半球體體積為,由題得幾何體體積為,故選A?!军c(diǎn)睛】本題通過(guò)三視圖考察空間識(shí)圖的能力,屬于基礎(chǔ)題。5、B【解析】
根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上,求出b的值,即得解.【詳解】因?yàn)椋运?,又也在直線上,所以,解得所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、C【解析】
分別求解出集合的具體范圍,由集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】因?yàn)榧?,,所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運(yùn)算,考查基本運(yùn)算能力.7、D【解析】
由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解:因?yàn)?,,則,且,所以,,又,即,則,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式,屬基礎(chǔ)題.8、B【解析】
首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為,求出,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】,,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性,從而得到在相應(yīng)范圍上的符號(hào)和極值點(diǎn),據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知,在上為增函數(shù),且在上存在正數(shù),使得在上為增函數(shù),在為減函數(shù),故在有兩個(gè)不同的零點(diǎn),且在這兩個(gè)零點(diǎn)的附近,有變化,故排除A,B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立,故排除C.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識(shí)別,此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來(lái)考慮導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與零點(diǎn)情況,本題屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
轉(zhuǎn)化有1個(gè)零點(diǎn)為與的圖象有1個(gè)交點(diǎn),求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時(shí)的斜率,數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有1個(gè)交點(diǎn).記,則過(guò)原點(diǎn)作的切線,設(shè)切點(diǎn)為,則切線方程為,又切線過(guò)原點(diǎn),即,將,代入解得.所以切線斜率為,所以或.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.11、C【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足,所以,,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義,便可解決問(wèn)題.【詳解】解:.故選:A【點(diǎn)睛】本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由定義可知三點(diǎn)共線,即,通過(guò)整理可得,繼而可求出正確答案.【詳解】解:根據(jù)題意,由定義可知:三點(diǎn)共線.故可得:,即,整理得:,故可以選擇等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的斜率公式,考查了推理能力,考查了運(yùn)算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點(diǎn)共線.14、【解析】
函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),畫(huà)出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),畫(huà)出函數(shù)圖象如下圖所示:由圖象可知:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.15、3﹣4i【解析】
計(jì)算得到z2=(2+i)2=3+4i,再計(jì)算得到答案.【詳解】∵z=2+i,∴z2=(2+i)2=3+4i,則.故答案為:3﹣4i.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、.【解析】
計(jì)算外接圓的半徑,并假設(shè)外接球的半徑為R,可得球心在過(guò)外接圓圓心且垂直圓面的垂線上,然后根據(jù)面,即可得解.【詳解】由題意可知,,所以可得面,設(shè)外接圓的半徑為,由正弦定理可得,即,,設(shè)三棱錐外接球的半徑,因?yàn)橥饨忧虻那蛐臑檫^(guò)底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn),則,所以外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)的發(fā)分布列為:X2060140400P0.70.10.150.05期望.【解析】
(Ⅰ)由表2可得去各個(gè)門(mén)診的人次比例可得2000人中各個(gè)門(mén)診的人數(shù),即可知道去三甲醫(yī)院的總?cè)藬?shù),又有60歲所占的百分比可得60歲以上的人數(shù),進(jìn)而求出任選2人60歲以上的概率;(Ⅱ)由去各門(mén)診結(jié)算的平均費(fèi)用及表1所報(bào)的百分比可得隨機(jī)變量的可能取值,再由概率可得的分布列,進(jìn)而求出概率.【詳解】解:(Ⅰ)由表2可得李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門(mén)診就診人次為2000人次,分別去村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院人數(shù)為,,,,而三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中,60歲以上的人次占了,所以去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中,60歲以上的人數(shù)為:人,設(shè)從去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中任選2人次,恰好2人次都是60歲以上人次的事件記為,則;(Ⅱ)由題意可得隨機(jī)變量的可能取值為:,,,,,,,,所以的發(fā)分布列為:X2060140400P0.70.10.150.05所以可得期望.【點(diǎn)睛】本題主要考查互斥事件、隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望、組合計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)(2)直線過(guò)定點(diǎn)【解析】
設(shè).(1)由題意知,.設(shè)直線的方程為,由得,則,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,所以.由,得,解得.所以拋物線的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,由得,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,所以,解得.所以直線的方程為,所以時(shí),直線過(guò)定點(diǎn).19、(1);(2)7.【解析】分析:(1)由三角形面積公式和已知條件求得sinA的值,進(jìn)而求得A;(2)利用余弦定理公式和(1)中求得的A求得a.詳解:(1)∵,∴,∵為銳角,∴;(2)由余弦定理得:.點(diǎn)睛:本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù),屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.20、(1);(2)2.【解析】
(1)利用的最小值為1,可得,,即可求橢圓的方程;(2)將直線的方程代入橢圓的方程中,得到關(guān)于的一元二次方程,由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知,即可得到,的關(guān)系式,利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到,.當(dāng)時(shí),設(shè)直線的傾斜角為,則,即可得到四邊形面積的表達(dá)式,利用基本不等式的性質(zhì),結(jié)合當(dāng)時(shí),四邊形是矩形,即可得出的最大值.【詳解】(1)設(shè),則,,,,由題意得,,橢圓的方程為;
(2)將直線的方程代入橢圓的方程中,得.
由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知,,化簡(jiǎn)得:.
設(shè),,當(dāng)時(shí),設(shè)直線的傾斜角為,則,,,,∴當(dāng)時(shí),,,.當(dāng)時(shí),四邊形是矩形,.
所以四邊形面積的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識(shí)、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.21、(1)(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),利用含有一個(gè)絕對(duì)值不等式的解法,求得不等式的解集.(2)對(duì)分成和兩類(lèi),利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值,將表示為分段函數(shù)的形式,求得的最小值,進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),由得由得解:,得∴當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式的解集為(2)①當(dāng)時(shí),,所以在上是
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