第19講直角三角形（講義）（原卷版）

第19講直角三角形目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)與判定題型01利用直角三角形的性質(zhì)求解題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形題型03與直角三角形有關(guān)的面積計(jì)算考點(diǎn)二勾股定理題型01利用勾股定理求線段長題型02利用勾股定理求面積題型03已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離題型04判斷勾股數(shù)問題題型05利用勾股定理解決折疊問題題型06勾股定理與網(wǎng)格問題題型07勾股定理與無理數(shù)題型08以直角三角形三邊為邊長的圖形面積題型09利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）題型10利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系題型11勾股定理的證明方法題型12以弦圖為背景的計(jì)算題題型13利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題題型14利用勾股定理解決實(shí)際問題類型一求梯子滑落高度類型二求旗桿高度類型三大樹折斷前高度類型四解決水杯中的筷子問題類型五選址到兩地距離相等類型六最短路徑類型七航海問題題型15勾股定理與規(guī)律探究問題考點(diǎn)三勾股定理逆定理題型01圖形上與已知兩地構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)題型02在網(wǎng)格中判定直角三角形題型03利用勾股定理逆定理求解題型04利用勾股定理解決實(shí)際生活問題考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測直角三角形的性質(zhì)與判定理解直角三角形的概念.探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理:直角三角形的兩個銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形.該模塊內(nèi)容在中考中一直是較為重要的幾何考點(diǎn)，考察難度為中等偏上，?？伎键c(diǎn)為:直角三角形的性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理與實(shí)際問題等，特別是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重點(diǎn).出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進(jìn)行拓展延伸.結(jié)合以上考察形式，需要考生在復(fù)習(xí)這一模塊時，準(zhǔn)確掌握有關(guān)直角三角形的各種性質(zhì)與判定方法，以及特殊直角三角形?？嫉目疾旆较?勾股定理探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題.勾股定理逆定理考點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)與判定直角三角形的定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．直角三角形的性質(zhì)：1）直角三角形兩個銳角互余.2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.3）在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.直角三角形的判定：1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．3）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。面積公式：S=12ab=12題型01利用直角三角形的性質(zhì)求解【例1】（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，直線l1∥l2，AB⊥CD，∠2=68°

A．68° B．58° C．22° D．32°【變式11】（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若CP=4，則AD的長為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【變式12】（2023·山西大同·大同一中?？寄M預(yù)測）風(fēng)鈴，又稱鐵馬，古稱“鐸”，常見于中國傳統(tǒng)建筑屋檐下（如圖①），如圖②，是六角形風(fēng)鐸的平面示意圖，其底部可抽象為正六邊形ABCDEF，連接AC，CF，則∠ACF的度數(shù)為°．

【變式13】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD是△ABC的中線，E是CD的中點(diǎn)，連接AE，BE，若AE⊥BE，垂足為E，則AC的長為題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形【例2】（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）在下列條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:5:6，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式21】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．AB2+BC2=AC2 B【變式22】（2020·浙江紹興·模擬預(yù)測）由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（

）A．a(chǎn)=5,b=12,c=13 B．∠A:∠B:∠C=3:4:5C．∠A=∠B-∠C D．a(chǎn)=1,b=2,c=【變式23】（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7題型03與直角三角形有關(guān)的面積計(jì)算【例3】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，點(diǎn)A，B在x軸上，且PA⊥PB，垂足為P，PA交y軸于點(diǎn)C，AO=BO=BP，△ABP的面積是2．則k的值是（

A．1 B．32 C．3 D．【變式31】（2023·河北邢臺·邢臺三中?？家荒＃┤鐖D，將兩個全等的正方形ABCD與APQR重疊放置，若∠BAP=30°，AB=63，則圖中陰影部分的面積是（

A．48 B．54 C．81-183 D．【變式32】（2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模）如圖，在?ABCD中，AD⊥BD,∠A=30°,BD=3，則?ABCD的面積等于．

【變式33】（2023·河北唐山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若重疊部分的面積是12cm2，則AB的長是考點(diǎn)二勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2變式：a2=c2-b2，b勾股定理的證明方法（常見）：方法一（圖一）：4SΔ+方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4大正方形面積為S=(a+b)2=方法三（圖三）：S梯形=12圖一圖二圖三勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a，b，c為正整數(shù)時，稱常見的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.判斷勾股數(shù)的方法：1）確定是三個正整數(shù)a，b，c；2）確定最大的數(shù)c；3）計(jì)算較小的兩個數(shù)的平方a2+b1.1.勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形.2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進(jìn)行分類討論，以免漏解．3.應(yīng)用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關(guān)系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關(guān)系式是b2+c2=a2．4.每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍也是勾股數(shù).題型01利用勾股定理求線段長【例1】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考一模）如圖，AB切⊙O于C，點(diǎn)D從C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿CB方向運(yùn)動，運(yùn)動1秒時OD=2cm，運(yùn)動2秒時ODA．5cm B．6cm C．7cm【變式11】（2023·浙江·模擬預(yù)測）若直角三角形的三邊的長是連續(xù)的正整數(shù)，則這樣的直角三角形的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式12】（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在△ABC中，AB=2，AC=23，∠C=30°，則線段BCA．4 B．22 C．4或22 D．2題型02利用勾股定理求面積【例2】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）若一個正三角形和一個正六邊形的面積相等，則正三角形與正六邊形的邊長比為（

）A．6:1 B．1:6 C．3:1 D．【變式21】（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3），點(diǎn)M是⊙P上的一動點(diǎn)，那么△ABM面積的最大值為（）

A．64 B．48 C．32 D．24【變式22】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖，大等邊三角形中有n個全等的等邊三角形，若大等邊三角形的面積為S1，n個小等邊三角形的面積的和為S2，則S1與S

A．S1=n2S2 B．S【變式23】（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=BC=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，則△BDE的面積與△ABC的面積之比為（

A．1:8 B．1:4 C．1:2 D．2:5題型03已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離【例3】（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,3，則AC長為（

）A．13 B．7 C．5 D．4【變式31】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知拋物線y=14x2與一次函數(shù)y=2x+6交于A，A．202 B．203 C．403【變式32】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1,2,B-3,b，當(dāng)線段AB最短時，bA．2 B．3 C．4 D．0【變式33】（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是3,4，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A．5,4 B．5,3 C．8,3 D．8,4題型04判斷勾股數(shù)問題【例4】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1世紀(jì)．《周髀算經(jīng)》中記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，意為：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5，后人簡單地把這個事實(shí)說成“勾三股四弦五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若某個此類勾股數(shù)的勾為16，則其弦是．【變式41】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）當(dāng)直角三角形的三邊長都是正整數(shù)時，我們稱這三個數(shù)為勾股數(shù)，如：3，4，5都是正整數(shù)，且32+42=52(1)當(dāng)n是大于1的整數(shù)時，2n，n2-1，(2)當(dāng)n是大于1的奇數(shù)時，若n，n2-12，x是勾股數(shù)，x>n，x>n2-12，求【變式42】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）我們把滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)a，b，c稱為“(1)當(dāng)b=n+7，c=n+8時，請用含n的代數(shù)式表示a2，并直接寫出n取何值時，a(2)當(dāng)b=2n2+2n，c=b+1時，用含nabc9406061【變式43】（2019·山西呂梁·統(tǒng)考三模）閱讀下列材料，解決所提的問題：勾股定理a2+b2=c2本身就是一個關(guān)于a，b，c的方程，我們知道這個方程有無數(shù)組解，滿足該方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組．關(guān)于勾股數(shù)組的研究我國歷史上有非常輝煌的成就，根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》記載，在約公元前1100年，人們就已經(jīng)知道“勾廣三、股修四、徑隅五”（古人把較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，而斜邊則為弦），即知道了勾股數(shù)組（3，4，5）．類似地，還可以得到下列勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…等等，這些數(shù)組也叫做畢達(dá)哥拉斯勾股數(shù)組．上述勾股數(shù)組的規(guī)律，可以用下面表格直觀表示：觀察分析上述勾股數(shù)組，可以看出它們具有如下特點(diǎn)：特點(diǎn)1：最小的勾股數(shù)的平方等于另兩個勾股數(shù)的和；特點(diǎn)2：____________________________________．…學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）請你再寫出上述勾股數(shù)組的一個特點(diǎn)：________________；（2）如果n表示比1大的奇數(shù)，則上述勾股數(shù)組可以表示為（n，______，______）（3）請你證明（2）的結(jié)論．題型05利用勾股定理解決折疊問題【例5】（2022·河北保定·?？家荒＃┤鐖D已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，將Rt△ABC沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，tan∠ADC的值是（A．2+3 B．2+32 C．3【變式51】（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D為BC上一點(diǎn)，將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C恰好落在AB邊上，則折痕AD

A．5 B．34 C．35 D．【變式52】（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖，將直角邊AC=6cm，BC=8cm的直角△ABC紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD等于

題型06勾股定理與網(wǎng)格問題【例6】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，邊長為1的正方形網(wǎng)格圖中，點(diǎn)A，B都在格點(diǎn)上，若BC=2133，則ACA．13 B．4133 C．213【變式61】（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）

A．101313 B．91313 C．【變式62】（2021·陜西·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD的長為（

）A．1 B．2 C．32 D．題型07勾股定理與無理數(shù)【例7】（2022·福建·模擬預(yù)測）如圖，將含有30°角的直角三角板ABC放置在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是1，2，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧與點(diǎn)B右側(cè)的數(shù)軸交于D，點(diǎn)D所對應(yīng)的實(shí)數(shù)為a，則a的取值范圍是（

）A．2<a<3 B．3<a<4 C．4<a<5 D．5<a<6【變式71】（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為-1，以1為邊長的正方形的一個頂點(diǎn)在點(diǎn)A處，以點(diǎn)A為圓心，正方形對角線AB長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．2 B．2+1 C．2-1 D【變式72】（2022·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，在數(shù)軸上找出表示-1的點(diǎn)A、表示2的點(diǎn)B，過點(diǎn)B作直線l⊥OB，在l上取點(diǎn)C，使BC=2，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑作弧，弧與數(shù)軸交點(diǎn)為D，則點(diǎn)D表示的數(shù)是（）A．13 B．-13 C．-1-13 D【變式73】（2019·河北·模擬預(yù)測）為了比較5+1與10的大小，可以構(gòu)造如圖所示的圖形進(jìn)行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通過計(jì)算可得5+110．（填“＞”或“＜”或“=”）題型08以直角三角形三邊為邊長的圖形面積【例8】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，分別以三條邊BC，AC，AB為一邊，在△ABC的外部作正五邊形，三個五邊形的面積分別記作S1，SA．S1+S2=S3 B．【變式81】（2019·廣東佛山·佛山市南海石門實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃﹩栴}再現(xiàn)：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．1如圖1，是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式：2如圖2，在RtΔABC中，∠ACB=90°,BC=a,AC3如圖3，如果以RtΔABC的三邊長a,b,c為直徑向外作半圓，那么第4如圖4，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，三邊分別為5,12,13，分別以它的三邊為直【變式82】（2023·湖北孝感·校考模擬預(yù)測）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”，……，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積之和為．

題型09利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）【例9】（2022·廣東佛山·校考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE．(1)若AC=3，BC=4，求CD的長；(2)求證：BD(3)求證：CE=12AB【變式91】（2021·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，ΔABC中，∠BAC≥120°，AB=AC，點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BD，CD．（1）求證：四邊形ABDC是菱形；（2）延長CA到E，使得AB=BE．求證：BC2AC·CE=AC2；（3）在（2）小題條件下，可知E，B，D，C四點(diǎn)在同一個圓上，設(shè)其半徑為a(定值），若BC=kAB，問k取何值時，BE·CE的值最大？【變式92】（2021·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，我把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；②如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，點(diǎn)M、N分別是AC、AP中點(diǎn)連接MN．若MN＝23，則S△ABC＝

題型10利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系【例10】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上．

(1)判斷∠ACD與∠BCE間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)直接寫出線段AD、AE、AC間滿足的數(shù)量關(guān)系．【變式101】（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）在△ABC中，BD⊥AC，E為AB邊中點(diǎn)，連接CE，BD與CE相交于點(diǎn)F，過E作EM⊥EF，交BD于點(diǎn)M，連接CM．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：∠EMF=∠ACF；(3)判斷BM、【變式102】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中點(diǎn)，作∠POQ=90°．分別交AC，BC于點(diǎn)P，Q，連接(1)【嘗試探究】如圖1，若AC=BC，求證AP(2)【深入研究】如圖2，試探索（1）中的結(jié)論在一般情況下是否仍然成立；(3)【解決問題】如圖3，若AC=6，BC=8，點(diǎn)C，P，O，Q在同一個圓上，求△PCQ面積的最大值．題型11勾股定理的證明方法【例11】（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．勾股定理內(nèi)容為：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+

(1)如圖2、3、4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2(2)如圖5所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1，(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，則當(dāng)∠α變化時，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）①a2+b②b與c的關(guān)系為______，a與d的關(guān)系為______．【變式111】（2022·福建龍巖·?？寄M預(yù)測）閱讀材料，回答問題：(1)中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》（如圖1）有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五．”這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊長分別為3和4，那么斜邊的長為5．”上述記載表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，(2)對于這個數(shù)量關(guān)系，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)“趙爽弦圖”（如圖2，它是由八個全等的直角三角形圍成的一個正方形），利用面積法進(jìn)行了證明．參考趙爽的思路，將下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵S△ABC=12ab，S∴a+b整理得a2∴_____．(3)如圖3，把矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，如果AB=4，BC=8，求BE的長．【變式112】（2021·河北·模擬預(yù)測）勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，則當(dāng)∠α變化時，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）①a2+②b與c的關(guān)系為_______，a與d的關(guān)系為_______．題型12以弦圖為背景的計(jì)算題【例12】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）圖1、圖2的兩個正方形網(wǎng)格的面積分別為S1、S2，正方形ABCD、MNPQ滿足S正方形ABCD

A．S1=36 BC．S正方形MNPQ=【變式121】（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）國際數(shù)學(xué)大會是全世界數(shù)學(xué)家的大聚會．如圖是某次大會的會徽，選定的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，充分肯定了我國在數(shù)學(xué)方面的成就，也弘揚(yáng)了我國古代的數(shù)學(xué)文化．如圖，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cosθ的值等于

【變式122】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，一塊飛鏢游戲板由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成，若a=1，b=2，游戲板隨機(jī)投擲一枚飛鏢（飛鏢每次都落在游戲板上），擊中陰影部分的概率是．

【變式123】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）魏朝時期，劉徽利用下圖通過“以盈補(bǔ)虛，出入相補(bǔ)”的方法，即“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類”證明了勾股定理．如圖，四邊形ABCD、四邊形BFGH和四邊形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，則BF的長為．

【變式124】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的．現(xiàn)假設(shè)可在如圖2的弦圖區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，若正方形ABCD中，AF=4,BF=3，則這個點(diǎn)落在陰影部分的概率為．題型13利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題【例13】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）已知a，b均為正數(shù)，且a2+b2，a2+4A．32ab B．a(chǎn)b C．12【變式131】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考一模）一個門框的尺寸如圖所示，下列長×寬型號（單位：m）的長方形薄木板能從門框內(nèi)通過的是(

)A．2.6×2.5 B．2.7×2.4 C．2.8×2.3 D．3×2.2【變式132】（2021·安徽阜陽·阜陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎猘、b為兩正數(shù)，且a+b=12，則代數(shù)式4+a2+A．12 B．13 C．14 D．15【變式133】（2022·浙江紹興·統(tǒng)考一模）慶祝虎年，小明將一副七巧板拼成了如圖的“回頭虎”，則圖中AB=．【變式134】（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知圓柱形瓶子的底面半徑為12πcm．其側(cè)面貼合了一條寬為3cm（1）如圖1，若裝飾帶水平環(huán)繞，則瓶子側(cè)面被裝飾帶覆蓋的面積為cm2；（2）如圖2，若裝飾帶斜貼側(cè)面環(huán)繞，裝飾帶的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)高度差為4cm，則瓶子側(cè)面被裝飾帶覆蓋的面積為cm2．【變式135】（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）黔東南州某校楊老師組織數(shù)學(xué)興趣小組開展探究代數(shù)式x2+1+(4-x)2+4(x≥0)的最小值，王老師巧妙的運(yùn)用了“數(shù)形結(jié)合”的思想，具體做法是：如圖，C為線段BD上一動點(diǎn)，分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=1，DE（1）我們知道當(dāng)A、C、E在同一直線上時，AC+CE的值最小，于是可求得x2+1+(4-x)2+4（2）請你利用上述方法和結(jié)論，試構(gòu)圖求出代數(shù)式：x2（3）請你用構(gòu)圖的方法試求(x+4)2題型14利用勾股定理解決實(shí)際問題類型一求梯子滑落高度【例14】（2020·廣東珠?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，一根長5米的竹竿AB斜靠在豎直的墻上，這時AO為4米，若竹竿的頂端A沿墻下滑2米至C處，則竹竿底端B外移的距離BD（

）

A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不對【變式141】（2021·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，一個梯子AB斜靠在一面墻上，梯子底端為A，梯子的頂端B距地面的垂直距離為BC的長．（1）若梯子的長度是10m，梯子的頂端B距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端（2）設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，且a>b，請思考，梯子在滑動的過程中，是否一定存在頂端下滑的距離與底端向外滑動的距離相等的情況?若存在，請求出這個距離；若不存在，說明理由．類型二求旗桿高度【例15】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》勾股章有一個問題，其意思是：現(xiàn)有一豎立著的木柱，在木柱上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地而的部分尚有3尺，牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時繩索用盡，請問：繩索有多長？若設(shè)木柱長x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）A．82+xC．82+x【變式151】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，小明想要測量學(xué)校旗桿AB的高度，他發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，從而測得繩子比旗桿長a米，小明將這根繩子拉直，繩子的末端落在地面的點(diǎn)C處，點(diǎn)C距離旗桿底部b米（b>a），則旗桿AB的高度為米（用含a，b的代數(shù)式表示）．類型三大樹折斷前高度【例16】（2021·湖南婁底·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個“折竹抵地”問題：“今有竹高丈，末折抵地，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠(yuǎn)，問：原處還有多高的竹子？（）A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺類型四解決水杯中的筷子問題【例17】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考三模）小穎的媽媽用如圖的口杯喝花茶，由于吸管有點(diǎn)短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的內(nèi)徑6cm，口杯內(nèi)部高度9cm，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要（

）cm．A．9 B．10 C．11 D．12【變式171】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目，大致意思是：有一豎立著的木桿，在木桿的上端系有繩索，繩索從木桿上端順著木桿下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牽著繩索頭（繩索頭與地面接觸）退行，在離木桿底部8尺處時，繩索用盡．問繩索長為多少．繩索長為尺．類型liu選址到兩地距離相等【例18】（2020·湖北恩施·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為了解決A、B兩個村的村民飲水難，計(jì)劃在筆直的河邊l修建一個水泵站，為節(jié)約經(jīng)費(fèi)，該水泵站與兩村的水管線總長力求做到最短，已知A村到河邊的距離為1km，B村到河邊的距離為2km，AB=4km，則水管線最短要km(結(jié)果保留根號）．【變式181】（2020·河北·模擬預(yù)測）要在馬路邊設(shè)一個共享單車投放點(diǎn)，向A、B兩家公司提供服務(wù)，投放點(diǎn)應(yīng)設(shè)在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？小明根據(jù)實(shí)際情況，以馬路為y軸建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A點(diǎn)的坐標(biāo)為1,2，B點(diǎn)的坐標(biāo)為4,7，則從A、類型六最短路徑【例19】（2023·江蘇常州·?？家荒＃┤鐖D，是一個棱長為1的正方體紙盒，若一只螞蟻要沿著正方體紙盒的表面，從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B去覓食，則需要爬行的最短路程是（

）A．3 B．2 C．5 D．3【變式191】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用7個棱長為1的正方體搭成一個幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)M到點(diǎn)N的所有路徑中，最短路徑的長是（

）A．5 B．5+22 C．25【變式192】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖，C為線段BD上一動點(diǎn)，分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC，已知AB=4，DE=2，BD=8，設(shè)BC=x．線段AC+CE的長可表示為x2+16+8-x2+4，當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時，

A．11 B．13 C．111 D．193【變式193】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)類型七航海問題【例20】（2023·山東東營·統(tǒng)考一模）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為海里（結(jié)果保留根號）．【變式201】（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）如圖，一艘海警船在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°方向相距12海里的B處有一艘可疑貨船，該艘貨船以每小時10海里的速度向正東航行，海警船立即以每小時14海里的速度追趕，到C處相遇，求海警船用多長時間追上了貨船？題型15勾股定理與規(guī)律探究問題【例21】（2023·廣東東莞·校聯(lián)考二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S

A．122018 B．122020 C．【變式211】（2023·遼寧阜新·阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，OA1=OB1，∠A1OB1=120°，將△A1OB1繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為120°的等腰三角形．第一次變化后得到等腰三角形A2OB2，點(diǎn)A1(1,0)的對應(yīng)點(diǎn)為AA．-22021,-220213 B．-【變式212】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，已知OA1=1，以O(shè)A1為直角邊作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以O(shè)A2為直角邊作考點(diǎn)三勾股定理逆定理勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b21.1.勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2+b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2+b2<c2，時，以a，2.定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若