專題17展開與折疊重難點題型專訓（8大題型）

專題17展開與折疊重難點題型專訓（8大題型）【題型目錄】題型一幾何體展開圖的認識題型二由展開圖計算幾何體的表面積題型三由展開圖計算幾何體的體積題型四正方體幾種展開圖的識別題型五正方體相對兩面上的字題型六含圖案的正方體的展開圖題型七求展開圖上兩點折疊后的距離題型八補一個面使圖形圍成正方體知識點一：圖形的展開與折疊圓柱的側(cè)面展開圖是長方形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，正方體的表面展開圖有11種，展開時6個面有5條棱相連，故剪開了7條棱．相對面關(guān)系的快速判斷方法：(1)、如果幾個面是連成一串的，那么隔一個面便是相對面的關(guān)系．(2)、如果幾個面沒有連成一串，那么成“Z”字型的兩頭即為相對面的關(guān)系．常見立體圖形的平面展開圖立體圖形是由面包圍而成，沿著它的一些棱適當剪開就可以展開成平面圖形，一些常見立體圖形的平面展開圖如下：(1)關(guān)于正方體的展開圖，一個正方體展開成平面圖形，究竟有幾種可能的圖形呢？下面我們運用分類的數(shù)學思想，運用簡單的“枚舉法”，將正方體展開成平面圖形的可能情況一一列舉出來：①四個正方形連成一行的有六種情況，如圖所示①⑥；②三個正方體連成一行的有四種情況，如圖所示⑦一⑩；③兩個正方形連成一行有一種情況，如圖所示（11）綜上所述，正方體一共有11種展開圖．(2)關(guān)于長方體的展開圖，類似于正方體的展開圖，如下圖所示：(3)關(guān)于棱柱的展開圖．①三棱柱的展開圖：②四棱柱的展開圖：(4)關(guān)于圓柱的平面展開圖．(5)關(guān)于圓錐的平面展開圖．(6)關(guān)于棱錐的平面展開圖(7)球不能展開成平面圖形．【經(jīng)典例題一幾何體展開圖的認識】1．（2023上·全國·七年級課堂例題）如圖所示均為幾何體的展開圖，則從左到右的圖形對應(yīng)的幾何體分別為（

）A．圓錐、三棱錐、圓柱、正方體 B．圓錐、四棱錐、圓柱、正方體C．圓錐、四棱柱、圓柱、正方體 D．圓錐、三棱柱、圓柱、正方體【答案】D【分析】根據(jù)常見的幾何體的展開圖進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)幾何體的平面展開圖，則從左到右，其對應(yīng)的幾何體名稱分別為：圓錐、三棱柱、圓柱、正方體，故選：D．【點睛】本題考查常見幾何體的展開圖，熟記常見幾何體的平面展開圖的特征是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·云南昆明·九年級統(tǒng)考期末）要制作一個帶蓋的圓柱形禮品盒，下列設(shè)計的展開圖中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)四個選項的圖形折合，看是否能折疊成圓柱形即可獲得答案．【詳解】解：A、可折疊出圓錐體，故不符合題意；B、可折疊出無蓋圓柱體，故不符合題意；C、可折疊出圓柱體，故符合題意；D、可折疊出長方體，故不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了幾何體的展開圖的應(yīng)用，熟練掌握簡單幾何體的展開圖是解題關(guān)鍵．3．（2023·上?！ち昙壖倨谧鳂I(yè)）在棱長為4cm的正方體的6個面上，各挖去一個棱長為1cm的正方體，挖后的正方體的體積是，表面積增加了．【答案】5824【分析】用大正方體的體積減去6個小正方體的體積就是剩下的體積；每挖去一個小正方體就會增加四個小正方形的面，計算出增加的小正方形面的個數(shù)即可計算增加的面積．【詳解】解：（cm3）．則挖后的正方體的體積是，表面積增加了．【點睛】本題考查正方體的體積和表面積，明確每挖去一個小正方體就會增加四個小正方形的面是解題的關(guān)鍵．4．（2022上·陜西漢中·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是一個幾何體的展開圖，則這個幾何體有條棱．【答案】12【分析】由平面圖形的折疊機四棱柱的展開圖的特征作答．【詳解】由平面圖形的折疊機四棱柱的展開圖的特征可知，這個幾何體是四棱柱所以，四棱柱共有12條棱．故答案為：12．【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，解題的關(guān)鍵是熟記四棱柱的特征．5．（2023上·吉林長春·七年級吉林省第二實驗學校校考期末）一個無蓋的長方體盒子的展開圖如圖所示．(1)該盒子的底面的周長為______；（用含a的代數(shù)式表示）(2)若①，②，③，④四個面上分別標有整式，，，4，且該盒子的相對兩個面上的整式的和相等，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依據(jù)無蓋的長方體盒子的高為a，底面的寬為，即可得到底面的周長；（2）根據(jù)該盒子的相對兩個面上的整式的和相等，列方程求解即可．【詳解】（1）解：由題可知，無蓋的長方體高為a，底面的寬為，底面的長為，底面的周長為，故答案為：；（2）解：①，②，③，④四個面上分別標有整式，，，4，且該盒子的相對兩個面上的整式的和相等，，解得：．【點睛】本題主要考查了長方體的展開圖，一元一次方程的應(yīng)用，從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念【經(jīng)典例題二由展開圖計算幾何體的表面積】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市蕭紅中學?？奸_學考試）一個無蓋的長方體水桶，長厘米，寬厘米，高厘米，做這個水桶用料（

）平方厘米．A． B． C．【答案】C【分析】求水桶的表面積減去上底面的面積，由此根據(jù)長方體的表面積公式，再減去即可．【詳解】(平方厘米)，故選：．【點睛】此題考查了長方體的表面積，解題的關(guān)鍵是掌握表面積公式的應(yīng)用．2．（2023下·黑龍江大慶·六年級統(tǒng)考期末）一個圓柱的側(cè)面沿高展開后是一個邊長31.4厘米的正方形，這個圓柱的表面積是（

）平方厘米A．157 B．985.96 C．1142.96【答案】C【分析】一個圓柱的側(cè)面展開后是一個邊長為31.4厘米的正方形，說明這個的圓柱的底面周長和高都是31.4厘米，根據(jù)圓柱的表面積=側(cè)面積+底面積×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可．【詳解】解：（平方厘米）答：這個圓柱的表面積是1142.96平方厘米．故選：C．【點睛】此題主要考查的是圓柱表面積公式的靈活運用，理解掌握圓柱側(cè)面展開圖的特征是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·山東濟南·七年級?？茧A段練習）如圖是某幾何體從不同方向看所得圖形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求得該幾何體的側(cè)面積為（結(jié)果保留）．

【答案】【分析】先根據(jù)幾何體的三視圖可判斷其形狀，再根據(jù)告訴的幾何體的尺寸確定該幾何體的側(cè)面積即可．【詳解】解：這個幾何體是圓柱，從正面看的高為2，從上面看的圓的直徑為1，∴該圓柱的底面直徑為1，高為2，∴該幾何體的側(cè)面積為．故答案為：．【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體及幾何體的表面積問題，解題的關(guān)鍵是了解圓柱的側(cè)面積的計算方法．4．（2023上·黑龍江大慶·七年級校聯(lián)考開學考試）一個長方體長20厘米，寬15厘米，高10厘米，把它切成兩個完全相同的長方體，兩個長方體表面積之和最大是()平方厘米．【答案】1900【分析】由“一個長方體長20厘米，寬15厘米，高10厘米，把它切成兩個小長方體”可知，切成小長方體后增加了兩個面，要求這兩個長方體的表面積的和最大是多少，先求表面積最多增加多少，則增加的兩個面是原長方體的兩個最大面，然后加上原長方體的表面積即可．【詳解】解：（平方厘米）故答案為：1900．【點睛】本題考查長方體的表面積，解題的關(guān)鍵是明白，切成小長方體后增加了兩個面，要求表面積最多增加多少，則增加的兩個面是原長方體的兩個最大面．5．（2023上·河北保定·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，該三棱柱的高為，底面是一個每條邊長都為的三角形．

(1)這個三棱柱有________個面，有________條棱．(2)如圖2，這是該三棱柱的表面展開圖的一部分，請將它補充完整．(3)這個三棱柱的側(cè)面積是________，要將該三棱柱的表面沿某些棱剪開，展開成一個平面圖形，需剪開棱的棱長的和的最大值為________．【答案】(1)5；9(2)見解析(3)135；37【分析】本題主要考查的是認識立體圖形，能夠數(shù)出三棱柱沒有剪開的棱的條數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖中棱柱的特點即可求解；（2）結(jié)合立體圖形作出圖形即可；（3）將三棱柱的展開圖畫出來，然后結(jié)合圖形求解即可；【詳解】（1）解：這個三棱柱有5個面，有條棱，故答案為：5；9；（2）如圖所示（畫法不唯一）．

（3）側(cè)面積為：；

如圖所示的幾種展開圖：由圖形可知：沒有剪開的棱的條數(shù)是4條，則至少需要剪開的棱的條數(shù)是：(條)，故至少需要剪開的棱的條數(shù)是5條，需剪開棱的棱長的和的最大值為：，故答案為：135；37【經(jīng)典例題三由展開圖計算幾何體的體積】1．（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級?？茧A段練習）相同規(guī)格（長為，寬為）的長方形硬紙板，剪掉陰影部分后，將剩余的部分沿虛線折疊，制作成底面為正方形的長方體箱子，有如圖的甲、乙兩種方案，所得長方體體積分別記為：和，下列說法正確的是（）

A． B． C． D．無法判斷【答案】A【分析】由圖可知，設(shè)甲方案中長方體箱子的正方形底面邊長為，長方體的高為，則，求出，得值，然后求出體積即可，同理求出乙方案中長方體的體積，比較大小即可．【詳解】設(shè)甲方案中長方體箱子的正方形底面邊長為，長方體的高為，根據(jù)題意得：，解得：，∴；設(shè)乙方案中長方體箱子的正方形底面邊長為，長方體的高為，根據(jù)題意得：，解得：，∴，即有：．故選：．【點睛】此題考查了長方體的展開圖，體積，二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于求出長方體的高，底面正方形的邊長．2．（2022上·江蘇·七年級專題練習）如圖，把一個高6分米的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓柱切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36平方分米．原來這個圓柱的體積是（）立方分米．A．105π B．54π C．36π D．18π【答案】B【分析】根據(jù)近似長方體的表面積比圓柱體的表面積增加了36平方分米可求出圓柱體的半徑，再根據(jù)圓柱體的體積公式即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵近似長方體的表面積比圓柱體的表面積增加了36平方分米，∴圓柱體的半徑為：36÷2÷6＝3（分米），∴圓柱的體積為：π××6＝54π（立方分米），故選：B．【點睛】本題考查了圓柱體體積公式的推導及公式的應(yīng)用，理解推導過程，正確求得圓柱體的半徑是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022上·陜西西安·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示的長方形是某圓柱的側(cè)面展開圖，已知這個長方形相鄰的兩邊長分別為，，則圓柱體的體積為.

【答案】或/或【分析】以不同的邊為圓柱體的底面周長，計算出底面半徑，再根據(jù)圓柱體體積計算方法進行計算即可．【詳解】解：①以為底面周長，為高，此時圓柱體的底面半徑為，∴圓柱體的體積為，②以為圓柱體的底面周長，為高，此時圓柱體的底面半徑為，∴圓柱體的體積為，故答案為：或．【點睛】本題考查圓柱體的展開與折疊，理解圓柱體表面展開圖與圓柱體之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023上·全國·七年級專題練習）如圖所示，把底面周長厘米，高10厘米的圓柱切成若干等份，拼成一個近似的長方體，這個長方體的表面積是平方厘米，體積是立方厘米．【答案】【分析】由題意知：把圓柱切拼成一個近似的長方體后，底面積、高及體積都沒有變，只有表面積比原來的圓柱體多了兩個長方形的面積，而這兩個長方形的長跟圓柱的高相等，寬跟圓柱的底面半徑相等；所以，要求長方體的體積，可求得圓柱體的體積即可;求長方體的表面積可用圓柱的表面積加上多出來的兩個長方形的面積即可.【詳解】解：（1）底面半徑：（厘米），長方體的表面積＝圓柱的側(cè)面積+2個底面積+2個長方形的面積，，（平方厘米）；（2）長方體的體積：，（立方厘米）；答：這個長方體的表面積是平方厘米，體積是立方厘米．故答案為：，．【點睛】此題在求長方體的表面積時易出錯，要弄清切拼后表面積增加了，是增加了哪幾個面的面積．5．（2023上·四川成都·七年級?？计谥校┯幸粋€四棱柱(1)若它的底面邊長都是，所有側(cè)面的面積和是，那么它的側(cè)棱長是多少？(2)若它的所有棱都相等，底面為正方形，且所有棱長之和為，那么它的形狀是什么？它的體積是多少？(3)若它的底面是等腰梯形，上下底邊長分別為，，腰長為，高是，它的側(cè)棱長是周長的一半，求該四棱柱的體積．【答案】(1)(2)它的形狀是正方體，，理由見詳解(3)【分析】本題考查了等腰梯形，認識立體圖形，幾何體的表面積．（1）根據(jù)幾何體的側(cè)面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到幾何體的形狀，先求出棱長，然后根據(jù)體積公式計算即可；（3）根據(jù)梯形的面積公式，四棱柱的體積公式即可得到結(jié)論．熟練掌握立體幾何體的體積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：棱長，答：它的側(cè)棱長是；（2）解：它的形狀是正方體，體積是，理由如下：棱長，它的所有棱都相等，底面為正方形，這個四棱柱是正方體，它的體積，答：它的體積是；（3）解：它的底面是等腰梯形，上下底邊長分別為，，，底面周長，側(cè)棱長是周長的一半，側(cè)棱長，該四棱柱的體積．【經(jīng)典例題四正方體幾種展開圖的識別】1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）在圖中，實線所圍成的多邊形區(qū)域（陰影部分）是由四個全等正方形拼接而成的．現(xiàn)在若補上圖中標有號碼的其中一個全等小正方形，則可得到九個多邊形區(qū)域（每個區(qū)域恰好含有五個全等小正方形），試問這九個多邊形區(qū)域中，可以折成無蓋的正方體容器的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)正方體的展開圖有11種情況：1?4?1型共6種，1?3?2型共3種，2?2?2型一種，3?3型一種，由此判定找出答案即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：補上后能夠折成無蓋的正方體容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，共6個，故選：D．【點睛】此題考查正方體的展開圖，解決此題的關(guān)鍵是記住正方體展開圖的類型141型，231型，222型，33型．以及口訣“凹、田應(yīng)棄之”．2．（2022上·山東濟南·七年級濟南育英中學校考期末）如圖所示，圖中每個小正方形的大小都相同，有4個涂了陰影，另外8個都標了字母，若從標了字母的8個正方形中抽出一個，能和4個陰影部分一起折成一個無蓋的正方體盒子的共有（

）個．A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】C【分析】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題即可．【詳解】解：從標了字母的8個正方形中抽出一個，能和4個陰影部分一起折成一個無蓋的正方體盒子的字母有：A、B、C、D、E、G，共有6個，故選：C．【點睛】本題考查了展開圖折疊成幾何體的知識，解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．3．（2023上·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）將棱長為的正方體表面展開成平面圖形，不考慮粘貼部分，則平面展開圖的周長為．【答案】【分析】根據(jù)正方體的棱的條數(shù)以及展開后平面之間應(yīng)有棱連著，可得出正方體表面展開要剪開的棱的條數(shù)，剪開1條棱，增加兩個正方形邊長，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：正方體有個表面，條棱，要展成一個平面圖形必須條棱連接，要剪的棱的數(shù)量為：條，剪開1條棱，增加兩個正方形邊長，平面展開圖的周長為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方體的展開圖的性質(zhì)，根據(jù)展開圖的性質(zhì)得出一個平面圖須有五條棱連接是解題關(guān)鍵．4．（2023上·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在有序號的小正方形中選出一個，它與圖中五個有陰影的小正方形組合后，能構(gòu)成正方體的表面展開圖的是．【答案】①【分析】根據(jù)正方體的11種展開圖的模型即可求解．【詳解】解：∵選?、冖邰懿豢梢詷?gòu)成正方體的表面展開圖，選?、贂r，能構(gòu)成正方體的表面展開圖；答案為：①．【點睛】本題考查了正方體的表面展開圖，熟記正方體的表面展開圖的模型是解題的關(guān)鍵．正方體的表面展開圖用‘口訣’：一線不過四，田凹應(yīng)棄之，相間、端是對面，間二、拐角鄰面知．5．（2023上·廣東佛山·七年級校考階段練習）李明同學設(shè)計了某個產(chǎn)品的正方體包裝盒如圖所示，由于粗心少設(shè)計了其中一個頂蓋，請你把它補上，使其成為一個兩面均有蓋的正方體盒子．(1)共有_______種彌補方法；(2)任意畫出一種成功的設(shè)計圖（在圖中補充）；(3)在你幫忙設(shè)計成功的圖中，要把，8，10，，，12這些數(shù)字分別填入六個小正方形，使得折成的正方體相對面上的兩個數(shù)相加等0（直接在圖中填上）【答案】(1)4(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)正方體展開圖特點：中間4聯(lián)方，上下各一個，中間3聯(lián)方，上下各1，2，兩個靠一起，不能出“田”字，符合第一種情況，中間四個連在一起，上面一個，下面有四個位置，所以有四種彌補方法；（2）利用（1）的分析畫出圖形即可；（3）想象出折疊后的立方體，把數(shù)字填上即可，注意答案不唯一．【詳解】（1）解：根據(jù)正方體展開圖特點：中間4聯(lián)方，上下各一個，中間3聯(lián)方，上下各1，2，兩個靠一起，不能出“田”字，符合第一種情況，中間四個連在一起，上面一個，下面有四個位置，所以共有4種彌補方法，故答案為：4；（2）解：如圖所示：（3）解：如圖所示：【點睛】此題主要考查了立體圖形的展開圖，解題的關(guān)鍵是識記正方體展開圖的基本特征．【經(jīng)典例題五正方體相對兩面上的字】1．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【分析】根據(jù)正方體展開圖的特征，得出相對面上的數(shù)字，再結(jié)合正方體擺放方式，得出使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見的面數(shù)字之和要最大，即可解答．【詳解】解：由圖①可知：1的相對面是3，2的相對面是4，5的相對面是6，由圖2可知：要使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見的面數(shù)字之和要最大，上面的正方體有一個面被遮住，則這個面數(shù)字為6，能看見的面數(shù)字之和為：；左下的正方體有3個面被遮住，其中兩個為相對面，則這三個面數(shù)字分別為4，5，6，能看見的面數(shù)字之和為：；右下的正方體有2個面被遮住，這兩個面不是相對面，則這兩個面數(shù)字為4，6，能看見的面數(shù)字之和為：；∴能看得到的面上數(shù)字之和最小為：，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方體的相對面，掌握正方體展開圖中“相間一行是相對面”，是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·福建龍巖·七年級?？奸_學考試）有三塊相同數(shù)字的積木，擺放如下圖，相對兩個面的數(shù)字積最大是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由前兩個圖形可知，與6相鄰的四個面分別為1、2、4、5，因此與6對面的是3；再由第一和第三個圖形可得與1相鄰的四個面分別是3、4、5、6．據(jù)此分析出各相對面的數(shù)字，即可獲得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，可知1和2相對，4和5相對，3和6相對，所以，相對兩個面的數(shù)字積最大是．故選：A．【點睛】本題主要考查了正方體相對面上的數(shù)字的知識，理解題意，正確分析各相對面上的數(shù)字是解題關(guān)鍵．3．（2023上·江蘇南京·七年級南京市人民中學校考期中）如圖是一個正方體骰子的表面展開圖，若1點在上面，3點在左面，則點在正面．

【答案】2【分析】利用正方體及其表面展開圖的特點可知“3點”和“4點”相對，“5點”和“2點”相對，“6點”和“1點”相對，當1點在上面，3點在左面，可知5點在后面，繼而可得出2點在正面．【詳解】解：這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“3點”和面“4點”相對，面“5點”和面“2點”相對，面“6點”和面“1點”相對，如果1點在上面，3點在左面，2點在正面，可知5點在后面．故答案為：2．【點睛】本題考查了正方體的表面展開圖，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．4．（2023上·山東濟寧·七年級濟寧市第十五中學?？茧A段練習）正方體六個面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6，三個同學從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示，若記2的對面的數(shù)字為m，6的對面的數(shù)字為n，那么的值為．【答案】5【分析】由圖一和圖二可看出1的對面的數(shù)字是5；再由圖二和圖三可看出3的對面的數(shù)字是6，從而2的對面的數(shù)字是4．【詳解】解：從3個小立方體上的數(shù)可知，與寫有數(shù)字1的面相鄰的面上數(shù)字是，6，所以數(shù)字1面對數(shù)字5，同理，立方體面上數(shù)字3對6．故立方體面上數(shù)字2對4．則，那么．故答案為：5．【點睛】本題考查靈活運用正方體的相對面解答問題，立意新穎，是一道不錯的題．解題的關(guān)鍵是按照相鄰和所給圖形得到相對面的數(shù)字．5．（2023上·陜西榆林·七年級?？茧A段練習）一個正方體的六個面分別標有字母A、B、C、D、E、F，其從不同方向看到的情形如圖所示，根據(jù)圖示回答下列問題．(1)A的對面是______，B的對面是______，C的對面是______．(2)若A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為，C表示的數(shù)為，D表示的數(shù)為0，且正方體各對面上的兩個數(shù)都互為相反數(shù)，請求出F所表示的數(shù)．【答案】(1)A的對面是E，B的對面是D，C的對面是F；(2)F所表示的數(shù)【分析】（1）觀察三個正方體，A相鄰的字母有B，C，D，F(xiàn)，從而確定出A對面的字母，C相鄰的字母有A，B，D，E，從而確定與C對面的字母，最后確定出B的對面；（2）根據(jù)互為相反數(shù)的定義列出求出m，然后代入代數(shù)式求出C表示的數(shù)，進而可得F表示的數(shù)．【詳解】（1）解：由圖可知，A相鄰的字母有B，C，D，F(xiàn)，C相鄰的字母有A，B，D，E，∴A的對面是E，B的對面是D，C的對面是F；（2）解：由題意得：，解得：，∴C表示的數(shù)為，∵C的對面是F，∴F所表示的數(shù)；【點睛】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，互為相反數(shù)的定義，根據(jù)相鄰面的情況確定出相鄰的四個字母是確定對面上的字母的關(guān)鍵，也是解題的難點．【經(jīng)典例題六含圖案的正方體的展開圖】1．（2023下·云南昭通·七年級校聯(lián)考期末）在下列四個正方體中，只有一個是用左圖所示的紙片折疊而成的，那么這個正方體是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)正方體的側(cè)面展開圖特點一一排除即可．【詳解】∵、的正方體展開后，黑點所在的面分別在小三角形所在面的上面和右邊，與所給紙片不符，∴排除和；對于，小圓圈的右邊是空白，同樣與所給紙片不符合，也可排除；故答案為：．【點睛】此題考查了正方體側(cè)面展開圖，解題的關(guān)鍵是動手折疊一下，空間想象力的培養(yǎng)．2．（2022上·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）圖①是正方體的表面展開圖，該正方體從圖①所示的位置折疊成圖②的正方體，在圖①標注的頂點A、B、C、D中，與點P重合的頂點是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】B【分析】先找出下面，然后折疊，找出正方形位于正方體的哪個面上，點P所在正方形位于正方體的哪個面上，即可找出與點P重合的頂點．【詳解】如圖以正方形1為下面，將正方體從圖①所示的位置折疊成圖②的正方體時，正方形位于正方形的上面，點P所在正方形在前面，點B與點P重合．故選B【點睛】本題考查正方形的展開圖和空間想象能力，關(guān)鍵是找出或想象出折疊前后圖形的關(guān)系．3．（2022上·四川成都·七年級校考期中）有同樣大小的三個立方體骰子，每個骰子的展開圖如圖1所示，現(xiàn)在把三個股子放在桌子上（如圖2），凡是能看得到的點數(shù)之和最大是，最小是．【答案】5126【分析】觀察圖形可知，1和6相對、2和5相對，3和4相對；要使能看到的紙盒面上的數(shù)字之和最大，則把第一個正方體的數(shù)字1的面與第二個正方體的數(shù)字2的面相連，把數(shù)字2的面放在下面，則第一個圖形露出的數(shù)字分別是3、4、5、6；第二個正方體的數(shù)字1面與第三個正方體的數(shù)字1的面相連，數(shù)字3的面放在下面，則第二個正方體露在外面的數(shù)字是4、5、6，第三個正方體露在外面的數(shù)字就是3、4、5、6，據(jù)此可得能看得到的點數(shù)之和最大值；要使能看到的紙盒面上的數(shù)字之和最小，則把第一個正方體的數(shù)字6的面與第二個正方體的數(shù)字5的面相連，把數(shù)字5的面放在下面，則第一個正方體露在外面的數(shù)字分別是1、2、3、4；第二個正方體的數(shù)字6的面與第三個正方體數(shù)字6的面相連，數(shù)字4的面放在下面，則第二個正方體露在外面的數(shù)字是1、2、3；第三個正方體露在外面的數(shù)字是1、2、3、4，即可得能看得到的點數(shù)之和最小值．【詳解】解：根據(jù)題意，得：露在外面的數(shù)字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51，最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4=26，故答案為：51，26．故答案為：51，26．【點睛】本題主要考查學生的空間想象能力和推理能力，也可動手制作一個正方體，根據(jù)題意在各個面上標上數(shù)字，再確定對面上的數(shù)字，可以培養(yǎng)動手操作能力和空間想象能力．4．（2022上·山東煙臺·七年級?？计谥校┌研≌襟w的6個面分別涂上六種不同的顏色，并畫上朵數(shù)不等的花，各面上的顏色和花的朵數(shù)情況如表：現(xiàn)將上述大小相等、顏色花朵分布完全一樣的四個立方體拼成一個水平放置的長方體(如圖)，那么長方體下底面有朵花.【答案】17【分析】通過分析可知紅色面對綠色面，白色面對藍色面，黃色面對紫色面，所以長方體下底面依次是紫色面、黃色面、綠色面、白色面，然后將對應(yīng)的花的朵數(shù)相加即可.【詳解】長方體下底面依次是紫色面、黃色面、綠色面、白色面，然后將對應(yīng)的花的朵數(shù)相加即可.即故答案為17【點睛】本題主要結(jié)合正方體的展開圖考查邏輯推理能力，能夠找到以最后一個小正方體為突破口是解題的關(guān)鍵.5．（2022下·全國·九年級專題練習）如圖是一顆骰子的三種不同的放置方法．（1）根據(jù)圖中三種放置方法，推出“？”處的點數(shù)．（2）求這三個骰子下底面上點數(shù)和．【答案】（1）2；（2）11【分析】（1）由左側(cè)兩個圖形可得，與2相鄰的面為3，4，5，6，由第一個和第三個圖可得，與6相鄰的面為2，4，5，據(jù)此可得結(jié)論；（2）由第一個圖可知，4的對面是5，即可得到第二個圖和第三個圖的下底面都為5，進而得出這三個骰子下底面上點數(shù)和．【詳解】解：（1）由左側(cè)兩個圖形可得，與2相鄰的面為3，4，5，6，故2的對面是1，即第一個圖的下底面為1，又由第一個和第三個圖可得，與6相鄰的面為2，4，5，故第一個圖的左面是4，后面為3，故結(jié)合第一個和第三個圖可得“？”處的點數(shù)為2；（2）由第一個圖可知，4的對面是5，故第二個圖和第三個圖的下底面都為5，故這三個骰子下底面上點數(shù)和為5＋5＋1＝11．【點睛】本題主要考查學生的空間想象能力和推理能力，注意正方體的空間圖形并從相對面入手是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七求展開圖上兩點折疊后的距離】1．（2022上·重慶合川·七年級重慶市合川中學?？计谀﹫D①是邊長為1的六個正方形組成的圖形，經(jīng)過折疊能圍成如圖②的正方體，一只蝸牛從點沿該正方體的棱爬行到點的最短距離為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】將圖①折成正方體，然后判斷出、的在正方體中的位置，從而可得到之間的距離．【詳解】解：如圖所示，將圖①折成正方體后點、的在正方體中的位置，蝸牛是從點沿該正方體的棱爬行到點，故選：C．【點睛】本題考查了展開圖折成幾何體，判斷出、的在正方體中的位置是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·七年級單元測試）圖是邊長為的六個小正方形組成的圖形，它可以圍成圖的正方體，則在圖中，小蟲從點沿著正方體的棱長爬行到點的長度為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】將圖1折成正方體，然后判斷出A、B在正方體中的位置關(guān)系，從而可得到AB之間的距離．【詳解】解：將圖1折成正方體后點A和點B為同一條棱的兩個端點，得出AB=1，則小蟲從點A沿著正方體的棱長爬行到點B的長度為1．故選B．【點睛】本題主要考查的是展開圖折成幾何體，判斷出點A和點B在幾何體中的位置是解題的關(guān)鍵．3．（2022下·九年級課時練習）如圖，這是一個正方體的表面展開圖，若把它再折回成正方體后，有下列命題：①點H與點C重合；②點D與點M與點R重合；③點B與點Q重合；④點A與點S重合．其中正確命題的序號是．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）【答案】②④【分析】將這個展開圖還原之后可以找到每個點對應(yīng)的位置，這樣就可以進行判斷了沒注意判斷不要出錯.【詳解】把展開圖，折疊為正方體如圖，依據(jù)正方體展開圖的特征，②④是正確的，故答案為②④.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的展開圖，我們將這個展開圖還原之后可以找到每個點對應(yīng)的位置，這樣就可以進行判斷了沒注意判斷不要出錯.4．（2022上·陜西西安·七年級陜西師大附中?？计谥校┤鐖D①是邊長為2的六個小正方形組成的圖形，它可以圍成如圖②所示的正方體，則圖①中小正方形的頂點在圍成的正方體上的距離是．【答案】2【分析】將圖1折成正方體，然后判斷出在正方體中的位置關(guān)系，從而可得到之間的距離．【詳解】解：將圖1折成正方體后點A和點B為同一條棱的兩個端點，得出，故答案為：2．【點睛】本題主要考查的是展開圖折成幾何體，判斷出點A和點B在幾何體中的位置是解題的關(guān)鍵．5．（2022上·七年級單元測試）某同學的茶杯是圓柱形，如圖①所示，有一只螞蟻從A處沿側(cè)面爬行到母線CD的中點B處，如果螞蟻爬行的路線最短，請利用展開圖畫出這條最短路線．解：將圓柱的側(cè)面展開成一個長方形，如圖②所示，則A，B分別位于圖②中所示的位置，連接AB，即AB是這條最短路線．問題：一個正方體放在桌面上，如圖③，有一只螞蟻從A處沿表面爬行到側(cè)棱GF的中點M處，如果螞蟻爬行的路線最短，這樣的路線有幾條？請利用展開圖畫出最短路線．【答案】最短路線有2條，作圖見解析．【分析】要求正方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是把正方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答．【詳解】解：將正方體的面展開，作出線段AM，經(jīng)過測量比較可知，最短路線有2條，如圖所示：【點睛】此題主要考查了平面展開最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．【經(jīng)典例題八補一個面使圖形圍成正方體】1．（2023上·山東棗莊·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，有五個相同的小正方形，請你在圖中添加一個小正方形，使添加后的圖形能折疊成一個正方體，共有（

）種添法．

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)正方體的展開圖得出結(jié)論即可．【詳解】解：在圖中添加一個小正方形，使它能折成一個正方體的情況如下：

共有4種添法，故選：B【點睛】本題主要考查正方體的展開圖，根據(jù)正方體的展開圖得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·山東淄博·六年級統(tǒng)考期末）如圖所示，紙板上有10個小正方形（其中5個有陰影，5個無陰影），從圖中5個無陰影的小正方形中選出一個，與5個有陰影的小正方形一起折一個正方體的包裝盒，不同的選法有（）A．4種 B．3種 C．2種 D．1種【答案】C【分析】利用正方體的展開圖的特征解答即可．【詳解】解：如圖所示，不同的選法有2處，故選：C．【點睛】本題主要考查了正方體的展開圖．解題的關(guān)鍵是掌握四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．3．（2023上·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期末）小強有6個大小一樣的正方形，他已用5個正方形拼成了如圖所示的圖形（陰影部分），要想使拼接的圖形能夠折疊成一個封閉的正方體盒子，他的第6個正方形可放在的位置（填寫序號）．【答案】③【分析】根據(jù)正方體的表面展開圖分析即可求解．【詳解】解：如圖所示，故答案為：③．【點睛】本題考查了正方體的表面展開圖，理正方體的表面展開圖的模型是解題的關(guān)鍵．正方體的表面展開圖用‘口訣’：一線不過四，田凹應(yīng)棄之，相間、Z端是對面，間二、拐角鄰面知．4．（2022上·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示的A、B、C、D四個位置的某個正方形與實線部分的五個正方形組成的圖形，不能拼成正方體的是位置．【答案】A【分析】由平面圖形的折疊及正方體的表面展開圖的特點解題．【詳解】解：正方形A與實線部分的五個正方形組成的圖形出現(xiàn)重疊的面，所以不能圍成正方體．故答案為：A．【點睛】本題考查了展開圖折疊成幾何體，解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．注意：只要有“田”字格的展開圖都不是正方體的表面展開圖．5．（2022上·吉林長春·七年級?？计谀﹫D①，圖②，圖③均為5×5的正方形網(wǎng)格，在網(wǎng)格中選擇2個空白的正方形涂上陰影，使它們與圖中四個有陰影的正方形一起構(gòu)成一個正方體的表面展開圖，并且3種方法得到的展開圖不相同．【答案】畫圖見解析【分析】正方體的展開圖一共有種，其中型有種，型有種，型有種，型有種，根據(jù)以上展開圖的形態(tài)結(jié)合已知圖形可得答案．【詳解】解：如圖所示：【點睛】本題考查的是正方體的表面展開圖，掌握正方體的表面展開圖的特點是解題的關(guān)鍵．【培優(yōu)檢測】1．（2023上·山東濟寧·七年級濟寧市第十五中學?？茧A段練習）如圖所示的正方體的展開圖是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)答案可知，這幾個展開圖均為正方體展開圖，再根據(jù)正方體上的圖案位置判斷即可．【詳解】解：根據(jù)答案可知，這幾個展開圖均為正方體展開圖；∵正方體

這樣的兩個面的對角線沒有連接在一起，∴A錯誤；∵

不在

這兩個面中間，∴B、C錯誤；故選：D．【點睛】本題主要考查正方體的展開圖的應(yīng)用，具備想象力和觀察力是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·山東棗莊·七年級棗莊市第十五中學?？茧A段練習）小欣同學用紙（如圖）折成了個正方體的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只憑觀察，選出墨水在哪個盒子中（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】在驗證立方體的展開圖時，要細心觀察每一個標志的位置是否一致，然后進行判斷．【詳解】解：根據(jù)展開圖中各種符號的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．故選：B．【點睛】本題考查正方體的表面展開圖及空間想象能力．易錯易混點：學生對相關(guān)圖的位置想象不準確，從而錯選，解決這類問題時，不妨動手實際操作一下，即可解決問題．解題的關(guān)鍵是掌握基本圖形的展開圖．3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）在圖中，實線所圍成的多邊形區(qū)域（陰影部分）是由四個全等正方形拼接而成的．現(xiàn)在若補上圖中標有號碼的其中一個全等小正方形，則可得到九個多邊形區(qū)域（每個區(qū)域恰好含有五個全等小正方形），試問這九個多邊形區(qū)域中，可以折成無蓋的正方體容器的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)正方體的展開圖有11種情況：1?4?1型共6種，1?3?2型共3種，2?2?2型一種，3?3型一種，由此判定找出答案即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：補上后能夠折成無蓋的正方體容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，共6個，故選：D．【點睛】此題考查正方體的展開圖，解決此題的關(guān)鍵是記住正方體展開圖的類型141型，231型，222型，33型．以及口訣“凹、田應(yīng)棄之”．4．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【分析】根據(jù)正方體展開圖的特征，得出相對面上的數(shù)字，再結(jié)合正方體擺放方式，得出使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見的面數(shù)字之和要最大，即可解答．【詳解】解：由圖①可知：1的相對面是3，2的相對面是4，5的相對面是6，由圖2可知：要使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見的面數(shù)字之和要最大，上面的正方體有一個面被遮住，則這個面數(shù)字為6，能看見的面數(shù)字之和為：；左下的正方體有3個面被遮住，其中兩個為相對面，則這三個面數(shù)字分別為4，5，6，能看見的面數(shù)字之和為：；右下的正方體有2個面被遮住，這兩個面不是相對面，則這兩個面數(shù)字為4，6，能看見的面數(shù)字之和為：；∴能看得到的面上數(shù)字之和最小為：，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方體的相對面，掌握正方體展開圖中“相間一行是相對面”，是解題的關(guān)鍵．5．（2023下·黑龍江大慶·六年級統(tǒng)考期末）一個圓柱的側(cè)面沿高展開后是一個邊長31.4厘米的正方形，這個圓柱的表面積是（

）平方厘米A．157 B．985.96 C．1142.96【答案】C【分析】一個圓柱的側(cè)面展開后是一個邊長為31.4厘米的正方形，說明這個的圓柱的底面周長和高都是31.4厘米，根據(jù)圓柱的表面積=側(cè)面積+底面積×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可．【詳解】解：（平方厘米）答：這個圓柱的表面積是1142.96平方厘米．故選：C．【點睛】此題主要考查的是圓柱表面積公式的靈活運用，理解掌握圓柱側(cè)面展開圖的特征是解題的關(guān)鍵．6．（2023上·廣東佛山·七年級校聯(lián)考期中）如圖是一個正方體形狀紙盒的展開圖，將其折成正方體后，相對面上的兩數(shù)互為相反數(shù)，則．【答案】9【分析】由圖可知，m，n的對面分別是，，根據(jù)相對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得出m，m的值，再代入即可求解．【詳解】由圖可知，m，n的對面分別是，，∵相對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù)，∴m，n所表示的數(shù)分別是，．∴．故答案為：．【點睛】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，靈活運用正方體的相對面關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2023上·山東濟南·七年級?？茧A段練習）如圖是某幾何體從不同方向看所得圖形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求得該幾何體的側(cè)面積為（結(jié)果保留）．

【答案】【分析】先根據(jù)幾何體的三視圖可判斷其形狀，再根據(jù)告訴的幾何體的尺寸確定該幾何體的側(cè)面積即可．【詳解】解：這個幾何體是圓柱，從正面看的高為2，從上面看的圓的直徑為1，∴該圓柱的底面直徑為1，高為2，∴該幾何體的側(cè)面積為．故答案為：．【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體及幾何體的表面積問題，解題的關(guān)鍵是了解圓柱的側(cè)面積的計算方法．8．（2022上·陜西西安·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示的長方形是某圓柱的側(cè)面展開圖，已知這個長方形相鄰的兩邊長分別為，，則圓柱體的體積為.

【答案】或/或【分析】以不同的邊為圓柱體的底面周長，計算出底面半徑，再根據(jù)圓柱體體積計算方法進行計算即可．【詳解】解：①以為底面周長，為高，此時圓柱體的底面半徑為，∴圓柱體的體積為，②以為圓柱體的底面周長，為高，此時圓柱體的底面半徑為，∴圓柱體的體積為，故答案為：或．【點睛】本題考查圓柱體的展開與折疊，理解圓柱體表面展開圖與圓柱體之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．9．（2023上·山東濟寧·七年級濟寧市第十五中學?？茧A段練習）正方體六個面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6，三個同學從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示，若記2的對面的數(shù)字為m，6的對面的數(shù)字為n，那么的值為．【答案】5【分析】由圖一和圖二可看出1的對面的數(shù)字是5；再由圖二和圖三可看出3的對面的數(shù)字是6，從而2的對面的數(shù)字是4．【詳解】解：從3個小立方體上的數(shù)可知，與寫有數(shù)字1的面相鄰的面上數(shù)字是，6，所以數(shù)字1面對數(shù)字5，同理，立方體面上數(shù)字3對6．故立方體面上數(shù)字2對4．則，那么．故答案為：5．【點睛】本題考查靈活運用正方體的相對面解答問題，立意新穎，是一道不錯的題．解題的關(guān)鍵是按照相鄰和所給圖形得到相對面的數(shù)字．10．（2023上·重慶·七年級重慶市第十一中學校校聯(lián)考階段練習）兩個同樣大小的正方體形狀積木，每個正方體上相對的兩個面上寫的數(shù)之和都等于3，現(xiàn)將兩個正方體并列放置．看得見的五個面上的數(shù)字如圖所示，則看不見的七個面上的數(shù)的和等于．

【答案】19【分析】先根據(jù)“相對兩個面上寫的數(shù)之和都等于3”求出看不見的七個面上的數(shù)（或兩個相對面上的數(shù)之和），再相加即可得．【詳解】解：∵每個正方體上相對兩個面上寫的數(shù)之和都等于3，∴左邊正方體：下底面上的數(shù)是，后面上的數(shù)是，左右兩相對面上的數(shù)之和是3，右邊正方體：下底面上的數(shù)是，后面上的數(shù)是，左面上的數(shù)是，則看不見的七個面上所寫的數(shù)之和是，故答案為：19．【點睛】本題考查了正方體相對面上的數(shù)、有理數(shù)加減法的實際應(yīng)用，熟練掌握正方體的特征是解題關(guān)鍵．11．（2023上·陜西西安·七年級統(tǒng)考期中）正方體的表面展開圖如圖所示，若相對面上的兩個數(shù)互為倒數(shù)，求的值．【答案】【分析】觀察得到相對面，利用相對面互為倒數(shù)可求出x和y的值，再代入求值即可．本題考查了正方體的展開圖和倒數(shù)，解題關(guān)鍵是找到相對面．【詳解】解：將展開圖還原成正方體后，可得x與1為相對面，y與為相對面，z與3為相對面．因為相對面上的兩個數(shù)互為倒數(shù)，所以，，，所以，所以的值為．12．（2023上·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期中）李明同學學習了圖形的展開與折疊后，幫助爸爸設(shè)計了正方體水果包裝盒如圖所示，由于粗心少設(shè)計了其中一個面，請你把它補上，使其折疊后成為一個封閉的正方體包裝盒．

(1)共有__________種彌補方法；(2)任意畫出一種成功的設(shè)計圖（在圖中補充）；(3)在你幫忙設(shè)計成功的圖中，把，10，，8，，12這些數(shù)字分別填入六個小正方形中，使得折成的正方體相對面上的兩個數(shù)相加得0．（直接在圖中填上）【答案】(1)4(2)見解析（答案不唯一）(3)見解析（答案不唯一）【分析】本題考查了正方體的平面展開圖，熟練掌握正方體的平面展開圖的特點是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)正方體的平面展開圖的特點即可得；（2）根據(jù)正方體的平面展開圖的特點即可得；（3）將互為相反數(shù)的兩個數(shù)填入相對面上即可得．【詳解】（1）解：由正方體的平面展開圖的特點可知，在下面4個位置彌補即可．

所以共有4種彌補方法，故答案為：4．（2）解：畫出一種成功的設(shè)計圖如下所示：

（3）解：將互為相反數(shù)的兩個數(shù)填入相對面上即可，如圖所示：

13．（2023上·河北保定·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，該三棱柱的高為，底面是一個每條邊長都為的三角形．

(1)這個三棱柱有________個面，有________條棱．(2)如圖2，這是該三棱柱的表面展開圖的一部分，請將它補充完整．(3)這個三棱柱的側(cè)面積是_____