專題03多邊形及其內(nèi)角和-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重要考點(diǎn)題型(人教版)

專題03多邊形及其內(nèi)角和【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)1：多邊形的概念與分類多邊形概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形凸多邊形

概念：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果多邊形的其它邊都在這條直線的同側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形。

正多邊形

概念：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。（兩個(gè)條件缺一不可，除了三角形以外，因?yàn)槿羧切蔚娜齼?nèi)角相等，則必有三邊相等，反過來也成立）

例．（2022·河南周口·八年級(jí)期末）下列長(zhǎng)度的三條線段與長(zhǎng)度為4的線段首尾依次相連能組成四邊形的是（

）．A．1，1，2， B．1，1，1 C．1，2，2 D．1，1，6【答案】C【解析】【分析】將每個(gè)選項(xiàng)中的四條線段進(jìn)行比較，任意三條線段的和都需大于另一條線段的長(zhǎng)度，由此可組成四邊形，據(jù)此解答．【詳解】解：A、因?yàn)?+1+2=4，所以不能構(gòu)成四邊形，故該項(xiàng)不符合題意；B、因?yàn)?+1+1<4，所以不能構(gòu)成四邊形，故該項(xiàng)不符合題意；C、因?yàn)?+2+2>4，所以能構(gòu)成四邊形，故該項(xiàng)符合題意；D、因?yàn)?+1+4=6，所以不能構(gòu)成四邊形，故該項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的構(gòu)成特點(diǎn)：任意幾條邊的和大于另一條邊長(zhǎng)，正確理解多邊形的構(gòu)成特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）下列命題正確的是（

）A．各邊相等的多邊形是正多邊形B．各內(nèi)角分別相等的多邊形是正多邊形C．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的多邊形是正多邊形D．各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形【答案】D【解析】【分析】正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形，據(jù)此即可逐一判斷.【詳解】解：A、各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項(xiàng)正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.變式2．（2019·湖北·襄陽陽光學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）下列說法正確的是()A．一個(gè)多邊形外角的個(gè)數(shù)與邊數(shù)相同 B．一個(gè)多邊形外角的個(gè)數(shù)是邊數(shù)的二倍C．每個(gè)角都相等的多邊形是正多邊形 D．每條邊都相等的多邊形是正多邊形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)多邊形外角的定義及正多邊形的定義作答．【詳解】A．由于任何一個(gè)多邊形在每一個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，所以一個(gè)多邊形外角的個(gè)數(shù)是頂點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍，也是邊數(shù)的2倍，故A錯(cuò)誤；B．正確；C．如矩形，每個(gè)角都相等，但矩形不是正多邊形，故C錯(cuò)誤；D．如菱形，每條邊都相等，但菱形不是多邊形，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形外角的定義及正多邊形的定義．多邊形的邊與它相鄰的邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角．一個(gè)n邊形在每一個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，因此，n邊形有2n個(gè)外角．每個(gè)角都相等，每條邊也都相等的多邊形是正多邊形．變式3．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，下面四邊形的表示方法：①四邊形ABCD；②四邊形ACBD；③四邊形ABDC；④四邊形ADCB．其中正確的有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，所給四邊形的表示方法正確的有：①四邊形ABCD；④四邊形ADCB.故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查的是四邊形的定義，熟練掌握四邊形的表示方法是解題的關(guān)鍵.◎考點(diǎn)2：多邊形的對(duì)角線對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。

【對(duì)角線條數(shù)】一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)為（n－3）條，其所有的對(duì)角線條數(shù)為例．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）從一個(gè)多邊形的任何一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都只有3條對(duì)角線，則它的內(nèi)角和是（

）A．360° B．540° C．720° D．900°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)多邊形的對(duì)角線的定義可知，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n3）條對(duì)角線，得到邊數(shù)可得內(nèi)角和．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，依題意，得n3=3，解得n=6，故這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6，∴內(nèi)角和是（62）×180°=720°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線和內(nèi)角和公式，如果一個(gè)多邊形有n條邊，那么從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可引對(duì)角線（n3）條．變式1．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期末）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1260°，從它的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作對(duì)角線的條數(shù)是（

）A．4 B．6 C．7 D．9【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出這個(gè)多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線條數(shù)公式求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意得，∴，∴從這個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引93=6條對(duì)角線，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式，多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線條數(shù)，正確求出這個(gè)多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·重慶巫溪·八年級(jí)期末）一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為1080°，從這個(gè)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可畫對(duì)角線的條數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為1080°，求出n邊形的邊數(shù)，即可得出從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n3）條對(duì)角線．【詳解】解：∵n邊形的內(nèi)角和為1080°，∴（n2）×180°=1080°，解得n=8，∴83=5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的對(duì)角線，熟記多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式是正確解答本題的基礎(chǔ)，掌握從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n3）條對(duì)角線是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）下列說法正確的是（

）A．五條長(zhǎng)度相等的線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形是正五邊形B．正六邊形各內(nèi)角都相等，所以各內(nèi)角都相等的六邊形是正六邊形C．從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n2）條對(duì)角線D．n邊形共有條對(duì)角線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正多邊形的定義即可判斷A、B兩項(xiàng)，根據(jù)多邊形對(duì)角線的性質(zhì)和條數(shù)公式即可判斷C、D兩項(xiàng)，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：A、五條長(zhǎng)度相等的線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形不一定是正五邊形，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、正六邊形各內(nèi)角都相等，但各內(nèi)角都相等的六邊形不一定是正六邊形，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n－3）條對(duì)角線，本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、n邊形共有條對(duì)角線，故本選項(xiàng)說法正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的相關(guān)知識(shí)，屬于基本題型，熟練掌握多邊形的定義及其相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)3：多邊形的內(nèi)角和n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°

例．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．【詳解】解：（n?2）×180°＝720°，∴n?2＝4，∴n＝6．∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6．故選：C．【點(diǎn)睛】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由多邊形的內(nèi)角和是720°，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故選C.本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解答本題的關(guān)鍵.變式1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）湖南革命烈士紀(jì)念塔是湖南烈士公園的標(biāo)志性建筑，塔于1959年建成，以紀(jì)念近百年為人民解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命先烈，塔底平面為八邊形，這個(gè)八邊形的內(nèi)角和是（）A．720° B．900° C．1080° D．1440°【答案】C【解析】【詳解】解：（n﹣2）?180＝（8﹣2）×180°＝1080°．故這個(gè)八邊形的內(nèi)角和是1080°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊的內(nèi)角和公式，熟練掌握公式運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角的和為2000°，則這個(gè)內(nèi)角是（

）．A．160° B．140° C．200° D．20°【答案】A【解析】【分析】設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，沒加的內(nèi)角為x，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，沒加的內(nèi)角為x，根據(jù)題意得：，∵，∴，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得多邊形的內(nèi)角和是180°整數(shù)倍是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，小明從正八邊形（各邊相等，各內(nèi)角也相等）草地的一邊AB上一點(diǎn)S出發(fā)，步行一周回到原處在步行的過程中，小明轉(zhuǎn)過的角度的和是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正八邊形的內(nèi)角和求出每個(gè)內(nèi)角，再求出每次轉(zhuǎn)過的角度45°，一共轉(zhuǎn)8次，利用45°×8計(jì)算即可.【詳解】解：∵ABCDEFGH為正八邊形，∴每個(gè)內(nèi)角為（82）×180°÷8=135°，小明每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)過的角為180°135°=45°，步行一周回到原處，小明一共轉(zhuǎn)八次所有轉(zhuǎn)過的角度之和為45°×8=360°，故選:D．【點(diǎn)睛】本題考查正八邊形的內(nèi)角和、每個(gè)內(nèi)角、外角與外角和，掌握正多邊形相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．◎考點(diǎn)4：多邊形的外角和n邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)。例．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是60°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°計(jì)算即可．【詳解】解：360°÷60°＝6，即正多邊形的邊數(shù)是6．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和等于360°，正多邊形的每個(gè)外角都相等是解題的關(guān)鍵．變式1.（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，則這個(gè)多邊形是（

）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和任意多邊形外角和為定值360°列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意列方程得，，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)多邊形的內(nèi)角和與外角和，熟記多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，在六邊形ABCDEF中，若，則（

）A．200° B．40° C．160° D．220°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)多邊形外角和定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵正六邊形外角和為，，，．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形外角和，牢記多邊形的外角和等于是解題關(guān)鍵．變式3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將等邊三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的方式擺放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】B【解析】【分析】先算出三個(gè)圖形的內(nèi)角是多少，再根據(jù)三個(gè)平角的和即可求出∠3的值．【詳解】如圖所示：∵等邊三角形的內(nèi)角的度數(shù)是60°，正方形的內(nèi)角度數(shù)是90°，正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)是：（5﹣2）×180°＝108°，∴∠3+108°+∠BAC+∠1+60°+∠BCA+∠2+90°+∠ABC=540°（三個(gè)平角的為540°）∠3＝540°180°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝10°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和和外角和．找出圖中的△ABC利用內(nèi)角和是180°是解決本題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)5：平面鑲嵌例．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列正多邊形的組合中，能夠鋪滿地面不留縫隙的是（）.A．正六邊形和正五邊形 B．正八邊形和正三角形C．正五邊形和正八邊形 D．正六邊形和正三角形【答案】D【解析】【分析】正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和能否為360°．若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿．【詳解】解：A.正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°，正五邊形每個(gè)內(nèi)角是180°360°÷5=108°，120m+108n=360°，m取任何正整數(shù)時(shí)，n不能得正整數(shù)，故不能鋪滿；B.正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為：180°360°÷8=135°，正三角形的每個(gè)內(nèi)角60°．135m+60n=360°，m取任何正整數(shù)時(shí)，n不能得正整數(shù)，故不能鋪滿；C.正五邊形每個(gè)內(nèi)角是180°360°÷5=108°，正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為：180°360°÷8=135°，108m+135n=360°，m取任何正整數(shù)時(shí)，n不能得正整數(shù)，故不能鋪滿；D.正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是180°360°÷6=120°，正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360度，能鋪滿；故選：D.【點(diǎn)睛】幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．變式1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）生活中常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌．下列圖形中不能與正三角形鑲嵌整個(gè)平面的是（）A．正方形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正十二邊形【答案】B【解析】【分析】判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成周角，若能構(gòu)成360°，則說明能夠進(jìn)行平面鑲嵌，反之則不能．【詳解】A選項(xiàng)，2個(gè)正方形與3個(gè)正三角形能進(jìn)行平面鑲嵌，因?yàn)?×90°+3×60°＝360°，不符合題意；B選項(xiàng)，正五邊形不能與正三角形進(jìn)行平面鑲嵌，因?yàn)檎暹呅蔚膬?nèi)角和108°．108°的整數(shù)倍與60°的整數(shù)倍的和不等于360°，符合題意；C選項(xiàng)，2個(gè)正六邊形與2個(gè)三角形能進(jìn)行平面鑲嵌，因?yàn)?×120°+2×60°＝360°，不符合題意；D選項(xiàng)，2個(gè)正十二邊形與1個(gè)正三角形能進(jìn)行平面鑲嵌，因?yàn)?×150°+1×60°＝360°，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面鑲嵌，掌握平面鑲嵌的條件是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，我們學(xué)習(xí)過平面鑲嵌，若給出如圖所示的一些邊長(zhǎng)均為1的正三角形、正六邊形卡片，要求必須同時(shí)使用這兩種卡片