專題14四邊形-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題14四邊形多邊形、四邊形、平面向量及其線性運算是中考的重要考點，尤其是特殊的平行四邊形更是中考的難點，主要考查基礎(chǔ)概念，幾何推理與證明，綜合分析幾何問題.1.掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式，靈活運用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問題.2.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念,了解它們之間的關(guān)系.掌握它們的性質(zhì)和判別方法,并能運用這些知識進(jìn)行證明和計算.3.掌握三角形和梯形的中位線定理，并能靈活應(yīng)用.4.了解平面向量的概念，掌握平面向量的線性運算.一、多邊形內(nèi)角和定理、外角定理邊形的內(nèi)角和為(－2)·180°(≥3)．要點詮釋：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于；多邊形的外角和為360°．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).二、平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.性質(zhì)：1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對邊平行且相等；2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補，對角相等；3．對角線性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分；4．平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心.判定：1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行線的性質(zhì)1.平行線間的距離都相等2.等底等高的平行四邊形面積相等三、梯形定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形；有一個角是直角的梯形叫直角梯形；有兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形性質(zhì)：（1）兩底平行，兩腰相等；（2）同一底邊上的兩個角相等；（3）兩條對角線相等；（4）軸對稱圖形（底的中垂線就是它的對稱軸）．面積：等腰梯形判定：（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；（3）對角線相等的梯形是等腰梯形．解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：（1）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中．（2）“移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中．（3）“延長兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個三角形．（4）“等積變形”：連接梯形上底一端點和另一腰中點，并延長交下底的延長線于一點，構(gòu)成三角形．并且這個三角形面積與原來的梯形面積相等.綜上，解決梯形問題的基本思路：梯形問題三角形或平行四邊形問題，這種思路常通過平移或旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)．三角形、梯形的中位線聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.聯(lián)結(jié)梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.一、單選題1．一個多邊形的每一個外角都等于，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．6 D．4【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于，可以用除一個外角的度數(shù)，可以算出多邊形的邊數(shù)即可．【解析】解：，這個多邊形的邊數(shù)是6，故選：C．【點睛】本題考查多邊形的外角和，能夠熟練掌握根據(jù)多邊形的外角和與正多邊形一個外角的度數(shù)求出多邊形的邊數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．2．若一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和大，則該多邊形的邊數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形的外角和內(nèi)角和之間的關(guān)系可到關(guān)于的方程，解方程即可得．【解析】解：∵多邊形的外角和是，多邊形的內(nèi)角和比它的外角和大∴設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為由題意得：解得：故選：【點睛】本題考查了多邊形的外角和與內(nèi)角和，理清外角和與內(nèi)角和的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．小紅：我計算出一個多邊形的內(nèi)角和為；老師：不對呀，你可能少加了一個角則小紅少加的這個角的度數(shù)是（）A．1 B．1 C．1 D．1【答案】D【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，少加的角的度數(shù)為x，由多邊形內(nèi)角和定理可得等式：，由n為整數(shù)即可確定x的值．【解析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，少加的角的度數(shù)為x，由題意得：，，由于n為整數(shù)，x為正數(shù)且小于，，則，故選：D．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是設(shè)多邊形的邊數(shù)及少加的角的度數(shù)，由多邊形內(nèi)角和定理得到等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)確定少加的角．4．劉師傅給客戶加工一個平行四邊形的零件，他要檢查這個零件是否為平行四邊形，用下列方法不能檢查的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，即可得A，B，D可以判定四邊形是平行四邊形，不能通過一組對邊平行另一組對邊相等得到平行四邊形，也可以是等腰梯形；即可求得答案．【解析】A．，，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知本選項正確，但不符合題意；B．，，根據(jù)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，可知本選項正確，但不符合題意；C．，，可知四邊形可以是平行四邊形，也可以是等腰梯形；故本選項錯誤，符合題意；D．，，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知本選項正確，但不符合題意；故選：C．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定．此題比較簡單，注意熟記平行四邊形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，平分交于點F，平分交于點E，若，，則的長度為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，由角平分線可得，所以，所以，同理可得，則根據(jù)即可求解．【解析】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，．∴．∵平分，∴．∴．∴．同理可得．∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)學(xué)模型“角平分線+平行線得到等腰三角形”．6．下列命題：①等腰梯形的兩個底角相等；②兩個底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的對角線等；⑤對角線相等的梯形是等腰梯形，其中真命題的個數(shù)是（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)對①③進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰梯形的判定方法對②④進(jìn)行判斷．【解析】解：等腰梯形的兩個底角相等，所以①為真命題；兩個底角相等的梯形是等腰梯形，所以②為真命題；等腰梯形的對角線相等，所以③為真命題；對角線相等的梯形是等腰梯形，所以④為真命題．故選：D．【點睛】本題考查了命題：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．7．如圖，在等腰梯形中，ADBC，，，，則BC=（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【分析】過作交于，得出四邊形是平行四邊形，推出，，證出是等邊三角形，得到，即可求出答案．【解析】解：過作交于，，，四邊形是平行四邊形，，，∵，是等邊三角形，，．故選：C．【點睛】本題主要考查對等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，把等腰梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形是解此題的關(guān)鍵．8．如圖，將平行四邊形沿對角線折疊，使點落在點處，若，，則的度數(shù)為（

）．A．124° B．114° C．104° D．56°【答案】A【分析】根據(jù)折疊、平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，即可求出答案．【解析】解：由折疊得，，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，又∵，∴，在中，，故選：A．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，由圖形直觀得出各個角之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．9．如圖，在中，如果點是邊的中點，且，那么下列結(jié)論不正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與等腰梯形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，逐個判斷即可．【解析】解：在?ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∵AD∥BC，∠A＝∠AEC，∴AB＝CE，∴CE＝CD，故A正確；∵點E是邊AD的中點，∴AD＝BC＝2AE＝2DE，∵AD∥BC，∴△BFC∽△DFE，∴∴BF＝2DF，故B正確；∵AB＝CE，∴FC＝2EF，∴CE＝3EF，∴AB＝CE＝3EF，故C不正確；∵，△BFC∽△DFE，∴S△BFC＝4S△DEF，∴S△DFC＝2S△DEF，∴S△BCD＝S△BFC+S△DFC＝6S△DEF，∴S四邊形ABFE＝5S△DEF，故D正確．故選：C．【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．某花木場有一塊如等腰梯形的空地（如圖），各邊的中點分別是、、、，用籬笆圍成的四邊形場地的周長為40cm，則對角線的長度為（

）A．20cm B．15cm C．10cm D．5cm【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)可推出四邊形為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得其邊長，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求得梯形對角線的長度．【解析】解：連接，四邊形是等腰梯形，，各邊的中點分別是、、、，，四邊形是菱形，四邊形場地的周長為，，。故選：A．【點睛】本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)及菱形的判定，證明四邊形為菱形是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．如果某個等腰梯形的一個底角為60°，它的上、下底長分別為3和5，那么這個梯形的腰長是_____．【答案】2【分析】過點A作AE⊥BC于點E，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得出AE的長度，在Rt△ABE中可求出腰長AB的長度．【解析】解：如圖，過點A作AE⊥BC于點E，由題意得，AD=3，BC=5，∴BE=（BC—AD）=1，∵∠B=60°，∴AB=2BE=2，故這個梯形的腰長是2，故答案為：2．【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AB的長度．12．如圖，在梯形中，，，周長為，，則該梯形的周長等于______．【答案】26【分析】要求梯形的周長，就要利用周長公式，然后根據(jù)周長為，求出梯形的各邊長即可．【解析】解：梯形的周長，∵，，，為平行四邊形，，周長為，，梯形的周長．故答案為：26．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)；解題時要熟練掌握梯形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)．13．在等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點，已知對角線AC＝10，則四邊形EFGH的周長為________．【答案】20【分析】連接BD，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到BD=AC，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解析】解：連接BD，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴BD=AC=10，∵E、F、G、H分別為各邊中點，∴EF=AC=5，GH=AC=5，EH=BD=5，GF=BD=5，∴四邊形EFGH的周長=5+5+5+5=20，故答案為：20．【點睛】本題考查的是中點四邊形，掌握等腰梯形的性質(zhì)、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．14．如圖，平行四邊形中，，，垂足分別是、，，，，則平行四邊形的周長為______．【答案】20【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為，求得；根據(jù)平行四邊形的對邊平行，可得與互補，即可求得，在直角三角形中求得的長，同理求得的長，繼而求得平行四邊形的周長；【解析】解：∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴的周長為＝，故答案：20．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行且相等．還考查了直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半，正確求得∠B和∠DAF的度數(shù)是關(guān)鍵．15．如圖，梯形中，，，平分，若，，則的長為________．【答案】【分析】過點作于點，過點作于點，則四邊形是矩形．證明，推出，利用勾股定理求出，，可得結(jié)論．【解析】解：如圖，過點作于點，過點作于點，則四邊形是矩形．梯形中，，，，，平分，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．16．如圖，中，連接，E是上一點，連接并延長交于F，交延長線于點G，若，則________．【答案】【分析】過點E作，可得，從而得到，再由平行四邊形的性質(zhì)可得，，從而得到，進(jìn)而得到，再由，可得，從而得到，即可求解．【解析】解：如圖，過點E作，∴，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，解得：或（舍去），故答案為：【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在梯形中，，與相交于點，如果，那么：______．【答案】：##【分析】首先根據(jù)，可得：：；然后根據(jù)∽，可得：：：：，進(jìn)而可得：：，：：，：：，設(shè)，分別表達(dá)和進(jìn)而可得結(jié)論．【解析】解：在梯形中，，，：：；，∽，：：：：，：：，：：，：：，設(shè)，則，，，：：：．故答案為：：．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，以及梯形的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．18．如圖，點F在正五邊形的內(nèi)部，若為等邊三角形，則的度數(shù)是______．【答案】##66度【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，由正五邊形的性質(zhì)得到，，等量代換得到，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解析】解：是等邊三角形，，，在正五邊形中，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記正多邊形的內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵．19．如圖，對角線與交于點，且，，在延長線上取一點，使，連接交于，則的長為______．【答案】【分析】過點作，先由和平行四邊形的性質(zhì)說明是的中位線并求出，再判斷，最后由相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【解析】解：過點作，交于點，四邊形是平行四邊形，是對角線與的交點，，點是的中點．，是的中位線．，．．．，．．．故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．20．如圖，梯形ABCD中，，，將線段CB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點C落在CD延長線上的點E處．聯(lián)結(jié)AE、BE，設(shè)BE與邊AD交于點F，如果，且，那么梯形ABCD的中位線等于______．【答案】8【分析】由根據(jù)三角形的面積公式，由得，進(jìn)而求得DE=2，從而求得底邊EC的長，于是可求得CD的長，進(jìn)而求得梯形ABCD的中位線．【解析】解：過點B作BM⊥CE于點M，如下圖，∵，，∴∠ADC=180°∠A=180°90°=90°，∵，∴，∵，∴DE=2，∵BM⊥CE，∴∠BMD=90°，∴四邊形ABMD是矩形，∴DM=AB=4，∴EM=2+4=6，∵將線段CB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點C落在CD延長線上的點E處，∴BE=BC，∵BM⊥CE，∴EC=2EM=12，∴CD=122=10，∴梯形ABCD的中位線為：，故答案為：8．【點睛】本題考查了梯形的中位線，平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．四、特殊平行四邊形矩形的判定平行四邊形：（1）有一個角為直角（2）對角線相等.一般四邊形中，三個角為直角.菱形的判定：在平行四邊形中，（1）有一組鄰邊相等。（2）對角線互相垂直.一般四邊形中，四條邊相等.正方形的判定：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)：相關(guān)元素平行四邊形矩形菱形正方形邊對邊平行且相等對邊平行且相等①對邊平行②四條邊都相等①對邊平行②四條邊都相等角對角相等四個角都是直角對角相等四個角都是直角對角線對角線互相平分①對角線互相平分②對角線相等①對角線互相平分②對角線互相垂直③每一條對角線平分一組對角①對角線互相平分②對角線互相垂直．③每一條對角線平分一組對角④對角線相等對稱性中心對稱既是中心對稱又是軸對稱既是中心對稱又是軸對稱既是中心對稱又是軸對稱一、單選題1．下列命題中，正確的命題是（）A．一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．對角線相等的平行四邊形是矩形C．對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形D．對角線垂直且平分的四邊形是正方形【答案】B【分析】利用平行四邊形的判定方法、矩形、菱形及正方形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．【解析】解：A、一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故原命題錯誤，不符合題意；B、對角線相等的平行四邊形是矩形，正確，符合題意；C、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故原命題錯誤，不符合題意；D、對角線垂直、相等且平分的四邊形是正方形，故原命題錯誤，不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形的判定方法、矩形、菱形及正方形的判定方法，難度不大．2．在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB＝5，AC＝6，過點D作AC的平行線交BC的延長線于點E，則△BDE的面積為（

）A．22 B．24 C．48 D．44【答案】B【分析】先判斷出四邊形ACED是平行四邊形，從而得出DE的長度，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出BD的長度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，計算出面積即可．【解析】解：菱形ABCD，在Rt△BCO中，即可得BD=8，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AC=DE=6，

BE=BC+CE=10，∴△BDE是直角三角形，

∴S△BDE=DE?BD=24．故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理及三角形的面積，平行四邊形的判定與性質(zhì)，求出BD的長度，判斷△BDE是直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，正方形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于點O，點E在BD上，且BE=AD，則∠ACE的度數(shù)為（）A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°【答案】A【分析】利用正方形的性質(zhì)證明∠DBC=45°和BE=BC，進(jìn)而證明∠BEC=67.5°．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=AD，∠DBC=45°，∵BE=AD，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，∵AC⊥BD，∴∠COE=90°，∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，故選：A．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)并加以利用是解決本題的關(guān)鍵．4．如圖，矩形中，，如果將該矩形沿對角線折疊，那么圖中陰影部分的面積是22.5，則（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，可得∠DBE=∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，從而得到∠BDE=∠DBE，進(jìn)而得到BE=DE，再由的面積是22.5，可得，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．【解析】解：根據(jù)題意得：∠DBE=∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，∴∠BDE=∠CBD，∴∠BDE=∠DBE，∴BE=DE，∵的面積是22.5，，∴，解得：，∴，在中，由勾股定理得：

，∴．故選：C【點睛】本題主要考查了折疊和矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上，若四邊形EGFH是菱形．則AE的長是（）A．15 B．20 C． D．【答案】A【分析】連接EF交AC于點O，連接CE，證明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根據(jù)勾股定理可得CE的長，進(jìn)而可得結(jié)論．【解析】解：如圖，連接EF交AC于點O，連接CE，∵四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥GH，OE＝OF，DCAB，∴CF＝CE，，在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴CF＝AE，∴CE＝AE，∴BE＝AB?AE＝24?CE，在Rt△CEB中，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得CE＝15，∴AE＝15，故選：A．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是證明△CFO≌△AEO，求出CF＝AE．6．如圖，在中，，，，P為邊上一動點，于E，于F，則的最小值為（

）A．1.2 B．1.25 C．2.4 D．2.5【答案】C【分析】先證四邊形AEPF是矩形，得EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根據(jù)垂線段最短和三角形面積求出AP即可．【解析】解：連接，如圖：，，，，四邊形是矩形，，要使最小，只要最小即可，當(dāng)時，最短，，，，，的面積，，即，故選：C．【點睛】本題利用了矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．7．如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD四條邊AB，BC，CD，DA的中點，則關(guān)于四邊形EFGH，下列說法正確的是（

）A．不一定是平行四邊形 B．當(dāng)AC＝BD時，它為菱形C．一定是軸對稱圖形 D．不一定是中心對稱圖形【答案】B【分析】先連接AC，BD，根據(jù)EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，可得四邊形EFGH是平行四邊形，當(dāng)AC⊥BD時，∠EFG＝90°，此時四邊形EFGH是矩形；當(dāng)AC＝BD時，EF＝FG＝GH＝HE，此時四邊形EFGH是菱形，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解析】解：連接AC，BD，如圖：∵點E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點，∴EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，故A錯誤；∴四邊形EFGH一定是中心對稱圖形，故D錯誤；當(dāng)AC⊥BD時，∠EFG＝90°，此時四邊形EFGH是矩形，當(dāng)AC＝BD時，EF＝FG＝GH＝HE，此時四邊形EFGH是菱形，∴四邊形EFGH可能是軸對稱圖形，故C錯誤；∴說法正確的是當(dāng)AC＝BD時，它為菱形，故選：B．【點睛】本題主要考查了中點四邊形的運用，解題時注意：平行四邊形是中心對稱圖形．解決問題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理．8．如圖，兩個正方形的邊長都為6，其中正方形繞著正方形的對角線的交點旋轉(zhuǎn)，正方形與邊、分別交于點、（不與端點重合），設(shè)兩個正方形重疊部分形成圖形的面積為，的周長為，則下列說法正確的是（）A．發(fā)生變化，存在最大值 B．發(fā)生變化，存在最小值C．不發(fā)生變化，存在最大值 D．不發(fā)生變化，存在最小值【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AOM≌△BON，得到兩個正方形重疊部分形成圖形的面積S四邊形OMBN=S△BOM+S△BON=S△BOM+S△AOM=S△AOB=S正方形ABCD為定值，再根據(jù)全等三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)得到的周長為MN+BM+BN=MN+AB=，故可得n存在最小值，故可判斷求解．【解析】∵四邊形ABCD和四邊形是正方形，∴AO=BO，∠OAM=∠OBN=45°，∠MON=∠AOB=90°∴∠AOM+∠BOM=∠BON+∠BOM=90°∴∠AOM=∠BON∴△AOM≌△BON（ASA）∴S△AOM≌S△BON∵兩個正方形重疊部分形成圖形的面積S四邊形OMBN=S△BOM+S△BON=S△BOM+S△AOM=S△AOB=S正方形ABCD∴為定值，不發(fā)生變化，∵△AOM≌△BON∴OM=ON∴△MON是等腰直角三角形∴的周長為MN+BM+BN=MN+AB=，故當(dāng)MO最小時即OM⊥AB時，n存在最小值，故選D．【點睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)綜合運用，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)、全等三角形及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．二、填空題9．矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是_________．填代號①對邊平行且相等；②對角線互相平分；③對角相等；④對角線相等；⑤四個角都是；⑥軸對稱圖形．【答案】④⑤⑥【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)進(jìn)而分析得出答案即可．【解析】解：矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是：④對角線相等；⑤4個角都是90°；⑥軸對稱圖形．故答案為：④⑤⑥．【點睛】此題主要考查了矩形與平行四邊形的性質(zhì)與區(qū)別，熟練區(qū)分它們的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．菱形的邊長為5，一條對角線長為6，則這個菱形的面積是________．【答案】24【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)利用勾股定理求得另一條對角線，再根據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半求得菱形的面積．【解析】解：如圖，當(dāng)BD=6時，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，∵AB=5，∴AO=，∴AC=8，∴菱形的面積是：BD×AC=×6×8=24，故答案為：24．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，菱形的面積公式，勾股定理，關(guān)鍵是掌握菱形的面積等于兩條對角線的積的一半．11．如圖，在矩形中，對角線，相交于點，若，，則的長為_____．【答案】8【分析】由四邊形為矩形，根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等，可得，由，根據(jù)有一個角為的等腰三角形為等邊三角形可得三角形為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一個角都相等都為可得出為，在直角三角形中，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得為，根據(jù)角所對的直角邊等于斜邊的一半，由的長可得出的長．【解析】解：四邊形為矩形，，，且，，，又，為等邊三角形，，在直角三角形中，，，，，則．故答案為：8．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解覺本題的關(guān)鍵．12．如圖，在菱形中，對角線與相交于點O，，垂足為E點，若，則________．【答案】65°##65度【分析】先根據(jù)菱形的鄰角互補求出∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)菱形的對角線平分一組對角求出∠BAO的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．【解析】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°130°=50°，∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°∠BAO=90°25°=65°．故答案為：65°．【點睛】本題主要考查了菱形的鄰角互補，每一條對角線平分一組對角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點P為邊AB上任意一點，過點P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，則PE+PF=______．【答案】【分析】連接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性質(zhì)得出S矩形ABCD=AB?BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA?PE+OB?PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案．【解析】解：連接OP，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，AC==10，∴S矩形ABCD=AB?BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA?PE+OB?PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，∴PE+PF=；故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．如圖，點E為正方形ABCD外一點，且ED＝CD，連結(jié)AE，交BD于點F．若∠CDE＝30°，則∠DFC的度數(shù)為___．【答案】105°【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)和已知得AD=DE，根據(jù)等腰△ADE頂角為120°計算∠DAE=30°，由三角形的內(nèi)角和定理得∠AFD=105°，通過證明△ADF≌△CDF證出∠DFC=∠AFD即可得到答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∴∠ADB=∠BDC=45°，∵DC=DE，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠ADE=90°+30°=120°，∴∠DAE=30°，∴∠AFD=180°25°45°=105°，在△ADF和△CDF中，，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DFC=∠AFD=105°，故答案為：105°．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵．三、解答題15．已知：如圖，矩形的兩條對角線與相交于點O，點E、F分別是線段的中點，聯(lián)結(jié)．(1)求證：四邊形是等腰梯形；(2)過點O作，垂足為點M，聯(lián)結(jié)，如果，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，，，求出

，，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出，，，求出，，根據(jù)等腰梯形的判定得出即可；（2）根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出．求出，求出處，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形和四邊形是平行四邊形．求出，根據(jù)菱形的判定得出平行四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，求出即可．(1)證明：四邊形是矩形，，，，，，，點、分別是線段、的中點，，，，，，，即，四邊形是等腰梯形；(2)證明：連接，點、分別是線段、的中點，，，，，四邊形是矩形，，，由（1）知：，四邊形是平行四邊形，同理：四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，平行四邊形是菱形，，又四邊形是等腰梯形，，又，，四邊形是菱形．【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識點，能靈活運用等腰梯形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．16．已知如圖，四邊形中，，E為對角線的中點，點F在邊上，交于點G，．(1)求證：四邊形為菱形；(2)如果，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得AE＝CE＝BD，再結(jié)合已知CF＝BD，從而可得AE＝CF，進(jìn)而可得四邊形AECF是平行四邊形，然后再根據(jù)AE＝CE即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得AD∥CE，從而可得∠ADE＝∠DEC，進(jìn)而可得∠ADE＝∠DCF，再利用平行線的性質(zhì)可得∠EAD＝∠CFD，然后證明，利用相似三角形的性質(zhì)解答．【解析】（1）證明：∵，E為對角線的中點，∴，∵，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴平行四邊形為菱形；（2）∵四邊形為菱形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．五、平面向量平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：.向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模），記作||或｜｜.向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。较蛳嗤议L度相等的兩個向量叫做相等的向量.方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量.方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量.平面向量的加法：向量加法的三角形法則：求不平行的兩個向量的和向量時，只要把第二個向量與第一個向量首尾相接，那么以第一個向量的起點為起點、第二個向量的終點為終點的向量就是和向量.設(shè)，則＝＝.向量加法的平行四邊形法則：如果是兩個不平行的向量，那么求它們的和向量時，任取一點為公共起點，作兩個向量分別和相等；再以這兩個向量為鄰邊作平行四邊形；然后以所取的公共起點為起點，作這個平行四邊形的對角線向量，則這一對角線向量就是與的和向量.向量的加法滿足交換律，滿足結(jié)合律.零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量.＝｜｜＝0..平面向量的減法：已知兩個向量的和及其中一個向量，求另一個向量的運算叫做向量的減法.減去一個向量等于加上這個向量的相反向量.向量減法的三角形法則：在平面內(nèi)任取一點，以這點為公共起點作出這兩個向量，那么它們的差向量是以減向量的終點為起點、被減向量的終點為終點的向量.要點：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量.（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當(dāng)兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”．六、實數(shù)與向量相乘1.實數(shù)與向量相乘的意義：一般地，設(shè)為正整數(shù)，為向量，我們用表示個相加；用表示個相加.又當(dāng)為正整數(shù)時，表示與同向且長度為的向量.要點：設(shè)P為一個正數(shù)，P就是將的長度進(jìn)行放縮，而方向保持不變；P也就是將的長度進(jìn)行放縮，但方向相反.2．向量數(shù)乘的定義 一般地，實數(shù)與向量的相乘所得的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）如果時，則：①的長度：；②的方向：當(dāng)時，與同方向；當(dāng)時，與反方向；（2）如果時，則：，的方向任意.實數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘.要點：（1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個與已知向量平行（或共線）的向量；（2）實數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運算；（4）表示向量的數(shù)乘運算，書寫時應(yīng)把實數(shù)寫在向量前面且省略乘號，注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面；（5）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.3.實數(shù)與向量的相乘的運算律：設(shè)為實數(shù)，則：（1）（結(jié)合律）；（2）（向量的數(shù)乘對于實數(shù)加法的分配律）；（3）（向量的數(shù)乘對于向量加法的分配律）七、平行向量定理1.單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.要點：任意非零向量與它同方向的單位向量的關(guān)系：，.2.平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)，使.要點：（1）定理中，，的符號由與同向還是反向來確定.（2）定理中的“”不能去掉，因為若，必有，此時可以取任意實數(shù)，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量平行.（4）向量平行的性質(zhì)定理：若向量與非零向量平行，則存在一個實數(shù)，使.（5）A、B、C三點的共線若存在實數(shù)λ，使.八、向量的線性運算1．向量的線性運算定義：向量的加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算.要點：（1）如果沒有括號，那么運算的順序是先將實數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.（2）如果有括號，則先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行．2．向量的分解：平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個不共線（或不平行）的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使得.要點：（1）同一平面內(nèi)兩個不共線（或不平行）向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.一組基底中，必不含有零向量．(2)一個平面向量用一組基底表示為形式，叫做向量的分解，當(dāng)相互垂直時，就稱為向量的正分解.(3)以平面內(nèi)任意兩個不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同．3．用向量方法解決平面幾何問題：（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．（2）用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.②通過向量運算，研究幾何元素的關(guān)系.③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.一、單選題1．若非零向量和互為相反向量，則下列說法中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相反向量的定義逐項判斷即可．【解析】解：A、由平行向量的定義可知A正確，不符合題意；B、因為和的方向相反，所以，故B正確，不符合題意；C、由相反向量的定義可知，故錯誤，符合題意；D、由相反向量的定義可知，故正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查相反向量的概念，屬基礎(chǔ)題，正確理解定義是解決問題的關(guān)鍵．2．下列說法中不正確的是（

）A．如果、為實數(shù)，那么B．如果或，那么C．如果，且，那么的方向與的方向相同D．長度為1的向量叫做單位向量【答案】C【分析】由平面向量的性質(zhì)，即可得A與B正確，又由長度為l的向量叫做單位向量，可得D正確，向量是有方向性的，所以C錯誤．【解析】解∶A、根據(jù)向量的性質(zhì)得，故本選項正確；B、如果或，那么，故本選項正確；C、因為向量是有方向性的，所以C錯誤；D、長度為l的向量叫做單位向量，故本選項正確．故選∶C．【點睛】此題考查了平面向量的性質(zhì)．題目比較簡單，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．3．矩形的對角線與相交于點，如果，，那么（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出，再根據(jù)即可得到結(jié)果．【解析】解：如圖所示：∵∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了平面向量，矩形的性質(zhì)，本題側(cè)重考查知識點的理解能力．4．下列說法正確的是（

）A．如果為單位向量，那么 B．如果，那么C．如果都是單位向量，那么 D．如果，那么【答案】B【分析】向量有方向，大小，加減運算，根據(jù)相關(guān)的概念和運算方法即可求解．【解析】解：選項，如果為單位向量，且與的方向相同，那么，故不符合題意；選項，如果，大小相同，方向相反，那么，故符合題意；選項，如果都是單位向量，那么，方向不確定，故不符合題意；選項，如果，那么，模相等，方向不確定，故不符題意．故選：．【點睛】本題主要考查向量的基本知識，掌握向量的大小，方向，模的基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．5．下列命題正確的個數(shù)是（

）①設(shè)是一個實數(shù)，是向量，那么與相乘的積是一個向量；②如果，，那么的模是；③如果，或，那么；④如果，的方向與的方向相反．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)實數(shù)與向量的乘積結(jié)合向量的定義，逐項分析判斷即可求解．【解析】解：①設(shè)是一個實數(shù)，是向量，那么與相乘的積是一個向量，故①正確；②如果，，那么的模是，故②正確；③如果，或，那么，故③錯誤；④如果，的方向與的方向相反，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題考查了實數(shù)與向量的乘積，熟練掌握平面向量的定義是解題關(guān)鍵．6．下列命題中，正確的是（

）A．如果或，那么 B．如果，那么（k為實數(shù)）C．如果（k為實數(shù)），那么 D．如果，那么或【答案】D【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)之一判斷即可得到答案．【解析】解：A．如果或，那么，原說法錯誤，不符合題意，選項錯誤；B．如果，且，那么（k為實數(shù)），原說法錯誤，不符合題意，選項錯誤；C．如果（k為實數(shù)），當(dāng)時，和不平行，原說法錯誤，不符合題意，選項錯誤；D．如果，那么或，說法正確，符合題意，選項正確，故選D．【點睛】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖，已知A、B、C是直線l上的三點，P是直線l外的一點，BC＝2AB，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖形得：，則，再根據(jù)可得出答案．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的計算是解答本題的關(guān)鍵．8．已知單位向量與非零向量、，下列四個選項中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的定義，平面向量模的定義以及共線向量的定義進(jìn)行判斷即可．【解析】A.當(dāng)單位概率與非零向量的方向相同時才成立，故該選項不正確，不符合題意；B.，故該選項正確，符合題意；C.當(dāng)非零向量，的方向相同時才成立，故該選項不正確，不符合題意；D.當(dāng)單位概率與非零向量的方向相同時才成立，故該選項不正確，不符合題意；故選B【點睛】本題考查了平面向量知識，理解單位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，單位向量具有確定的方向是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．計算：______．【答案】##【分析】根據(jù)向量的運算法則可直接進(jìn)行解答．【解析】解：，故答案為：．【點睛】本題考查的是平面向量的知識，熟悉向量的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如果向量、、滿足關(guān)系式，那么=____（用向量、表示）．【答案】##【分析】利用一元一次方程的求解方法，去括號、移項，即可求得答案．【解析】解：，，，故答案為：【點睛】此題考查了平面向量的知識．此題難度不大，注意掌握此向量方程的解法與一元一次方程的解法一樣．11．如圖，在中，，，垂足為點．設(shè)，，那么________（結(jié)果用、的式子表示）．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，繼而根據(jù)三角形法則即可求解．【解析】解：∵在中，，，垂足為點．∴，∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平面向量的線性運算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知在中，，，．設(shè)，，試用向量、表示向量______．【答案】【分析】首先由，得到，由，，即可求得，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得到，；即可求得．【解析】解：∵，，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及向量的意義與運算．此題難度一般，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．13．如圖，已知梯形中，，，設(shè)，，那么向量用向量、表示為___________．【答案】【分析】過點D作交BC于點E，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)及向量的三角形法則進(jìn)行求解即可．【解析】解：如圖，過點D作交BC于點E，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，向量加法的三角形法則，掌握向量加法的三角形法則是解本題的關(guān)鍵．14．如圖，在正六邊形ABCDEF中，設(shè)，，那么向量用向量、表示為______.【答案】【分析】根據(jù)向量線性運算的三角形法則和正六邊形的性質(zhì)即可求解【解析】連接，取的中點為O，連接，∴，，∴，∴，∴故答案為：【點睛】本題考查平面向量，正六邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則15．如圖，點是的重心，過點且平行于，點、分別在、上，設(shè)，，那么________．（用、表示）【答案】【分析】先根據(jù)三角形重心的性質(zhì)（重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1），求得與的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)，可得與、的數(shù)量關(guān)系．【解析】解，連接，并延長交于點，∵，∴，∴，即，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的重心，平面向量，能夠熟練掌握重心的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．16．如圖，在梯形中，，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是邊AB、CD的中點，，設(shè)，那么_______．（用含向量的式子表示）【答案】【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例可求出BC，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求出EF．【解析】∵，AC、BD相交于點O，∴∴∵，∴，∴，∵點E、F分別是梯形腰AB、CD的中點，∴EF是梯形的中位線，∴，且，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形和中位線的性質(zhì)，熟練掌握知識是解題關(guān)鍵．一、單選題1．（2021·上海青浦·統(tǒng)考二模）如果一個正多邊形的每一個外角都是45°，那么這個正多邊形的內(nèi)角和為（

）A．360° B．720° C．1080° D．1440°【答案】C【分析】多邊形的外角和是360度，即可得到外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【解析】解：多邊形的邊數(shù)是：360÷45＝8．則內(nèi)角和是：（8﹣2）×180°＝1080°．故選：C．【點睛】本題考查正多邊形的外角和、內(nèi)角和，熟知公式是關(guān)鍵，利用外角和解決正多邊形邊數(shù)問題是常用思路2．（2022·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)?？级＃┮来芜B接等腰梯形各邊的中點得到的四邊形是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)、中位線定理以及菱形的判定，可推出四邊形為菱形．【解析】解：如圖所示，等腰梯形中，，，分別是、的中點，連接．E、F分別是的中點，，同理，可得：，又等腰梯形，，，四邊形是菱形．故選A．【點睛】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及菱形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)與定理是解此題的關(guān)鍵．3．（2021·上海寶山·統(tǒng)考三模）下列命題中正確的是（

）A．對角線相等的梯形是等腰梯形B．有兩個角相等的梯形是等腰梯形C．一組對邊平行的四邊形一定是梯形D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形一定是等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的判定定理與梯形定義對各個選項逐一分析即可．【解析】解：A、對角線相等的梯形是等腰梯形，∵四邊形ABCD為梯形，∴DC∥AB，過C作CE∥DB交AB延長線于E，∴四邊形BECD為平行四邊形∴∠DBA=∠E，BD=CE，∵AC=BD，∴AC=BD=CE，∴∠CAB=∠E=∠DBA，在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（SAS），∴AD=BC，四邊形ABCD為等腰梯形，故本選項正確；B、根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和判定可判斷：直角梯形中有兩個角相等為90度，但不是等腰梯形，故本選項錯誤；C、一組對邊平行的四邊形一定是梯形，錯誤，因為這組對邊相等，那么就有可能是平行四邊形，當(dāng)這組對邊不相等時是梯形，故本選項錯誤；D、一組對邊平行，另一組對邊相等則有兩種情況，即平行四邊形或等腰梯形，所以不能說一定是等腰梯形．故本選項錯誤；故選：A．【點睛】本題考查等腰梯形判定與梯形的識別，掌握等腰梯形判定定理與梯形的識別方法是解題關(guān)鍵．4．（2020·上海徐匯·統(tǒng)考二模）下列命題中，假命題是（

）A．順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形B．順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形C．順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形D．順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定、中位線定理、中點四邊形的定義進(jìn)行判定即可．【解析】觀察圖形：分別為的中點，根據(jù)中位線定理：A：順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形,正確；B：順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形，正確；C：順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形，正確；D：順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形，錯誤．故答案選：D．【點睛】本題考查中位線定理應(yīng)用、平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定，掌握四邊形的判定是解題關(guān)鍵．5．（2022·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)時，四邊形是菱形B．當(dāng)時，四邊形是菱形C．當(dāng)時，四邊形是矩形D．當(dāng)時，四邊形是正方形【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和矩形，菱形，正方形判定進(jìn)行判定.【解析】A．四邊形是平行四邊形，當(dāng)時，它是菱形，故A選項正確；B．∵四邊形是平行四邊形，∴對角線互相平分，∵，∴四邊形是菱形，故B選項正確；C．有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項正確；D．根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知，當(dāng)時，它是矩形，不是正方形，故D選項錯誤；綜上所述，符合題意是D選項；故選D．【點睛】本題主要考查特殊平行四邊形的判定，解答本題的關(guān)鍵是：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形．6．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知非零向量和單位向量，那么下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的模只有大小，沒有方向，向量既有長度也有方向?qū)Ω鬟x項分析判斷后利用排除法求解．【解析】解：A.向量的模只有大小，沒有方向，則不成立，故該選項不正確，不符合題意；

B.單位向量與向量方向不一定相同，則，不一定成立，故該選項不正確，不符合題意；C.，故該選項正確，符合題意；D.單位向量與向量方向不一定相同，則，不一定成立，故該選項不正確，不符合題意；故選C【點睛】本題考查了向量的運算，向量的問題一定要注意從方向與模兩方面考慮．7．（2022·上海·一模）點是的重心，設(shè)，，那么關(guān)于和的分解式是（

）A． B． C． D．．【答案】C【分析】連接AG并延長，交BC于點D．由重心的性質(zhì)可知，D為BC中點，且．再根據(jù)題意可求出，即可由求出結(jié)果．【解析】如圖，連接AG并延長，交BC于點D．∵點G為重心，∴點D為BC中點．又∵，，∴，即，∵重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查三角形重心的性質(zhì)，向量的線性運算．掌握重心的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8．（2021·上海虹口·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，AD和BE交于點G，設(shè)，，那么向量用向量、表示為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形法則求出，再根據(jù)三角形中心的性質(zhì)解決問題即可．【解析】解：∵，，∴，∵AD，BE是△ABC的中線，∴G是△ABC的重心，∴BG＝BE，∴＝，故選A．【點睛】本題主要考查了平面向量計算的三角形法則及三角形重心的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些基本知識．9．（2020·上海寶山·統(tǒng)考一模）已知，為非零向量，如果＝﹣5，那么向量與的方向關(guān)系是（）A．∥，并且和方向一致 B．∥，并且和方向相反C．和方向互相垂直 D．和之間夾角的正切值為5【答案】B【分析】根據(jù)平行向量的性質(zhì)解決問題即可．【解析】∵已知，為非零向量，如果＝﹣5，∴∥，與的方向相反，故選：B．【點睛】本題考查了平面向量，熟記向量的長度和方向是解題關(guān)鍵．10．（2020·上海閔行·校考一模）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連結(jié)BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結(jié)論：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH?PC；④FE：BC＝，其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【解析】解：∵△BPC是等邊三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正確；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正確；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH?PC，故③正確；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正確，故選：D．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)和定理．二、填空題11．（2022·上海崇明·統(tǒng)考二模）若一個正多邊形的內(nèi)角和等于外角和的兩倍，則該正多邊形的邊數(shù)是_____．【答案】6【分析】設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為（n2）180°，再根據(jù)外角和等于360°列方程解答即可．【解析】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：（n2）180°=360°×2，解得n=6．故答案為：6．【點睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和和外角和，關(guān)鍵是掌握內(nèi)角和為（n2）180°．12．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）菱形的兩條對角線長分別為5和12，那么這個菱形的面積為___________【答案】30【分析】菱形的面積是對角線乘積的一半，由此可得出結(jié)果．【解析】解：∵菱形的兩條對角線長分別為5和12，∴菱形的面積：．故答案為：30．【點睛】本題考查了菱形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握菱形面積的求解方法有兩種：①底乘以高，②對角線積的一半．13．（2018·上海金山·統(tǒng)考二模）如果梯形的中位線長為6，一條底邊長為8，那么另一條底邊長等于__________.【答案】4.【分析】只需根據(jù)梯形的中位線定理“梯形的中位線等于兩底和的一半”，進(jìn)行計算.【解析】解：根據(jù)梯形的中位線定理“梯形的中位線等于兩底和的一半”，則另一條底邊長.故答案為4【點睛】本題考查梯形中位線，用到的知識點為：梯形的中位線=（上底＋下底）14．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知平行四邊形中，是上一點，，聯(lián)結(jié)交于，若向量，向量，則向量________．【答案】【分析】先求出，再根據(jù)△AEF∽CBF，得出與的關(guān)系即可．【解析】解：∵，，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AD=BC，∴△AEF∽CBF，∴，∵，∴BC=AD=3AE，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了向量的計算，平行四邊形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握向量的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．15．（2018·上海長寧·統(tǒng)考中考模擬）在四邊形中，，分別是邊，的中點，若，，，，則______．【答案】145°【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到BD＝2EF＝12，EF∥BD，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，結(jié)合圖形計算即可．【解析】解：連接BD，∵點E、F分別是邊AB、AD的中點，∴BD＝2EF＝12，EF∥BD，∴∠ADB＝∠AFE＝55°，∵，，∵，，∴，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝145°，故答案為：145°．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．16．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在中，∠B＝70°，BC＝6，以AD為直徑的⊙O交CD于點E，則劣弧的長為______．（結(jié)算結(jié)果保留）【答案】【分析】連接OE，求出∠DOE＝40°，得到，根據(jù)弧長公式計算得到答案．【解析】解：連接OE，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝6，∠D＝∠B＝70°，∵OD＝OE＝，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠DOE＝40°，∴，的長＝，故答案為：．【點