專題1.2全等三角形相關(guān)輔助線五種方法專項講練（原卷版）

專題1.2全等三角形相關(guān)輔助線五種方法專項講練方法一：截長補短法【模型分析】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補短法（往往需證2次全等）?！灸Ｐ蛨D示】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE（2）補短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長DC至點M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長DC至點M處，使DM=AD，證CM=BE例1．（2021·廣西玉林市·八年級期末）在中，，點D、E分別在、上，連接、和；并且有，．（1）求的度數(shù)；（2）求證：．變式1.（2022·四川南充·八年級期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；方法二：旋轉(zhuǎn)法【模型分析】旋轉(zhuǎn)：將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn)，使兩短邊構(gòu)成一條邊，證與長邊相等。注：旋轉(zhuǎn)需要特定條件（兩個圖形的短邊共線），該方法常在半角模型中使用?！灸Ｐ蛨D示】例：如圖，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求證BM+CN=MN方法：旋轉(zhuǎn)△ABM至△ACF處，證NE=MN例2．（探索發(fā)現(xiàn)）如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、BC上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖①，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點D與點B重合，得到，連接AM、AN、MN．（1）試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．（2）如圖②，點M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，，連接MN，請寫出MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，，，點N，M分別在邊BC，CD上，，請直接寫出線段BN，DM，MN之間的數(shù)量關(guān)系．變式2.如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④方法三：倍長中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．【常見模型】例3．（2021·河南新鄉(xiāng)學(xué)院附屬中學(xué)八年級月考）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線，AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4變式3.（2021·湖北八年級期末）在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點在邊上，交于點且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點是的中點，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．方法四：過端點作另一邊的平行線【模型分析】目的：構(gòu)造出一組全等三角形特點：中線倍長的反向應(yīng)用例4．（2021·河南新鄉(xiāng)·八年級期末）如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點，且，連接交于點．求讓：變式4.（2022·湖北·武鋼實驗學(xué)校八年級期中）P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．方法五：向中線作垂線【模型分析】過線段兩端點向中點處的線段作垂線。例5．（2022.廣東省八年級期中）如圖，△ABC中，D為BC的中點，（1）在圖中作出CM⊥AD，BN⊥AD，垂足分別為M、N；（2）求證：DM＝DN；（3）求AD＝3，求AM+AN的值．式5.（2022.河北省八年級期中）如圖．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延長線交DE于F。（1）求證：點F是ED的中點；（2）求證：S△ABC＝2S△BEF．課后訓(xùn)練1．（2022·四川綿陽·八年級期中）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點P在AB上，過點P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC到點Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點D，則DE的長為（

）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.252．（2022·湖北武漢·八年級期中）如圖，在△ABC中，點M，N分別是AC，BC上一點，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，則MN的長度可以是（）A．2 B．7 C．16 D．173．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，已知AD是△ABC的中線，E是AC上的一點，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，則∠ACB＝_____．4．（2022·安徽合肥·八年級期末）P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．5．（2021·吉林八年級期末）如圖①，∠BAD=90°，AB=AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥CA的延長線點E，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD，得△ABC≌△DAE進而得到AC=DE，BC=AE，我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型．請應(yīng)用上述“一線三等角”模型，解決下列問題：（1）如圖②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC、DE，且BC⊥AH于點H，DE與直線AH交于點G，求證：點G是DE的中點．（2）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點A為平面內(nèi)任意一點，點B的坐標(biāo)為（4，1），若△AOB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，請直接寫出點A的坐標(biāo)．6．（2022·全國初三專題練習(xí)）如圖，在中，，，，，延長交于.求證：.7．（2022·安徽八年級期末）如圖，△ABC是等腰三角形，D，E分別是腰AB及AC延長線上的一點，且BD＝CE，連接DE交底BC于G.求證：GD＝GE.8．（2022·全國初三專題練習(xí)）如圖，是延長線上一點，且，是上一點，，求證：.9．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求證：AD＝CD．10．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）△ABC、△DPC都是等邊三角形．(1)如圖1，求證：AP＝BD；(2)如圖2，點P在△ABC內(nèi)，M為AC的中點，連PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．①求證：BP⊥BD；②判斷PC與PA的數(shù)量關(guān)系并證明．11．（2021·湖北武漢·八年級期中）已知中，（1）如圖1，點E為的中點，連并延長到點F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖2，若，點E為邊一點，過點C作的垂線交的延長線于點D，連接，若，求證：．（3）如圖3，點D在內(nèi)部，且滿足，，點M在的延長線上，連交的延長線于點N，若點N為的中點，求證：．12．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中七年級期末）如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線，求證：AE+BE=BC．13．（2022·安徽合肥·一模）已知：如圖1，△ABC中，∠CAB=120°，AC=AB，點D是BC上一點，其中∠ADC=α（30°＜α＜90°），將△ABD沿AD所在的直線折疊得到△AED，AE交CB于F，連接CE(1)求∠CDE與∠AEC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，當(dāng)α=45°時，解決以下問題：①已知AD=2，求CE的值；②證明：DCDE=AD；14．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是；（不需要證明）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．15．（2021·四川·成都七中八年級期中）已知，在△ABC中，AB=AC，（1）如圖1，若，且點D在CA的延長線上時，求證：；（2）如圖2，若，試判斷AD，BD，CD之間的等量關(guān)系，并說明理由（3）如圖3，若BD=5，求CD的長．16．（2021·陜西西安市·七年級期末）問題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點O，點M、N分別在直線AC