2.5等腰三角形的軸對稱性（原卷版）

2.5等腰三角形的軸對稱性【推本溯源】1.把等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，有什么發(fā)現(xiàn)？幾何語言說明：由此可以發(fā)現(xiàn)，等腰三角形是，是它的對稱軸。并且得到下面定理：（1）等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）幾何語言：（2）等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（三線合一）幾何語言：已知角平分線，用SAS證高與中線。幾何語言：已知中線，用SSS證角平分線與高線。幾何語言：（3）已知高線，用HL證角平分線與中線。幾何語言：按下列作法，用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使底邊BC=a，高AD=h。作法：（1）作線段BC=a；（2）作線段BC的垂直平分線，MN交BC與點D；（3）在MN上截取線段DA，使DA=h；（4）連接AB、AC?！鳤BC就是所求作的等腰三角形。3.已知如圖，在△ABC中，∠B＝∠C．求證：AB＝AC．方法1：方法2：因此，可以得到是等腰三角形（簡稱“等角對等邊”）幾何語言：4.（1）回想一下什么是等邊三角形，也可以稱為什么三角形？的三角形叫做等邊三角形或三角形。（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性質(zhì)嗎？等邊三角形是圖形，并且有條對稱軸。已知AB=BC=CA，證∠A=∠B=∠C。因此，等邊三角形的各角都等于。幾何語言：5.（1）那如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形嗎？已知∠A=∠B=∠C，證：AB=AC=BC因此，的三角形是等邊三角形。幾何語言：（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？已知頂角∠A=60°，AB=AC，證：▲ABC是等邊三角形證：已知底角∠A=60°，BA=BC，證：▲ABC是等邊三角形證：因此，是等邊三角形。幾何語言：6.兩個斜邊的一半（1）如圖，已知∠B=90°，∠A=30°，證：因此，對應的直角邊等于斜邊的幾何語言：（2）如圖，∠ABC=90°，在AC上取一點D，使得BD=CD因此，直角三角形斜邊上的等于斜邊的。幾何語言：【解惑】例1：如圖，中，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例2：如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點、，的垂直平分線分別交、于點F、G．

(1)若，求的周長．(2)若，求的度數(shù)．例3：在數(shù)學課堂上，老師帶領(lǐng)同學們用尺規(guī)“過直線外一點作直線的垂線”，圖①是老師畫出的第一步，圖②，圖③分別是甲、乙兩位同學補充的作圖痕跡，則補充的作圖痕跡正確的是（

）

A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正確例4：如圖，在四邊形中，，，相交于點E，點G，H分別是，的中點，若，則______．

例5：如圖，中，，，，點P是邊上的動點，則長不可能是（

）

A． B． C． D．例6：如圖，在中，于點D，，點E、F分別是、的中點且，求證：．【摩拳擦掌】1．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，直線為正五邊形的對稱軸，連接交于點，以為邊作等邊，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，且，根據(jù)圖中的尺規(guī)作圖痕跡，計算（

）A． B． C． D．3．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習）如圖，已知在中，平分，平分，且，，若，則的周長是（）A． B． C． D．4．（2023春·廣東東莞·八年級虎門五中?？计谥校┰谥?，，點D是的中點，，則_____．5．（2023春·湖南邵陽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，點為的中點，則為____________．6．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┑妊切蔚囊粋€內(nèi)角是，則它的頂角的度數(shù)是___________．7．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，則_____度．8．（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是等邊三角形，是中線，過點D作于點E且交邊的延長線于點F，，的長．

9．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┮阎涸谥校瑸榈闹悬c，，，垂足分別為點、，且．求證：是等腰三角形．10．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，平分交于點，是上一點，且．求證：．

11．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，點，，分別在，，上，且，，是的中點．求證：．

【知不足】1．（2023春·廣東茂名·七年級校考期中）已知一個三角形中兩個內(nèi)角分別是和，則這個三角形一定是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能確定2．（湖南省衡陽市八中教育集團20222023學年七年級下學期第二次月考數(shù)學試題）等腰三角形的一邊等于3，一邊等于6，則它的周長等于（

）A．12 B．15 C．12或15 D．173．（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學校考模擬預測）如圖，中，，點E為的中點，點D在上，且，相交于點F，若，則等于（）

A． B． C． D．4．（2023春·廣東清遠·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，線段的垂直平分線分別交，于點D，E，連接．若，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．5．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在解答一道習題時，嘉嘉先作出了的一條高，又作出了的一條角平分線，發(fā)現(xiàn)作的是同一條線段，則一定是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形6．（2023春·上海寶山·七年級校考期中）如果一個等腰三角形的兩條邊長分別等于3厘米和7厘米，那么這個等腰三角形的周長等于________厘米．7．（2023秋·重慶渝北·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角三角形中，，D為線段上一點，連接．過點A作，連接，當平分時，延長至點F使得，連接．若且，則__________．8．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，是等邊三角形，點E是的中點，過點E作于點F，延長交的反向延長線于點D，若，則的長為__________．9．（2023春·廣東梅州·八年級校考開學考試）如圖，在等邊三角形中，點、分別在、上，且，和相交一點，于，，，___________．10．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，C為線段上一動點（點C不與點A，E重合），在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，與交于點O．(1)求證：；(2)求．11．（2023春·廣東佛山·七年級?？计谥校┑冗呏?，，且．

(1)求證：．(2)求的度數(shù)．12．（2023·廣東廣州·?？既＃┮阎粋€等腰三角形的底邊長a，底邊上的高長b．

(1)求作等腰三角形，底邊上的高為（請用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）(2)若，則的長為______．13．（2023秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，垂足為D，，垂足為E，F(xiàn)是的中點連接．(1)求證：；(2)連接，若，．①判斷的形狀，并說明理由；②_________．14．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，在中，于F，于E，M為的中點．(1)若＝4，＝10，求的周長；(2)若，，求的度數(shù)．【一覽眾山小】1．（2023春·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期中）若一個等腰三角形腰上的高等于腰長的一半，則此等腰三角形的底角的度數(shù)是（）A． B． C．或 D．無法確定2．（2023春·廣東梅州·八年級?？奸_學考試）如圖，在中，，，平分，，點、分別為線段、上的動點，則的最小值是____．

3．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在，點是上的一點，連接，平分，交于中點，連接，若，則___________．

4．（2023·黑龍江哈爾濱·?？既＃┤鐖D，四邊形ABCD中，且，過點A作交BC于點E，若，則___________5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考三模）如圖，小明練習冊上的一個等腰三角形被墨跡污染了，只有它的底邊和還保留著．

(1)小明要在練習冊上畫出原來的等腰，用到的基本作圖可以是___________（填寫正確答案的序號）；①作一條線段等于已知線段；②作一個角等于已知角；③作已知角的平分線；④作已知線段的垂直平分線；⑤過一點作已知直線的垂線；(2)為邊上的中線，若的一個外角為，求的度數(shù)．6．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，已知，，點M、N分別在線段、上，請用尺規(guī)作圖法在線段上求作一點P，使得·（保留作圖痕跡，不寫作法）7．（2023春·廣東深圳·七年級校聯(lián)考期中）【學習新知】等邊對等角是等腰三角形的性質(zhì)定理，如圖1，可以表述為∵∴【新知應用】已知：在中，，若，則______；若，則______．【嘗試探究】如圖2，四邊形中，，，若連接，則平分．某數(shù)學小組成員通過觀察、實驗，提出以下想法：延長到點，使得，連接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性質(zhì)可以證明．請你參考他們的想法，寫出完整的證明過程．【拓展應用】借助上一問的嘗試，繼續(xù)探究：如圖3所示，在五邊形中，，，，連接，平分嗎?請說明理由．8．（2023春·廣東河源·八年級?？计谥校┤鐖D，已知是邊長為的等邊三角形，動點P從A點出發(fā)，以的速度向B運動，同時點Q從B點出發(fā)以速度向C運動，當Q點到達點時，兩點停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（），則

(1)___________，___________；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當t為何值時，是等邊三角形？(3)當t為何值時，是直角三角形？9．（2023春·江西上饒·七年級統(tǒng)考期中）在如圖所示的網(wǎng)格紙中，點，，都在網(wǎng)格點上，請僅用無刻度的直尺按下列要求作圖．

(1)在圖中過點畫的垂線，且點在網(wǎng)格點上．(2)在圖中畫，再畫，且點，都在網(wǎng)格點上．10．（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，點F是邊上的中點，點D、E分別在線段、邊上運動，且保持．連接、、．

(1)求證：是等腰三角形．(2)判斷的度數(shù)，并說明理由．11．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，交于點，點是的中點，交的延長線于點，交于點，．求證：為的角平分線．12．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）和均為等腰三角形．(1)如圖1，當旋轉(zhuǎn)至點A，D，E在同一直線上，連接BE．若，求證：；(2)如圖2，當旋轉(zhuǎn)至點A，D，E在同一直線上，連接BE．若，為中DE邊上的高，試猜想，，之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)如圖1中的和，若在旋轉(zhuǎn)過程中，當點A，D，E不在同一直線上時，設(shè)直線與相交于點O，求的度數(shù)．13．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）綜合與實踐——探索圖形平移中的數(shù)學問題．【問題情境】如圖1，已知等邊三角形，，點是邊的中點，以為邊，在外部作等邊三角形．

【操作探究】將從圖1的位置開始，沿射線方向平移，點、、的對應點分別為、、(1)如圖2，善思小組的同學畫出了時的情形，此吋平移的距離是______；

(2)如圖3，點是的中點，在平移過程中，連接交射線于