第14講勾股定理的應用八年級數學上冊講義（華師大版）（教師版）

第14講勾股定理的應用目標導航目標導航1．掌握勾股定理的內容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗數形結合的思想；2．通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題．知識精講知識精講知識點01利用勾股定理巧解折疊問題方法指導：折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個圖形繞著折線翻折能夠完全重合，解答折疊問題的關鍵是巧用軸對稱及全等的性質探索折疊中的變化規(guī)律．利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟：(1)運用折疊圖形的性質找出相等的線段或角；(2)在圖形中找到一個直角三角形，然后設圖形中某一線段的長為x，將此直角三角形的三邊長用數或含有x的代數式表示出來；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)進行相關計算解決問題．【即學即練1】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點，把△ABC沿著直線DE折疊，頂點B的對應點是B′.(1)如圖①，如果點B′和頂點A重合，求CE的長；(2)如圖②，如果點B′是AC的中點，求CE的長．【答案】解：(1)設CE＝x，則BE＝8－x，由題意得AE＝BE＝8－x，由勾股定理得x2＋62＝(8－x)2.解得x＝eq\f(7,4).即CE的長為eq\f(7,4).(2)因為點B′是AC的中點，所以CB′＝eq\f(1,2)AC＝3.設CE＝x，類比(1)中的解法，可列出方程x2＋32＝(8－x)2，解得x＝eq\f(55,16).即CE的長為eq\f(55,16).知識點02巧用勾股定理求最短路徑的長方法指導：求最短距離的問題，第一種情況是通過計算和比較解最短距離問題；第二種情況是平面圖形，將分散的條件通過幾何變換(平移或軸對稱)進行集中，然后借助勾股定理解決；第三種情況是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉化為兩點間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離)．【即學即練2】如圖，A，B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到試驗田A，B；乙方案：過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到線段AB上的H處，再從H分別向試驗田A，B修筑水渠．(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由．(2)兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．【答案】解：(1)△ABC是直角三角形．理由如下：因為AC2＋BC2＝1602＋1202＝40000，AB2＝2002＝40000，所以AC2＋BC2＝AB2.所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.(2)甲方案所修的水渠較短．因為△ABC是直角三角形，所以△ABC的面積＝eq\f(1,2)AB·CH＝eq\f(1,2)AC·BC.所以CH＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(160×120,200)＝96(m)．因為AC＋BC＝160＋120＝280(m)，CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296(m)，所以AC＋BC<CH＋AH＋BH.所以甲方案所修的水渠較短．能力拓展能力拓展考法01折疊如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A落在點A′處．(1)試說明：B′E＝BF；(2)若AE＝3，AB＝4，求BF的長．【答案】解：(1)因為在長方形ABCD中，AD∥BC，所以∠B′EF＝∠EFB.又因為∠B′FE＝∠EFB，所以∠B′FE＝∠B′EF.所以B′E＝B′F.又因為BF＝B′F，所以B′E＝BF.(2)在Rt△A′B′E中，A′B′＝AB＝4，A′E＝AE＝3，所以B′E2＝A′B′2＋A′E2＝42＋32＝25.所以B′E＝5.所以BF＝B′E＝5.考法02最短距離問題1.如圖，小明在廣場上先向東走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，再向東走70m．則小明到達的終點與原出發(fā)點的距離是________．【答案】100m解析：如圖，作AC⊥BC于C.因為AC＝40＋40＝80(m)，BC＝70－10＝60(m)，所以AB2＝602＋802＝1002，則AB＝100m.2.某島爭端持續(xù)，我海監(jiān)船加大對該島海域的巡航維權力度．如圖，OA⊥OB，OA＝45nmile，OB＝15nmile，該島位于O點，我國海監(jiān)船在點B處發(fā)現有一不明國籍的漁船，自A點出發(fā)沿著AO方向勻速駛向此島所在地點O，我國海監(jiān)船立即從B處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結果在點C處截住了漁船．(1)請用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；(2)求我國海監(jiān)船行駛的航程BC的長．【答案】解：(1)如圖，連接AB，作AB的垂直平分線與OA交于點C，C點即為所求．(2)如圖，連接BC，設BC＝xnmile，則CA＝xnmile，在Rt△OBC中，OB2＋OC2＝BC2，所以152＋(45－x)2＝x2.解得x＝25.即我國海監(jiān)船行駛的航程BC的長為25nmile.分層提分分層提分題組A基礎過關練1．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交BC于點G，連接AG，且AG平分∠BAF.(1)試說明：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長．【答案】解：(1)在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠C＝90°.因為將△ADE沿AE對折至△AFE，所以AD＝AF，DE＝FE，∠D＝∠AFE＝90°.所以AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又因為AG平分∠BAF，所以∠BAG＝∠FAG.所以△ABG≌△AFG(ASA)．(2)因為△ABG≌△AFG，所以BG＝FG.設BG＝FG＝x，則GC＝6－x.因為E為CD的中點，所以CE＝EF＝DE＝3.所以EG＝3＋x.所以在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.所以BG＝2.2.高速公路的同一側有A，B兩城鎮(zhèn)，如圖所示，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′＝2km，BB′＝4km，且A′B′＝8km.要在高速公路上A′，B′之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最短．求這個最短距離．【答案】解：如圖，作點B關于MN的對稱點C，連接AC交MN于點P，則點P即為所建的出口．此時A，B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最短，最短距離為AC的長．作AD⊥BB′于點D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8km，DC＝6km，所以AC2＝AD2＋DC2＝100.所以AC＝10km.所以這個最短距離為10km.題組B能力提升練3.如圖，將長方形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E，交BC于點F，連接CE.(1)試說明：AE＝AF＝CE＝CF；(2)設AE＝a，ED＝b，DC＝c，請寫出一個a，b，c三者之間的數量關系式．【答案】解：(1)由題意知AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE.又四邊形ABCD是長方形，所以AD∥BC.所以∠AEF＝∠CFE.所以∠AFE＝∠AEF.所以AE＝AF.所以AE＝AF＝CE＝CF.(2)由題意知，AE＝CE＝a，ED＝b，DC＝c.由∠D＝90°知ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.4.有一只螞蟻要從一個圓柱形玻璃杯的點A爬到與A相對的點B處，如圖所示，已知杯子高8cm，點B距杯口3cm，杯子底面半徑為4cm.螞蟻從A點爬到B點的最短距離為多少？(π取3)【答案】解：從點A處豎直向上剪開，此圓柱的側面展開圖如圖所示，其中AC為圓柱的底面周長，則AC＝2πr≈2×3×4＝24(cm)，則E′B＝eq\f(1,2)E′D′＝eq\f(1,2)AC≈12(cm)．又因為EA＝8cm，EE′＝3cm，所以AE′＝EA－EE′＝8－3＝5(cm)．在Rt△ABE′中，AB2＝AE′2＋E′B2＝52＋122＝132，所以AB＝13cm.即螞蟻從A點爬到B點的最短距離為13cm.題組C培優(yōu)拔尖練5.如圖，觀察圖形解答下面的問題：(1)此圖形的名稱為________．(2)請你與同伴一起做一個這樣的物體，并把它的側面沿AS剪開，鋪在桌面上，則它的側面展開圖是一個________．(3)如果點C是SA的中點，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食物，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的側面爬行．你能在側面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長為10，側面展開圖的圓心角為90°，請你求出蝸牛爬行的最短路程的平方．【答案】解：(1)圓錐(2)扇形(3)把此立體圖形的側面展開，如圖所示，連接AC，則AC為蝸牛爬行的最短路線．(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125.故蝸牛爬行的最短路程的平方為125.6．如圖，桌子上放著一個長方體盒子，長、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB的中點C處有一滴蜜糖，一只小蟲從E處沿盒子表面爬到C處去吃．求小蟲爬行的最短路程．【答案】解：分為三種情況．情況一如圖①，連接EC.在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝eq\f(1,2)×30＝15(cm)．由勾股定理，得EC2＝202＋152＝625，所以EC＝25cm.情況二如圖②，連接EC.根據勾股定理可求得EC2＝82＋(30＋12＋15)2＝3313.情況三如圖③，連接EC.根據勾股定理可求得EC2＝122＋(30＋8＋15)2＝2953.所以小蟲爬行的最短路程是25cm.7．有一個如圖所示的長方體透明玻璃魚缸，假設其長AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm，在水面上緊貼內壁G處有一魚餌，G在水面線EF上，且EG＝60cm.一小蟲想從魚缸外的A點沿壁爬進魚缸內G處吃魚餌．(1)小蟲應該走怎樣的路線才能使爬的