專(zhuān)題5.3平行線(xiàn)中的常見(jiàn)模型（壓軸題專(zhuān)項(xiàng)講練）（人教版）

專(zhuān)題5.3平行線(xiàn)中的常見(jiàn)模型【典例1】如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE//（1）請(qǐng)你按小明的思路，寫(xiě)出∠APC度數(shù)的求解過(guò)程；（2）如圖3，AB//CD，點(diǎn)P在直線(xiàn)BD上運(yùn)動(dòng)，記∠PAB=∠α，①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則∠APC與∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)P不在線(xiàn)段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APC與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)P作PE//（2）①過(guò)P作PE//AB②分P在BD延長(zhǎng)線(xiàn)上和P在DB延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得出答案．【解題過(guò)程】解：（1）如圖2，過(guò)P作PE∵AB//∴PE//∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）①∠APC=∠α+∠β，理由：如圖3，過(guò)P作PE//∵AB//∴AB//∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；②∠APC=∠α?∠β如備用圖1，當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，∠APC=∠α?∠β；理由：如備用圖1，過(guò)P作PG//∵AB//∴AB//∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，∴∠APC=∠APG?∠CPG=∠α?∠β；如備用圖2所示，當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，∠APC=∠β?∠α；理由：如備用圖2，過(guò)P作PG//∵AB//∴AB//∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，∴∠APC=∠CPG?∠APG=∠β?∠α；綜上所述，∠APC=∠α?∠β1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在圖中，若AB//CD，又得到什么結(jié)論？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖①可得∠E=∠B+∠D，根據(jù)圖②可得∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，即可根據(jù)規(guī)律得出題目的結(jié)論．【解題過(guò)程】解：①如圖：過(guò)點(diǎn)E作EF//∵AB//CD，EF//∴AB//∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∴∠E=∠B+∠D；②如圖，過(guò)E點(diǎn)作EH//AB，過(guò)F點(diǎn)作FJ//AB∵EH//∴AB//∴∠ABE=∠BEH，∠HEF=∠EFJ，∠JFG=∠FGI，∠IGD=∠GDC，∴∠ABE+∠EFJ+∠JFG+∠GDC=∠BEH+∠HEF+∠FGI+∠IGD，即∠B+∠F+∠D=∠E+∠G;③如圖：，根據(jù)以上規(guī)律可得：∠B+∠F2．（2021春·廣東東莞·七年級(jí)東莞市長(zhǎng)安實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫(xiě)出求解過(guò)程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．【思路點(diǎn)撥】（1）由兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線(xiàn)，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1，同理可得答案；（3）過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線(xiàn)，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1，可得答案；（4）由（2）（3）類(lèi)比可得答案．【解題過(guò)程】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：180°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線(xiàn)EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線(xiàn)，類(lèi)比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案為：540°；（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n1）×180°，故答案為：（n1）×180°．3．（2021春·廣東河源·七年級(jí)河源市第二中學(xué)?？计谥校┮阎本€(xiàn)l1//l2，A是l1上的一點(diǎn)，B是l2上的一點(diǎn)，直線(xiàn)l3和直線(xiàn)l1，l2交于C和D，直線(xiàn)CD上有一點(diǎn)P．（1）如果P點(diǎn)在C，D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與C，D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，不需要證明）【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE//l1，由“平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行”可得出PE//l1//（2）按點(diǎn)P的兩種情況分類(lèi)討論：①當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l1上方時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l2下方時(shí)，同理（1）可得∠PAC=∠APE、【解題過(guò)程】解：（1）∠PAC+∠PBD=∠APB．過(guò)點(diǎn)P作PE//l∵PE//l1，∴PE//l∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠PAC+∠PBD=∠APB．（2）結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l1上方時(shí)，∠PBD?∠PAC=∠APB；當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l2下方時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l1上方時(shí)，如圖2所示．過(guò)點(diǎn)P作PE//∵PE//l1，∴PE//l∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠BPE?∠APE，∴∠PBD?∠PAC=∠APB．②當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l2下方時(shí)，如圖3所示．過(guò)點(diǎn)P作PE//∵PE//l1，∴PE//l∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠APE?∠BPE，∴∠PAC?∠PBD=∠APB．4．（2022春·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線(xiàn)AB//CD，EF是截線(xiàn)，點(diǎn)M在直線(xiàn)AB、CD之間．（1）如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；（2）如圖2，在∠GHC的角平分線(xiàn)上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得【解題過(guò)程】（1）解：如圖：過(guò)點(diǎn)M作MN∥∴MN∥∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，∵∠M=∠GMN+∠HMN，∴∠M=（2）解：∠GQH=180°?∠M，理由如下：如圖：過(guò)點(diǎn)M作MN∥由（1）知∠M=∵HM平分∠GHC，∴∠CHM=∠GHM，∵∠AGM＝∠HGQ，∴∠M=∠HGQ+∠GHM，∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，∴∠GQH=180°?∠M．5．（2022春·廣東東莞·七年級(jí)東莞市光明中學(xué)?？计谥校╅喿x下面內(nèi)容，并解答問(wèn)題．已知：如圖1，AB∥CD，直線(xiàn)EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．∠BEF的平分線(xiàn)與∠DFE的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G．（1）求證：EG⊥FG；（2）填空，并從下列①、②兩題中任選一題說(shuō)明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作∠BEG的平分線(xiàn)與∠DFG的平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，得到圖2，則∠EMF的度數(shù)為．②如圖3，AB∥CD，直線(xiàn)EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．點(diǎn)O在直線(xiàn)AB，CD之間，且在直線(xiàn)EF右側(cè)，∠BEO的平分線(xiàn)與∠DFO的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，則∠EOF與∠EPF滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為．【思路點(diǎn)撥】（1）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；（2）①利用基本結(jié)論∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可；②利用基本結(jié)論∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，求解即可．【解題過(guò)程】（1）證明：如圖，過(guò)G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，∴∠∴∠BEF+∠DFE=180°，∵EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠DFE，∴∠GEB=12∠BEF∴∠GEB+∠GFD=1在ΔEFG中，∠GEF+∠GFE+∠G=180°∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°，∴EG⊥FG；（2）解：①如圖2中，由題意，∠BEG+∠DFG=90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=1∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°，故答案為：45°；②結(jié)論：∠EOF=2∠EPF．理由：如圖3中，由題意，∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO=2∠BEP，∠DFO=2∠DFP，∴∠EOF=2∠EPF，故答案為：∠EOF=2∠EPF．6．（2022春·廣東茂名·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；（1）若∠E＝60°，則∠F＝；（2）請(qǐng)?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由；（3）如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長(zhǎng)FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）如圖1，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）如圖1，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠D+∠DFN=180°，于是得到結(jié)論；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FH//EP，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12【解題過(guò)程】（1）解：如圖1，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；故答案為：90°；（2）解：如圖1，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°；（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FH//EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF=x°∵FH//EP，∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，∵∠HFG=∠EFG?∠EFH=15°，∴∠P=15°．7．（2021春·山西晉中·七年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與探究【問(wèn)題情境】王老師組織同學(xué)們開(kāi)展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)（1）如圖1，EF//MN，點(diǎn)A、B分別為直線(xiàn)EF、MN上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為平行線(xiàn)間一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠PAF、∠PBN和【問(wèn)題遷移】（2）如圖2，射線(xiàn)OM與射線(xiàn)ON交于點(diǎn)O，直線(xiàn)m//n，直線(xiàn)m分別交OM、ON于點(diǎn)A、D，直線(xiàn)n分別交OM、ON于點(diǎn)B、C，點(diǎn)P在射線(xiàn)①當(dāng)點(diǎn)P在A、B（不與A、B重合）兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②若點(diǎn)P不在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)都不重合），請(qǐng)你畫(huà)出滿(mǎn)足條件的所有圖形并直接寫(xiě)出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】（1）作PQ∥EF，由平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到答案；（2）①過(guò)P作PE//AD交CD于E，由平行線(xiàn)的性質(zhì)，得到∠α=∠DPE，②根據(jù)題意，可對(duì)點(diǎn)P進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)P在BA延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)；當(dāng)P在BO之間時(shí)；與①同理，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可求出答案．【解題過(guò)程】解：（1）作PQ∥EF，如圖：∵EF//∴EF//∴∠PAF+∠APQ=180°，∠PBN+∠BPQ=180°，∵∠APB=∠APQ+∠BPQ∴∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；（2）①∠CPD=∠α+∠β；理由如下：如圖，過(guò)P作PE//AD交CD于∵AD//∴AD//∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；②當(dāng)點(diǎn)P在BA延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，如備用圖1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=β，∠EPD=α，∴∠CPD=∠β?∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，如備用圖2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=α，∠CPE=β，∴∠CPD=∠α?∠β．8．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)南京市人民中學(xué)校聯(lián)考期中）已知AB∥CD，∠ABE的角分線(xiàn)與∠CDE的角分線(xiàn)相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線(xiàn)，且∠BED＝100°，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝13∠ABF，∠CDM＝13∠CDF，∠BED＝α°，求∠（3）若∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠M與∠【思路點(diǎn)撥】（1）首先作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分線(xiàn)的定義得到∠ABF+∠CDF=130°，從而得到∠BFD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可求∠M的度數(shù)；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代換即可求解；（3）先由已知得到∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【解題過(guò)程】解：（1）如圖1，作EG//AB，F(xiàn)H//AB，∵AB∥∴EG∥∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，∵∠BED=∠BEG+∠DEG=100°，∴∠ABE+∠CDE=260°，∵∠ABE的角平分線(xiàn)和∠CDE的角平分線(xiàn)相交于F，∴∠ABF+∠CDF=130°，∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=130°，∵BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線(xiàn)，∴∠MBF=12∠ABF∴∠MBF+∠MDF=65°，∴∠BMD=130°?65°=65°；（2）如圖2，∵∠ABM=13∠ABF∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，∵∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠BED=360°，∵∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴6∠BMD+∠BED=360°，∴∠BMD=360°?α°（3）∵∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠∴∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，∵∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，∴∠ABE=2n∠ABM，∠CDE=2n∠CDM，∴2n∠ABM+2n∠CDM+∠BED=360°，∵∠M=∠ABM+∠CDM，∴2n∠M+∠BED=360°．9．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知直線(xiàn)AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND【思路點(diǎn)撥】（1）首先過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)以及內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可證得∠PAB+∠CDP∠APD=180°；（3）先證明∠NOD=12∠PAB，∠ODN=12∠【解題過(guò)程】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP∠APD=180°，如圖，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°∠CDP，∵∠APD=∠APQ∠DPQ，∴∠APD=∠PAB(180°∠CDP)=∠PAB+∠CDP180°；∴∠PAB+∠CDP∠APD=180°；(3)設(shè)PD交AN于O，如圖，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由題知∠PAN+12∠PAB=∠APD，即∠PAN+12∠又∵∠POA+∠PAN=180°∠APO=90°，∴∠POA=12∠PAB∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=12∠PAB∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=12∠PDC∴∠AND=180°∠NOD∠ODN=180°12(∠PAB+∠PDC由(2)得∠PAB+∠CDP∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°12(∠PAB+∠PDC=180°12(180°+∠APD=180°12=45°，即∠AND=45°．10．（2022春·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，已知AB//CD，P是直線(xiàn)AB，CD外的一點(diǎn)，PF⊥CD于點(diǎn)F，PE交AB于點(diǎn)E，滿(mǎn)足∠FPE＝60°．（1）求∠AEP的度數(shù)；（2）如圖2，射線(xiàn)PN從PE出發(fā)，以每秒10°的速度繞P點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，當(dāng)PN到達(dá)PF時(shí)立刻返回至PE，然后繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線(xiàn)EM從EA出發(fā)，以相同的速度繞E點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至EP后停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)射線(xiàn)PN也停止運(yùn)動(dòng)．若射線(xiàn)PN、射線(xiàn)EM同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)射線(xiàn)PN平分∠EPF時(shí)，求∠MEP的度數(shù)（0°＜∠MEP＜180°）；②當(dāng)直線(xiàn)EM與直線(xiàn)PN相交所成的銳角是60°時(shí)，則t＝．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)可得答案；（2）①由角平分線(xiàn)的定義得∠EPN＝30°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得答案；②利用三角形外角性質(zhì)列出方程，通過(guò)解方程即可得到問(wèn)題的答案．【解題過(guò)程】解：（1）如圖1，∵AB//CD，PF⊥CD，∴PF⊥AB，∴∠AMP＝90°，∵∠FPE＝60°，∴∠AEP＝∠FPE+∠AMP＝150°；（2）如圖2，①當(dāng)PN平分∠EPF時(shí)，∠EPN＝30°時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝3010＝3（秒），此時(shí)ME∴∠AEM＝3×10°＝30°，∴∠MEP＝150°﹣30°＝120°；PN繼續(xù)運(yùn)動(dòng)至PF時(shí)，返回時(shí)，當(dāng)PN平分∠EPF時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間至6010+30∴∠AEM＝9×10°＝90°，∴∠MEP＝150°﹣90°＝60°；當(dāng)?shù)诙蜳E運(yùn)動(dòng)至PF時(shí)，當(dāng)PN平分∠EPF時(shí)，運(yùn)動(dòng)了6010∴∠AEM＝15×10°＝150°，∴∠MEP＝150°﹣150°＝0°，不符合題意；綜上所述，∠MEP的度數(shù)為60°或120°；②如圖3，當(dāng)0≤t≤6時(shí)，此時(shí)∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝180°﹣∠HPE﹣∠PEH＝180°﹣10t﹣30°﹣10t＝150°﹣20t，當(dāng)150°﹣20t＝120°時(shí)，t＝32當(dāng)150°﹣20t＝60°時(shí)，t＝92當(dāng)6＜t≤12時(shí)，此時(shí)∠EPN＝120°﹣10t，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝30°，不成立，當(dāng)12＜t≤15時(shí)，此時(shí)∠EPN＝10t﹣120°，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝270°﹣20t，∠PHE＝270°﹣20t＝60°時(shí)，t＝212（不合題意），∠PHE＝270°﹣20t＝120°，t＝15故答案為：32或911．（2022春·湖北武漢·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，MN∥PQ，點(diǎn)C、B分別在直線(xiàn)MN、PQ上，點(diǎn)A在直線(xiàn)MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點(diǎn)E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD∥MN，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根據(jù)角的和差等量代換即可得解；（2）由兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由鄰補(bǔ)角定義得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代換即可得解；（3）由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分線(xiàn)的定義及平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可求解．【解題過(guò)程】解：（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD∥MN，∵M(jìn)N∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．12．（2021春·浙江·七年級(jí)期中）為更好地理清平行線(xiàn)與相關(guān)角的關(guān)系，小明爸爸為他準(zhǔn)備了四根細(xì)直木條AB、BC，CD、DE，做成折線(xiàn)ABCDE，如圖1，且在折點(diǎn)B、C、D處均可自由轉(zhuǎn)出．（1）如圖2，小明將折線(xiàn)調(diào)節(jié)成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°，判別AB是否平行于ED，并說(shuō)明理由；（2）如圖3，若∠C=∠D=25°，調(diào)整線(xiàn)段AB、BC使得AB//CD，求出此時(shí)∠B的度數(shù)，要求畫(huà)出圖形，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程．（3）若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE，求出此時(shí)∠B的度數(shù)，要求畫(huà)出圖形，直接寫(xiě)出度數(shù)，不要求計(jì)算過(guò)程．【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，利用平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)解答即可；（2）分別畫(huà)圖3和圖4，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可計(jì)算∠B的度數(shù)；（3）分別畫(huà)圖，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)計(jì)算出∠B的度數(shù)．【解題過(guò)程】解：（1）AB∥DE，理由是：如下圖，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，∴∠B=∠BCF=50°，∵∠BCD=75°，∴∠DCF=25°，∵∠D=25°，∴∠D=∠DCF=25°，∴CF∥DE，∴AB∥DE；（2）如下圖，∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD=25°；如圖4：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°25°=155°；（3）由（1）得：∠B=85°25°=60°；如圖5，過(guò)C作CF∥AB，則AB∥CF∥CD，∴∠FCD=∠D=25°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°25°=60°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠B=120°；如圖6，∵∠C=85°，∠D=25°，∴∠CFD=180°85°25°=70°，∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=70°，如圖7，同理得：∠B=25°+85°=110°，綜上所述，∠B的度數(shù)為60°或120°或70°或110°．13．（2022春·廣東珠?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）已知AM//CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于B．（1）如圖1，點(diǎn)B在兩條平行線(xiàn)外，則∠A與∠C之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（2）點(diǎn)B在兩條平行線(xiàn)之間，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D．①如圖2，說(shuō)明∠ABD=∠C成立的理由；②如圖3，BF平分∠DBC交DM于點(diǎn)F,BE平分∠ABD交DM于點(diǎn)E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）①過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)平行線(xiàn)找角的聯(lián)系即可求解；②先過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可得到∠ABE=15°，進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【解題過(guò)程】解：（1）如圖1，AM與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴BG//∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．14．（2021春·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，AB∥CD．點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可求解；過(guò)F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線(xiàn)的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進(jìn)而可求解；（3）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的定義可推知∠FEQ=12∠BME【解題過(guò)程】解：（1）過(guò)E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過(guò)F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒(méi)發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝12∠MEN＝12（∠BME＋∠END），∠ENP＝12∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝12（∠BME＋∠END）﹣12∠END＝12∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝1215．（2021秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，AB∥CD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G，F(xiàn)在AB上，點(diǎn)H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．（1）如圖1，求證：HG⊥HE；（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點(diǎn)M，求證：∠GHE＝2∠GME；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點(diǎn)K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)解答即可．【解題過(guò)程】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∴∠BGM＝∠HGM＝12∠BGH∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝12∠HED∵M(jìn)Q∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵M(jìn)Q∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；（3）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥AB，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB，由∠KFE：∠MGH＝13：5，設(shè)∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣10x，∵FK平分∠AFE，∴∠AFK＝∠KFE＝12∠AFE即12解得：x＝5°，∴∠BGH＝10x＝50°，∵HP∥AB，HP∥CD，∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，∵∠GHE＝90°，∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED＝40°．16．（2021春·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，