天津市寶坻區(qū)何仉中學2025屆數學高二上期末檢測模擬試題含解析

天津市寶坻區(qū)何仉中學2025屆數學高二上期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，已知，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.2．函數的單調增區(qū)間為（）A. B.C. D.3．已知是雙曲線的左焦點，為右頂點，是雙曲線上的點，軸，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．已知等差數列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.245．有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是6”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則下列判斷正確的是（）A.甲與丙是互斥事件 B.乙與丙是對立事件C.甲與丁是對立事件 D.丙與丁是互斥事件6．已知數列的通項公式為，則（）A.12 B.14C.16 D.187．為比較甲、乙兩地某月時的氣溫狀況，隨機選取該月中的天，將這天中時的氣溫數據（單位：℃）制成如圖所示的莖葉圖（十位數字為莖，個位數字為葉）.考慮以下結論：①甲地該月時的平均氣溫低于乙地該月時的平均氣溫；②甲地該月時的平均氣溫高于乙地該月時的平均氣溫；③甲地該月時的氣溫的標準差小于乙地該月時的氣溫的標準差；④甲地該月時的氣溫的標準差大于乙地該月時的氣溫的標準差.其中根據莖葉圖能得到的統計結論的編號為（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④8．中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則等于（）A. B.C. D.9．學校為了解學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了n位同學進行調查，結果顯示這些同學的支出都在（單位：元）內，其中支出在（單位：元）內的同學有67人，其頻率分布直方圖如圖所示，則n的值為（）A.100 B.120C.130 D.39010．在等差數列中，為其前n項和，，則（）A.55 B.65C.15 D.6011．已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.是函數的極大值點B.函數在區(qū)間上單調遞增C.是函數的最小值點D.曲線在處切線的斜率小于零12．拋物線的焦點到準線的距離是A.2 B.4C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的圖象在點P（）處的切線方程是，則_____14．如圖，在正四棱錐中，為棱PB的中點，為棱PD的中點，則棱錐與棱錐的體積之比為______15．如圖，長方體中，，，，，分別是，，的中點，則異面直線與所成角為__.16．若方程表示的曲線是圓，則實數的k取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在柯橋古鎮(zhèn)的開發(fā)中，為保護古橋OA，規(guī)劃在O的正東方向100m的C處向對岸AB建一座新橋，使新橋BC與河岸AB垂直，并設立一個以線段OA上一點M為圓心，與直線BC相切的圓形保護區(qū)（如圖所示），且古橋兩端O和A與圓上任意一點的距離都不小于50m，經測量，點A位于點O正南方向25m，，建立如圖所示直角坐標系（1）求新橋BC的長度；（2）當OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最??？18．（12分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求B.（2）___________，若問題中的三角形存在，試求出；若問題中的三角形不存在，請說明理由.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在橫線上.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.19．（12分）求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）經過點，；（2）長軸長是短軸長的3倍，且經過點20．（12分）設：，：.（1）若命題“，是真命題”，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.21．（12分）設，分別是橢圓（）的左、右焦點，E的離心率為.短軸長為2.（1）求橢圓E的方程：（2）過點的直線l交橢圓E于A，B兩點，是否存在實數t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.22．（10分）如圖，在長方體中，，，，M為上一點，且（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用三線垂直建立空間直角坐標系，將線面角轉化為直線的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進行求解.【詳解】以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖所示），則，，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以平面的一個法向量為；設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：D.2、D【解析】先求定義域，再求導數，令解不等式，即可.【詳解】函數的定義域為令，解得故選：D【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題.3、C【解析】根據條件可得與，進而可得，，的關系，可得解.【詳解】由已知得，設點，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.4、B【解析】利用等差數列的性質求解即可.【詳解】解：由等差數列的性質得.故選：B5、D【解析】根據互斥事件和對立事件的定義判斷【詳解】當第一次取出1，第二次取出4時，甲丙同時發(fā)生，不互斥不對立；第二次取出的球的數字是6與兩次取出的球的數字之和是5不可能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，不對立，當第一次取出1，第二次取出3時，甲與丁同時發(fā)生，不互斥不對立，兩次取出的球的數字之和是5與兩次取出的球的數字之和是偶數不可以同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，因此是互斥不對立故選：D6、D【解析】利用給定的通項公式直接計算即得.【詳解】因數列的通項公式為，則有，所以.故選：D7、B【解析】根據莖葉圖數據求出平均數及標準差即可【詳解】由莖葉圖知甲地該月時的平均氣溫為，標準差為由莖葉圖知乙地該月時的平均氣溫為，標準差為則甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫，故①正確，乙平均氣溫的標準差小于甲的標準差，故④正確，故正確的是①④，故選：B8、A【解析】由題得，進而根據余弦定理求解即可.【詳解】解：依題意，即，所以，所以，由于，所以故選：A9、A【解析】根據小矩形的面積之和，算出位于10～30的2組數的頻率之和為0.33,從而得到位于30～50的數據的頻率之和為1-0.33=0.67，再由頻率計算公式即可算出樣本容量的值.【詳解】位于10～20、20～30的小矩形的面積分別為位于10～20、20～30的據的頻率分別為0.1、0.23可得位于10～30的前3組數的頻率之和為0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50數據的頻率之和為1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同學有67人,即位于30～50的頻數為67，∴根據頻率計算公式，可得解之得.故選：A10、B【解析】根據等差數列求和公式結合等差數列的性質即可求得.【詳解】解析：因為為等差數列，所以，即，.故選:B11、B【解析】根據導函數的圖象，得到函數的單調區(qū)間與極值點，即可判斷；【詳解】解：由導函數的圖象可知，當時，當時，當時，當或時，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在處取得極小值即最小值，所以是函數的極小值點與最小值點，因為，所以曲線在處切線的斜率大于零，故選：B12、D【解析】因為拋物線方程可化為，所以拋物線的焦點到準線的距離是，故選D.考點：1、拋物線的標準方程；2、拋物線的幾何性質.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據導數的幾何意義，結合切線方程，即可求解.【詳解】根據導數的幾何意義可知，，且，所以.故答案為：14、【解析】根據圖形可求出與棱錐的體積之比，即可求出結果【詳解】如圖所示：棱錐可看成正四棱錐減去四個小棱錐的體積得到，設正四棱錐的體積為，為PB的中點，為PD的中點，所以，而，同理，故棱錐的體積的為，即棱錐與棱錐的體積之比為故答案為：.15、【解析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所成角.【詳解】解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，0，，，0，，，2，，，1，，，，設異面直線與所成角為，，異面直線與所成角為.故答案為：.16、【解析】根據二元二次方程表示圓的條件求解【詳解】由題意，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）80m；（2）.【解析】（1）根據斜率的公式，結合解方程組法和兩點間距離公式進行求解即可；（2）根據圓的切線性質進行求解即可.【小問1詳解】由題意，可知，，∵∴直線BC方程：①，同理可得：直線AB方程：②由①②可知，∴，從而得故新橋BC得長度為80m【小問2詳解】設，則，圓心，∵直線BC與圓M相切，∴半徑，又因為，∵∴，所以當時，圓M的面積達到最小18、（1）（2）答案見解析【解析】（1）由正弦定理及正弦的兩角和公式可求解；（2）選擇條件①，由正弦定理及輔助角公式可求解；選擇條件②，由余弦定理及正切三角函數可求解；選擇條件③，由余弦定理可求解【小問1詳解】由，可得，則.∴，在中，，則，∵，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】選擇條件①，在中，，可得，∵，∴，∴，根據輔助角公式，可得，∵，∴，即，故.選擇條件②由，得，∵，∴，因此，，整理得，即，則.在中，，∴.故.選擇條件③由，得，即，整理得，由于，則方程無解，故不存在這樣的三角形.19、（1）；（2）或.【解析】（1）由已知可得，，且焦點在軸上，進而可得橢圓的標準方程；（2）由已知可得，，此時焦點在軸上，或，，此時焦點在軸上，進而可得橢圓的標準方程；【小問1詳解】解：橢圓經過點，，，，，且焦點在軸上，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：長軸長是短軸長的3倍，且經過點，當點在長軸上時，，，此時焦點在軸上，此時橢圓的標準方程為；當點在短軸上時，，，此時焦點在軸上，此時橢圓的標準方程.綜合得橢圓的方程為或.20、（1）（2）【解析】（1）解不等式得到解集，根據題意列出不等式組，求出的取值范圍；（2）先解不等式，再根據充分不必要條件得到是的真子集，進而求出的取值范圍.【小問1詳解】因為，由可得：，因為“，”為真命題，所以，即，解得：.即的取值范圍是.【小問2詳解】因為，由可得：，，因為是的充分不必要條件，所以是的真子集，所以（等號不同時?。獾茫?，即的取值范圍是.21、（1）（2）存在，【解析】(1)由條件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得橢圓E的方程：(2)當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立直線的方程與橢圓方程化簡可得，設，，可得，，由此證明，再證明當直線的斜率不存在時也成立，由此確定存在實數t，使得恒成立【小問1詳解】由已知得，離心率，所以，故橢圓E的方程為.【小問2詳解】當直線l的斜率存在時，設，，，聯立方程組得，，所以，..，，所以.所以.當直線l的斜率不存在時，，聯立方程組，得，.，，所以.綜上，存在實數使得恒成立.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．22、（1）