陜西省韓城市司馬遷中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

陜西省韓城市司馬遷中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.C.或 D.或2．若直線與平行，則實(shí)數(shù)m等于（）A.1 B.C.4 D.03．已知，為橢圓上關(guān)于短軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，、分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，設(shè)，、分別為直線，的斜率，則的最小值為（）A. B.C. D.4．雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為（）A.1 B.C.2 D.5．已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切，且與定圓C：外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程A. B.C. D.6．若不等式組表示的區(qū)域?yàn)椋坏仁奖硎镜膮^(qū)域?yàn)?，向區(qū)域均勻隨機(jī)撒顆芝麻，則落在區(qū)域中的芝麻數(shù)約為（）A. B.C. D.7．如果雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.8．已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C. D.39．橢圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）A. B.C. D.10．等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，且則的實(shí)軸長(zhǎng)為A.1 B.2C.4 D.811．點(diǎn)到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.412．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，則時(shí)A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則__________.14．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，且，則使得成立的x的取值范圍是_________.15．容積為V圓柱形密封金屬飲料罐，它的高與底面半徑比值為_(kāi)__________時(shí)用料最省.16．設(shè)數(shù)列滿足且，則________.數(shù)列的通項(xiàng)=________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直線PA與CD所成角為60°.（1）求直線PD與平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：19．（12分）如圖1是直角梯形，以為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且平面與平面垂直，如圖2（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在點(diǎn)P，使平面與平面的夾角為？若存在，則求三棱錐的體積，若不存在，則說(shuō)明理由20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）若直線l過(guò)圓圓心D且與圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值21．（12分）等差數(shù)列的公差d不為0，滿足成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列與通項(xiàng)公式：（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）在①，；②，，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解決問(wèn)題問(wèn)題：設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，________________，若，判斷是否存在最大值，若存在，求出取最大值時(shí)的值；若不存在，說(shuō)明理由注：如果選擇多個(gè)條件分別解答．按第一個(gè)解答記分

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，解得，然后分，討論求解.【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，所以，解得，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以，所以，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，所以，所以，故選：D2、B【解析】?jī)芍本€平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B3、A【解析】設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，并表示出兩個(gè)斜率、，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成與點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)的代數(shù)式，再與橢圓有公共點(diǎn)解決即可.【詳解】橢圓中：，設(shè)則，則，，令，則它對(duì)應(yīng)直線由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A4、B【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求出，即可求雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng).【詳解】由可得：，，即，實(shí)軸長(zhǎng)，故選：B5、D【解析】由題意動(dòng)圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切∴動(dòng)點(diǎn)M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C（0，-3）為焦點(diǎn)，直線y=3為準(zhǔn)線的拋物線故所求M的軌跡方程為考點(diǎn)：軌跡方程6、A【解析】作出兩平面區(qū)域，計(jì)算兩區(qū)域的公共面積，利用幾何概型得出芝麻落在區(qū)域Γ內(nèi)的概率，進(jìn)而可得答案.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中三角形ABC及其內(nèi)部，不等式表示的區(qū)域如下圖中的圓及其內(nèi)部：由圖可得，A點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為.區(qū)域即的面積為，區(qū)域的面積為圓的面積，即，其中區(qū)域和區(qū)域不相交的部分面積即空白面積，所以區(qū)域和區(qū)域相交的部分面積，所以落入?yún)^(qū)域的概率為.所以均勻隨機(jī)撒顆芝麻，則落在區(qū)域中芝麻數(shù)約為.故選:A.7、D【解析】根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，然后將點(diǎn)代入，進(jìn)而求得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以設(shè)雙曲線方程為，將代入得：，即雙曲線方程為.故選：D.8、D【解析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，求得，利用拋物線定義，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，消元后，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為聯(lián)立可得，其，設(shè)坐標(biāo)為，顯然，則，，根據(jù)拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考察拋物線中的最值問(wèn)題，涉及到韋達(dá)定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關(guān)系，以及拋物線的定義轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.9、A【解析】先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故選:A10、B【解析】設(shè)等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準(zhǔn)線方程為設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個(gè)交點(diǎn),，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實(shí)軸長(zhǎng)為故選11、B【解析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】，答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于簡(jiǎn)單題.12、B【解析】，所以是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，時(shí)則都是增函數(shù)，由對(duì)稱性可知時(shí)遞增，遞減，所以考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性單調(diào)性二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值【詳解】解：因?yàn)樵谥?，，，，所以由余弦定理可得，所以，即，則故答案為：14、【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可得到答案；【詳解】，令，，單調(diào)遞減，且，，x的取值范圍是，故答案為：15、【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，容積為，由，得到，進(jìn)而求得表面積，結(jié)合不等式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，容積為，則，即有，可得圓柱的表面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)最小，即用料最省，此時(shí)，可得.故答案為：.16、①.5②.【解析】設(shè)，根據(jù)題意得到數(shù)列是等差數(shù)列，求得，得到，利用，結(jié)合“累加法”，即可求得.【詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，所以當(dāng)時(shí)，，，解得，設(shè)，則，且，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，可得，其中也滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1），所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，然后過(guò)P在平面PAB內(nèi)作，可得平面ABCD，從而可求出答案.（2）可證平面PAB，過(guò)B在平面PAB內(nèi)作，連結(jié)CF，則是二面角的平面角，從而可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，可知，是正三角形.過(guò)P在平面PAB內(nèi)作，垂足為E，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以平面ABCD，是直線PD與平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直線PD與平面ABCD所成角的正弦值為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，平面平面ABCD，平面平面ABCD又平面ABCD，所以平面PAB.又平面PAB.則過(guò)B在平面PAB內(nèi)作，垂足為F，連結(jié)CF，又,則平面,又平面所以，所以是二面角的平面角.因?yàn)?，，所以，從而所以二面角正弦值?18、（1）證明見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】證明：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差得，所以，，則，因?yàn)?，則，可得，，，以此類推，可知對(duì)任意的，，所以，，因此，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，所以，，解得.【小問(wèn)2詳解】證明：，則，其中，所以，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，，，上式下式，得，所以，，因此，.19、（1）（2）存在，靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn).【解析】（1）由題意建立空間直接坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，由求解；（2）假設(shè)棱上存在點(diǎn)P，設(shè)，求得點(diǎn)p坐標(biāo)，再求得平面PBE的一個(gè)法向量，由平面，得到為平面的一個(gè)法向量，然后由求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋运倪呅蜛BCE是平行四邊形，又，所以四邊形ABCE是菱形，，又平面與平面垂直，又平面與平面=EB，所以平面，建立如圖所示空間直接坐標(biāo)系：則，所以，則，所以異面直線與所成角的余弦值是；【小問(wèn)2詳解】假設(shè)棱上存在點(diǎn)P，使平面與平面的夾角為，設(shè)，則，又，設(shè)平面PBE的一個(gè)法向量為，則，即，則，由平面，則為平面的一個(gè)法向量，所以，解得.20、（1）（2）23【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義判斷軌跡，直接寫出軌跡方程即可；（2）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算，再由二次函數(shù)求最值即可.【小問(wèn)1詳解】由，則軌跡C是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡C的方程為，則，可得，，所以C的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，且，圓心，則因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，取最小值23.21、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到方程求出公差，即可求出的通項(xiàng)公式，由，當(dāng)時(shí)，求出，當(dāng)時(shí)，兩式作差，即可求出；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和即可；【小問(wèn)1詳解】解：由已知，又，所以故解得（舍去）或∴∵①故當(dāng)時(shí)，可知，∴，當(dāng)時(shí)，可知②①②得∴又也滿足，故當(dāng)時(shí)，都有；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，故③，∴④，由③④得整理得.22、答案不唯一，具體見(jiàn)解析【解析】選①：易得，法一：令求n，即可為何值時(shí)取最大值；法二：寫出，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷為何值時(shí)有最大值；選②：由數(shù)列前n項(xiàng)和及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)易得、即可確定有最