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2025屆遼寧省丹東市鳳城市通遠(yuǎn)堡高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如果向量,,共面,則實(shí)數(shù)的值是()A. B.C. D.2.雙曲線x21的漸近線方程是()A.y=±x B.y=±xC.y=± D.y=±2x3.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)直線的傾斜角是()A. B.C. D.4.已知命題是真命題,那么的取值范圍是()A. B.C. D.5.某社區(qū)醫(yī)院為了了解社區(qū)老人與兒童每月患感冒的人數(shù)y(人)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的患?。ǜ忻埃┤藬?shù)與當(dāng)月平均氣溫,其數(shù)據(jù)如下表:月平均氣溫x(℃)171382月患病y(人)24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的,氣象部門(mén)預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為9℃,據(jù)此估計(jì)該社區(qū)下個(gè)月老年人與兒童患病人數(shù)約為()A.38 B.40C.46 D.586.已知向量,,則等于()A. B.C. D.7.在四棱錐中,底面是正方形,為的中點(diǎn),若,則()A B.C. D.8.已知直線與垂直,則為()A.2 B.C.-2 D.9.在等比數(shù)列中,,,則等于()A. B.5C. D.910.若,在直線l上,則直線l一個(gè)方向向量為()A. B.C. D.11.已知函數(shù),則的值為()A. B.C.0 D.112.內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若,則一定是()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足,若對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______14.已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),則點(diǎn)到直線距離的最小值為_(kāi)_____15.過(guò)點(diǎn),且周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____16.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列,,若成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,數(shù)列的前項(xiàng)和,求.18.(12分)已知數(shù)列滿足各項(xiàng)均不為0,,且,.(1)證明:為等差數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;(2)令,,求.19.(12分)已知數(shù)列中,,().(1)求證:是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和為.20.(12分)計(jì)算:(1)求函數(shù)(a,b為正常數(shù))的導(dǎo)數(shù)(2)已知點(diǎn)P在曲線上,為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則的取值范圍21.(12分)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,求數(shù)列的前n項(xiàng)和22.(10分)在等差數(shù)列中,,.(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè),由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出方程組,即可解得的值.【詳解】由于向量,,共面,設(shè),可得,解得.故選:B.2、D【解析】根據(jù)雙曲線漸近線定義即可求解.【詳解】雙曲線的方程為,雙曲線的漸近線方程為,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于容易題.3、B【解析】求出直線的斜率后可得傾斜角【詳解】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率為,設(shè)該直線的傾斜角為,則,又,所以.故選:B4、C【解析】依據(jù)題意列出關(guān)于的不等式,即可求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),僅當(dāng)時(shí)成立,不符合題意;當(dāng)時(shí),若成立,則,解之得綜上,取值范圍是故選:C5、B【解析】由表格數(shù)據(jù)求樣本中心,根據(jù)線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn),將點(diǎn)代入方程求參數(shù),寫(xiě)出回歸方程,進(jìn)而估計(jì)下個(gè)月老年人與兒童患病人數(shù).【詳解】由表格得為,由回歸方程中的,∴,解得,即,當(dāng)時(shí),.故選:B.6、C【解析】根據(jù)題意,結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,即可求解.【詳解】由,,得,因此.故選:C.7、C【解析】由為的中點(diǎn),根據(jù)向量的運(yùn)算法則,可得,即可求解.【詳解】由底面是正方形,E為的中點(diǎn),且,根據(jù)向量的運(yùn)算法則,可得.故選:C.8、A【解析】利用一般式中直線垂直的系數(shù)關(guān)系列式求解.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直,故選:A.9、D【解析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比,進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè),,∴故選:D10、C【解析】利用直線的方向向量的定義直接求解.【詳解】因?yàn)?,在直線l上,所以直線l的一個(gè)方向向量為.故選:C.11、B【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后將代入導(dǎo)數(shù)中可得結(jié)果.【詳解】,則,則,故選:B12、C【解析】利用余弦定理角化邊整理可得.【詳解】由余弦定理有,整理得,故一定是直角三角形.故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)給定條件求出,構(gòu)造新數(shù)列并借助單調(diào)性求解作答.【詳解】在數(shù)列中,,當(dāng),時(shí),,則有,而滿足上式,因此,,,顯然數(shù)列是遞增數(shù)列,且,,又對(duì)任意恒成立,則,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:給定數(shù)列的前項(xiàng)和或者前項(xiàng)積,求通項(xiàng)時(shí),先要按和分段求,然后看時(shí)是否滿足時(shí)的表達(dá)式,若不滿足,就必須分段表達(dá).14、【解析】求橢圓上平行于的直線方程,利用平行線的距離公式求橢圓上點(diǎn)到直線的最小值.【詳解】設(shè)與橢圓相切,且平行于的直線為,聯(lián)立橢圓整理可得:,則,∴,又兩平行線的距離,∴到直線距離的最小值為.故答案為:.15、【解析】方法一:根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí),圓周長(zhǎng)最小,由線段的中點(diǎn)為圓心,其長(zhǎng)一半為半徑求解;方法二:根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí),圓周長(zhǎng)最小,根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一:當(dāng)線段為圓的直徑時(shí),過(guò)點(diǎn),的圓的半徑最小,從而周長(zhǎng)最小,即圓心為線段的中點(diǎn),半徑則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二:當(dāng)線段為圓的直徑時(shí),過(guò)點(diǎn),的圓的半徑最小,從而周長(zhǎng)最小又,,故所求圓的方程為,整理得,所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為16、【解析】求出圓心到直線的距離,結(jié)合半徑,利用勾股定理可得答案.【詳解】的圓心坐標(biāo)為,,圓心到直線的距離,則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為:故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題意列出方程組,求得的值,即可求解;(2)由(1)求得,結(jié)合“裂項(xiàng)法”即可求解.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)椋舫傻缺葦?shù)列,可得,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)可得,所以.【點(diǎn)睛】關(guān)于數(shù)列的裂項(xiàng)法求和的基本策略:1、基本步驟:裂項(xiàng):觀察數(shù)列的通項(xiàng),將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差的形式;累加:將數(shù)列裂項(xiàng)后的各項(xiàng)相加;消項(xiàng):將中間可以消去的項(xiàng)相互抵消,將剩余的有限項(xiàng)相加,得到數(shù)列的前項(xiàng)和.2、消項(xiàng)的規(guī)律:消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng),后邊就剩幾項(xiàng),前邊剩第幾項(xiàng),后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).18、(1)證明見(jiàn)解析,,(2)【解析】(1)根據(jù)題意,結(jié)合遞推公式,易知,即可求證;(2)根據(jù)題意,結(jié)合錯(cuò)位相減法,即可求解.【小問(wèn)1詳解】∵,∴,,∴等差數(shù)列,首項(xiàng)為,公差為3.∴,即,.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意,得,,①,②①-②得,故.19、(1)(2)【解析】由已知式子變形可得是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得利用錯(cuò)位相減法,得到數(shù)列的前項(xiàng)和為解析:(1)由,()知,又,∴是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,∴,∴(2),,兩式相減得,∴點(diǎn)睛:本題主要考查數(shù)列的證明,錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)中將已知的遞推公式進(jìn)行變形,轉(zhuǎn)化為的形式來(lái)證明,還可以根據(jù)等比數(shù)列的定義來(lái)證明;第二問(wèn),將第一問(wèn)中得到的結(jié)論代入,先得到的表達(dá)式,利用錯(cuò)位相減法,即可得到數(shù)列的前項(xiàng)和為20、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,可得答案;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合基本不等式求得導(dǎo)數(shù)的取值范圍,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性,求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意得:;【小問(wèn)2詳解】,由于,故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故,則P處的切線的斜率,由為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角可得,由于,故的取值范圍為:.21、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合“當(dāng)時(shí),”計(jì)算作答.(2)由(1)求出,利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,滿足上式,則,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是【小
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