福建省三明市尤溪縣普通高中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

福建省三明市尤溪縣普通高中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．是橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)到的距離為1，則到的距離為（）A.3 B.4C.5 D.62．已知圓，為圓外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，使得，其中、為切點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，線段所掃過圖形的面積為（）A. B.C. D.3．由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對假期學(xué)習(xí)方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說法錯誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成C.總體中對方式二滿意學(xué)生約為300人D.樣本中對方式一滿意的學(xué)生為24人4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（）種A.54 B.72C.96 D.1205．當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時，（）A B.C. D.6．?dāng)?shù)列1，，，的一個通項(xiàng)公式可以是（）A. B.C. D.7．已知，，，則最小值是（）A.10 B.9C.8 D.78．在四面體中，設(shè)，若F為BC的中點(diǎn)，P為EF的中點(diǎn)，則＝（）A. B.C. D.9．俗話說“好貨不便宜，便宜沒好貨”，依此判斷，“不便宜”是“好貨”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．兩條平行直線與之間的距離為（）A. B.C. D.11．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.12．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.都有可能二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，分別為的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)到平面的距離為__________.14．設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.15．如圖，已知底面為正方形且各側(cè)棱均相等的四棱錐可繞著任意旋轉(zhuǎn)，平面，分別是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，則當(dāng)最大時，二面角的大小是________16．拋物線的準(zhǔn)線方程為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求證：為等比數(shù)列18．（12分）已知命題p：“，”為假命題，命題q：“實(shí)數(shù)滿足”．若是真命題，是假命題，求的取值范圍19．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若公差，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為,斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）求的面積.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，傾斜角為45°的直線m過點(diǎn)F，若此拋物線上存在3個不同的點(diǎn)到m的距離為，求此拋物線的準(zhǔn)線方程22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知，是經(jīng)過圓上一點(diǎn)且與相切的兩條直線，斜率分別為，，直線的斜率為，求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用橢圓的定義直接求解【詳解】由題意得，得，因?yàn)?，，所以，故選：C2、D【解析】連接、、，分析可知四邊形為正方形，求出點(diǎn)的軌跡方程，分析可知線段所掃過圖形為是夾在圓和圓的圓環(huán)，利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】連接、、，由圓的幾何性質(zhì)可知，，又因?yàn)榍?，故四邊形為正方形，圓心，半徑為，則，故點(diǎn)的軌跡方程為，所以，線段掃過的圖形是夾在圓和圓的圓環(huán)，故在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，線段所掃過圖形的面積為.故選：D.3、B【解析】利用扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖可求出結(jié)果【詳解】選項(xiàng)A，樣本容量為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿意率，錯誤；選項(xiàng)C，樣本可以估計總體，但會有一定的誤差，總體中對方式二滿意人數(shù)約為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，樣本中對方式一滿意人數(shù)為，該選項(xiàng)正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題4、A【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個名次，由加法原理計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：A5、C【解析】求出圓心坐標(biāo)和直線過定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線與直線垂直時滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為,半徑，又因?yàn)橹本€過定點(diǎn)A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有，即，解得.故選：C.6、A【解析】根據(jù)各項(xiàng)的分子和分母特征進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以該?shù)列的一個通項(xiàng)公式可以是；對于選項(xiàng)B：，所以本選項(xiàng)不符合要求；對于選項(xiàng)C：，所以本選項(xiàng)不符合要求；對于選項(xiàng)D：，所以本選項(xiàng)不符合要求，故選：A7、B【解析】利用題設(shè)中的等式，把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成展開后，利用基本不等式求得的最小值【詳解】∵，，，∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故選：B8、A【解析】作出圖示，根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算法則，即可得答案.【詳解】如圖示：連接OF,因?yàn)镻為EF中點(diǎn)，，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則，故選：A9、A【解析】將“好貨”與“不便宜”進(jìn)行相互推理即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，“好貨”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好貨”，所以“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件.故選：A.10、D【解析】由已知有，所以直線可化為，利用兩平行直線距離公式有，選D.點(diǎn)睛：本題主要考查兩平行直線間的距離公式，屬于易錯題．在用兩平行直線距離公式時，兩直線中的系數(shù)要相同，不然不能用此公式計算11、C【解析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可【詳解】設(shè)，由，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，?dāng)，即時，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立故選：C【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值12、A【解析】求出圓心到直線的距離，然后與圓的半徑進(jìn)行大小比較即可求解.【詳解】解：圓的圓心，，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)系是相交，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用轉(zhuǎn)化法，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積等積性進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因此點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，因?yàn)槠矫?，所以，，于是有，底面為矩形，所以有，，因?yàn)槠矫?，所以，于是有：，由余弦定理可知：cos∠PEC=所以，因此，，因?yàn)椋?，故答案為?4、【解析】，，利用橢圓的定義、結(jié)合余弦定理、已知條件，可得，解得，從而可得結(jié)果【詳解】橢圓，可得，設(shè)，，可得，化簡可得：，，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.15、##【解析】先計算得到二面角的大小為60°，設(shè)二面角C-AB-O的大小為，則，計算得到答案.【詳解】解：由題可得，，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，，又，所以平面因?yàn)?，所?所以二面角為，設(shè)二面角的大小為，即，則，在中，利用余弦定理得到：，故當(dāng)時，取得最大值.故答案為：16、【解析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y，得拋物線是焦點(diǎn)在y軸正半軸的拋物線，2p=1，∴其準(zhǔn)線方程是y=，故答案為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由已知條件列出關(guān)于的方程組，解方程組求出，從而可求出的通項(xiàng)公式，（2）由（1）可得，然后利用等比數(shù)列的定義證明即可【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則由，，得，解得，所以【小問2詳解】證明：由（1）得，所以，（）所以數(shù)列是以9為公比，27為首項(xiàng)的等比數(shù)列18、或【解析】先假設(shè)命題、為真，分別求得實(shí)數(shù)的取值范圍，再由命題、具體的真假，取實(shí)數(shù)的取值范圍或其補(bǔ)集，最終確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若命題p為真，則“，”為假命題則，恒成立∴恒成立，即∴，∴.若命題q為真，則，即∴∴∵是真命題，是假命題∴命題、必為一真一假.①當(dāng)p真q假時，∴；②當(dāng)p假q真時，∴.綜上所述：a的取值范圍是或.19、（1）；（2）.【解析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列方程可得數(shù)列首項(xiàng)與公差，即可得解；（2）由，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用及裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)知，又，寫出橢圓的方程；（2）先斜截式設(shè)出直線，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可得出中點(diǎn)為的坐標(biāo)，再根據(jù)△為等腰三角形知，從而得的斜率為，求出，寫出：，并計算，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求高，即可計算出面積【詳解】（1）由已知得，，解得，又，所以橢圓的方程為（2）設(shè)直線的方程為，由得，①設(shè)、的坐標(biāo)分別為，（），中點(diǎn)為，則，，因?yàn)槭堑妊鞯牡走叄运缘男甭蕿椋獾茫藭r方程①為解得，，所以，，所以，此時，點(diǎn)到直線：距離，所以△的面積考點(diǎn)：1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；4、點(diǎn)到直線的距離.【思路點(diǎn)晴】本題主要考查的是橢圓的方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，屬于難題．解決本類問題時，注意使用橢圓的幾何性質(zhì)，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；求三角形的面積需要求出底和高，在求解過程中要充分利用三角形是等腰三角形，進(jìn)而知道定點(diǎn)與弦中點(diǎn)的連線垂直，這是解決問題的關(guān)鍵21、【解析】設(shè)出直線m的方程，利用方程組聯(lián)立、一元二次方程根的判別式求出與直線m平行的拋物線的切線方程，結(jié)合平行