專題12 利用切線求解恒成立

專題12利用切線求解恒成立【方法點(diǎn)撥】1.利用“形”解決恒成立問(wèn)題（兩個(gè)均為曲線），可考慮兩曲線在公切點(diǎn)處的取值情況；2.零點(diǎn)問(wèn)題有時(shí)也可以轉(zhuǎn)化為【典型題示例】例1(2021·江蘇南京市期初)若不等式對(duì)一切xR恒成立，其中a，bR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a＋b的取值范圍是．【答案】(－∞，﹣1]【分析】思路一：直接轉(zhuǎn)化為為最值問(wèn)題；思路二：利用“形”，不等式對(duì)一切xR恒成立，即，設(shè)，，因?yàn)楹氵^(guò)點(diǎn)，故只需開口朝下，且在點(diǎn)與有相同的公切線即可.【解析一】令，恒成立，顯然a≤0，，則，，當(dāng)a＝0時(shí)，在(，0)遞增，(0，)遞減，符合題意，a＜0時(shí)，在(，)遞減，(，0)遞增，(0，)遞減x＜，，故符合題意，綜上，a≤0，b＝﹣1，因此a＋b(，﹣1]．【解析二】不等式可化為，令，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹氵^(guò)點(diǎn)，故只需直線為在點(diǎn)處的切線即可，易得，此時(shí).當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹氵^(guò)點(diǎn)，為使對(duì)一切xR恒成立，只需開口朝下，且在點(diǎn)與有相同的公切線即可，故，此時(shí).綜上，a＋b的取值范圍是.例2已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的圖像恒在直線上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】依題意，有：，即恒成立，a＝0時(shí)顯然成立，a＞0時(shí)，右邊為開口向上的拋物線，不可能恒成立，所以，要使不等式恒成立，需a≤0.當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)，易知兩函數(shù)的凸凹性相反，故只需考慮兩函數(shù)圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即有公切線的“臨界狀態(tài)”時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)公切點(diǎn)為，則，解之得∴切點(diǎn)為為使，只需，故又a＜0，所以.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【鞏固訓(xùn)練】函數(shù)xax2－－x，中∈，若等式x1－a恒成，數(shù)a取范圍為．2.（2019·天津理·8）已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．3.設(shè)函數(shù)，為正實(shí)數(shù)，若函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，則的值為．4.若曲線與曲線存在公共切線，數(shù)a取范圍為．

【答案或提示】【答案】2.【答案】C3.【答案】1【解析】遇含參問(wèn)題能分離變量則分離.函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，意即與的圖