高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)專題8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系專題練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專題8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（廣東高考真題）若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（）A.與，都相交 B.與，都不相交C.至少與，中的一條相交 D.至多與，中的一條相交2．（2019·全國(guó)高考真題（理））設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是（）A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面3.（2020·武威第六中學(xué)高三其他（理））已知，為兩條不同直線，，，為三個(gè)不同平面，下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中正確命題序號(hào)為()A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③4.（2021·嘉禾縣第一中學(xué)高一月考）若，，是互不相同的直線，，是不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則5.（2019·北京高考真題（文））已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：__________．6.（全國(guó)高考真題（文））已知正方體中，E為的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為.7．（2021·石家莊市第十七中學(xué)高一月考）以下命題中：（1）若直線，和平面滿足：，，那么；（2）若直線和平面平行，那么與內(nèi)的任何直線平行；（3）平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行；（4）若直線，和平面滿足，，，則，正確的是______.8．（2021·重慶市第七中學(xué)校高一期中）如圖，在圓錐中，、為底面圓的兩條直徑，交于點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求圓錐的表面積和體積.9．（2021·江門(mén)市第二中學(xué)高二月考）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱AB的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與所成角的大小.10．（2021·揭陽(yáng)第一中學(xué)高一期末）已知矩形所在的平面，且，、分別為、PC的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·浙江高三開(kāi)學(xué)考試）四面體中，，其余棱長(zhǎng)均為4，，分別為，上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（）A．不存在，使得B．存在，使得C．存在，使得平面D．存在，，使得平面平面2．【多選題】（2020·長(zhǎng)沙市湖南師大第二附屬中學(xué)有限公司月考）（多選題）如圖1，點(diǎn)為正方形邊上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，得到如圖2所示的四棱錐，且平面平面，點(diǎn)為線段上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則在四棱錐中，下列說(shuō)法正確的有()A．直線與直線必不在同一平面上B．存在點(diǎn)使得直線平面C．存在點(diǎn)使得直線與平面平行D．存在點(diǎn)使得直線與直線垂直3.【多選題】（2020·全國(guó)高三月考）（多選題）在四棱錐中，側(cè)面平面，，四邊形是正方形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則（）A．平面 B．平面C． D．4.（2019·浙江高考真題）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A． B．C． D．5．（2021·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高二期中（文））在直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn).（1）求證：（2）求點(diǎn)到平面的距離.6．（2021·石家莊市第十七中學(xué)高一月考）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，．（1）求證：平面．（2）試問(wèn)：在上是否存在一點(diǎn)，使平面成立？若存在，請(qǐng)予以證明；若不存在，說(shuō)明理由．7．（2021·嘉禾縣第一中學(xué)高一月考）在①使三棱錐體積取得最大值，②使這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．如圖1，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是的中點(diǎn)，將沿翻折形成圖2中的三棱錐，________，動(dòng)點(diǎn)在棱上．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正切值的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．8．（2021·河北巨鹿中學(xué)高一月考）如圖（1），平面四邊形中，，，，將沿邊折起如圖（2），使______，點(diǎn)，分別為，中點(diǎn).在題目橫線上選擇下述其中一個(gè)條件，然后解答此題.①.②為四面體外接球的直徑.③平面平面.（1）判斷直線與平面是否垂直，并說(shuō)明理由；（2）求直線和所成的角的余弦值.9.（2021·江蘇高一期末）已知在直四棱柱中，底面為直角梯形，且滿足，，，，，，分別是線段，的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）棱上是否存在點(diǎn)，使平面，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10.（2019·安徽蕪湖一中高三開(kāi)學(xué)考試）在中，，斜邊．可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)的斜邊上．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國(guó)高考真題（理））在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（）A． B． C． D．2.【多選題】（2021·全國(guó)高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A． B．C． D．3．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是__________.①②③④4．（2021·全國(guó)高考真題（文））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．5．（2021·全國(guó)高考真題（文））已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.6.（2021·全國(guó)高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．專題8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（廣東高考真題）若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（）A.與，都相交 B.與，都不相交C.至少與，中的一條相交 D.至多與，中的一條相交【答案】C【解析】試題分析：若直線和是異面直線，在平面，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則至少與，的一條相交.故選A．2．（2019·全國(guó)高考真題（理））設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是（）A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．3.（2020·武威第六中學(xué)高三其他（理））已知，為兩條不同直線，，，為三個(gè)不同平面，下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中正確命題序號(hào)為()A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③【答案】C【解析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得，若，，則，故①正確；若，，平面可能相交，故②錯(cuò)誤；若，，則可能平行，故③錯(cuò)誤；由線面垂直的性質(zhì)可得，④正確；故選：C4.（2021·嘉禾縣第一中學(xué)高一月考）若，，是互不相同的直線，，是不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【解析】由面面平行的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A、B；由空間中線線位置關(guān)系可判斷C；由線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的性質(zhì)定理以及面面垂直的判定定理可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：，，，則，平行或異面，所以A不正確；對(duì)于B：，，則平行，所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：，，與可能平行、異面或相交，所以選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：由，設(shè)經(jīng)過(guò)的平面與相交，交線為，由線面平行的性質(zhì)定理可知，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，由面面垂直的判定定理可得故選項(xiàng)D正確．5.（2019·北京高考真題（文））已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.不正確，有可能m在平面α內(nèi)；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.6.（全國(guó)高考真題（文））已知正方體中，E為的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為.【答案】【解析】【詳解】連接DE，設(shè)AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是異面直線AE與BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．7．（2021·石家莊市第十七中學(xué)高一月考）以下命題中：（1）若直線，和平面滿足：，，那么；（2）若直線和平面平行，那么與內(nèi)的任何直線平行；（3）平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行；（4）若直線，和平面滿足，，，則，正確的是______.【答案】（4）【解析】利用直線與平面之間的位置關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）中，，，那么，或者，故錯(cuò)誤；（2）中，若直線和平面平行，那么與內(nèi)的直線平行或者異面，故錯(cuò)誤；（3）中，平行于同一條直線的兩個(gè)平面可以平行，可以相交，故錯(cuò)誤；（4）中，根據(jù)線面平行的判定定理可知，，，，則，故正確.故答案為：（4）.8．（2021·重慶市第七中學(xué)校高一期中）如圖，在圓錐中，、為底面圓的兩條直徑，交于點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求圓錐的表面積和體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）表面積為，體積為.【解析】（1）連接，由中位線的性質(zhì)可得，再由線面平行的性質(zhì)定理即可求證；（2）根據(jù)題意求出圓錐的底面半徑，高和母線，由表面積公式和體積公式即可求解.【詳解】（1）連接，∵、分別為、的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵，，為圓錐的高，圓錐底面圓的半徑，∴圓錐的體積，∵母線，∴圓柱的表面積.9．（2021·江門(mén)市第二中學(xué)高二月考）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱AB的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與所成角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由，得到四邊形為正方形，證得，又由，證得平面，即可證得；（2）連接，得到，根據(jù)異面直線所成角的定義，得到是異面直線與所成角，在中，即可求解.【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，因?yàn)?，可得四邊形為正方形，所以，又因?yàn)椋?，平面，平面，所以平面，又由平面，所?（2）連接，在長(zhǎng)方體中，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角,即（或其補(bǔ)角）與所成角，在直角中，由，可得，在直角中，由，可得，在直角中，由，可得，所以為等邊三角形，所以，即異面直線與所成角.10．（2021·揭陽(yáng)第一中學(xué)高一期末）已知矩形所在的平面，且，、分別為、PC的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）證明出平面，可得出平面，由線面垂直的性質(zhì)可得出.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，

、分別為、的中點(diǎn)，則且，四邊形為矩形，則且，為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，因此，平面；?）平面，平面，，，，所以，平面，平面，則，，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，平面，，故平面，平面，因此?練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·浙江高三開(kāi)學(xué)考試）四面體中，，其余棱長(zhǎng)均為4，，分別為，上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（）A．不存在，使得B．存在，使得C．存在，使得平面D．存在，，使得平面平面【答案】D【解析】作出示意圖如下圖所示：分別是AB，CD的中點(diǎn)，面于，面于，對(duì)于A選項(xiàng)，取E，F(xiàn)分別在AB，CD的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?，其余棱長(zhǎng)均為4，所以，所以，所以，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，取E，F(xiàn)分別在AB，CD的中點(diǎn)時(shí)，由A選項(xiàng)的解析得，，，所以面，又面，所以平面平面，即平面平面，故D正確；對(duì)于B選項(xiàng)，作面于，因?yàn)橹?，，所以定在AB的中線上，所以就是與面所成的角，當(dāng)E在AB上移動(dòng)時(shí)，的最小值為直線與平面所成的角，即，而是銳角，的最大值為，故當(dāng)E在AB上移動(dòng)時(shí)，不存在E，使得DE⊥CD.故B錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，作面于，因?yàn)橹?，，所以定在AB的中線上，且不重合于點(diǎn)，即點(diǎn)不落在AB上，又因?yàn)檫^(guò)空間中一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，故不存在E，使得DE⊥平面ABC，故C選項(xiàng)不正確，故選：D.2．【多選題】（2020·長(zhǎng)沙市湖南師大第二附屬中學(xué)有限公司月考）（多選題）如圖1，點(diǎn)為正方形邊上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，得到如圖2所示的四棱錐，且平面平面，點(diǎn)為線段上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則在四棱錐中，下列說(shuō)法正確的有()A．直線與直線必不在同一平面上B．存在點(diǎn)使得直線平面C．存在點(diǎn)使得直線與平面平行D．存在點(diǎn)使得直線與直線垂直【答案】AC【解析】A.假設(shè)直線BE與直線CF在同一平面上，所以E在平面BCF上，又E在線段BC上，平面BCF=C，所以E與C重合，與E異于C矛盾，所以直線BE與直線CF必不在同一平面上；B.若存在點(diǎn)使得直線平面DCE，平面,所以,又,所以△ABE中有兩個(gè)直角，與三角形內(nèi)角和為矛盾，所以不存在點(diǎn)使得直線平面DCE；C.取F為BD的中點(diǎn)，,再取AB的中點(diǎn)G，則且EC=FG，四邊形ECFQ為平行四邊形，所以,則直線CF與平面BAE平行；D.過(guò)B作于O，因?yàn)槠矫嫫矫鍭ECD,平面平面=AE,所以平面AECD.過(guò)D作于H，因?yàn)槠矫嫫矫鍭ECD,平面平面=AE,所以平面BAE，所以.若存在點(diǎn)使得直線與直線垂直，平面AECD,平面AECD,,所以平面AECD,所以E與O重合，與三角形ABE是以B為直角的三角形矛盾，所以不存在點(diǎn)使得直線與直線垂直.故選A、C.3.【多選題】（2020·全國(guó)高三月考）（多選題）在四棱錐中，側(cè)面平面，，四邊形是正方形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則（）A．平面 B．平面C． D．【答案】BC【解析】如圖，對(duì)于，因?yàn)榕c不一定垂直，所以不一定垂直平面，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，連接，記，連接.因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以為的中點(diǎn).因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，則平面，故B正確.對(duì)于C，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)閭?cè)面平面，所以平面.因?yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫?，所以，則，故C正確.對(duì)于D，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以.假設(shè)，則.設(shè)，則，.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，，，所以，所以，則平面.因?yàn)榕c平面不一定垂直，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.4.（2019·浙江高考真題）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】方法1：如圖為中點(diǎn)，在底面的投影為，則在底面投影在線段上，過(guò)作垂直，易得，過(guò)作交于，過(guò)作，交于，則，則，即，，即，綜上所述，答案為B.方法2：由最小角定理，記的平面角為（顯然）由最大角定理，故選B.方法3：（特殊位置）取為正四面體，為中點(diǎn)，易得，故選B.5．（2021·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高二期中（文））在直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn).（1）求證：（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題中長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理，可證，根據(jù)直棱柱，可證，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，即可得證.（2）先求得的面積，利用等體積法，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)橹崩庵?，所以底面ABC，平面ABC，所以，又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，取AB中點(diǎn)O，連接EO，在中，，AB=2，則，所以，所以的面積為，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為6．（2021·石家莊市第十七中學(xué)高一月考）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，．（1）求證：平面．（2）試問(wèn)：在上是否存在一點(diǎn)，使平面成立？若存在，請(qǐng)予以證明；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，證明見(jiàn)解析.【解析】（1）連接，根據(jù)題目條件證明四邊形是平行四邊形，即可得出，即可得證；（2）假設(shè)存在，取中點(diǎn)，連，，使，連，利用中位線證明，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：連接，由，得，又得，所以四邊形是平行四邊形所以，又平面，平面，∴平面．（2）解：存在中點(diǎn)，使平面成立．取中點(diǎn)，連，，使，連．∵是矩形，∴是的中點(diǎn)，又∵是上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，且是中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，∴中，，又∵平面，平面，∴平面，故在上是存在中點(diǎn)，使平面成立．7．（2021·嘉禾縣第一中學(xué)高一月考）在①使三棱錐體積取得最大值，②使這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．如圖1，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是的中點(diǎn)，將沿翻折形成圖2中的三棱錐，________，動(dòng)點(diǎn)在棱上．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正切值的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】選擇見(jiàn)解析（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）若選擇①，利用分析可證平面．從而得證；若選擇②，由向量數(shù)量積結(jié)合余弦定理以及勾股定理可以證明，進(jìn)而可以證明平面，從而得證；（2）先確定直線與平面所成的角，然后結(jié)合圖形分析求解即可【詳解】（1）證明：若選擇①，由于的面積為定值，所以當(dāng)?shù)狡矫婢嚯x最大時(shí)，三棱錐體積最大，即當(dāng)平面時(shí)，體積有最大值．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．若選擇②因?yàn)?，所以．在中，，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，且平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：因?yàn)槠矫?，所以就是直線與平面所成的角．記，則，又，．當(dāng)時(shí)，最大，最小，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，最小，最大，此時(shí)，則．所以直線與平面所成角的正切值的取值范圍是．8．（2021·河北巨鹿中學(xué)高一月考）如圖（1），平面四邊形中，，，，將沿邊折起如圖（2），使______，點(diǎn)，分別為，中點(diǎn).在題目橫線上選擇下述其中一個(gè)條件，然后解答此題.①.②為四面體外接球的直徑.③平面平面.（1）判斷直線與平面是否垂直，并說(shuō)明理由；（2）求直線和所成的角的余弦值.【答案】條件選擇見(jiàn)解析，（1）垂直，理由見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）若選①：由，得到，再由，證得平面，得到，進(jìn)而證得平面，因?yàn)?，即可得到平面．若選②：由為四面體外接球的直徑，得到，進(jìn)而證得平面，從而證得平面．若選③：由平面平面和，證得平面，得到，進(jìn)而證得平面，得到平面．（2）取AB中點(diǎn)E，連接ME，DM，得到或其補(bǔ)角為直線DM和BC所成的角，再中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】（1）若選①：垂直.因?yàn)椋谥?，，，可得，又由，所以，所以，因?yàn)?，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又由，且平面，所以平面，又因?yàn)椋謩e為，中點(diǎn)，所以，所以平面．若選②：垂直.由為四面體外接球的直徑，則，，因?yàn)?，可證得平面，又，分別為，中點(diǎn)，，所以平面．若選③：垂直.由平面平面，平面平面，因?yàn)?，且平面，所以平面，又由平面，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)椋謩e為，中點(diǎn)，，所以平面．（2）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為邊中點(diǎn)，所以，所以或其補(bǔ)角為直線和所成的角.在中，，，，所以.又，由余弦定理可得：，所以直線和所成的角的余弦值為.9.（2021·江蘇高一期末）已知在直四棱柱中，底面為直角梯形，且滿足，，，，，，分別是線段，的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）棱上是否存在點(diǎn)，使平面，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在點(diǎn)，且，使得平面.【解析】（1）在直角梯形中，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)得到，從而易證，利用線面垂直的性質(zhì)得到，從而得到面，再利用面面垂直的判定即可證明平面平面.（2）存在點(diǎn)，且，則在上取點(diǎn)，使，連接，，，易證，，從而得到平面，平面，利用面面垂直的判定得到平面平面，從而得到平面．【詳解】（1）在直角梯形中，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：由，，，，得為等腰直角三角形，所以四邊形為正方形，所以，，所以，所以，從而得到，在直四棱柱中，面，面，所以，又因?yàn)?，所以面，因?yàn)槊?，所以平面平面；?）存在點(diǎn)，且，使得平面，則在上取點(diǎn)，使，連接，，，如圖所示：此時(shí)，，所以，即，在平面中，，所以，此時(shí)由，平面，平面，得平面，由，平面，得平面，又，所以平面平面，平面，即證：平面．10.（2019·安徽蕪湖一中高三開(kāi)學(xué)考試）在中，，斜邊．可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)的斜邊上．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）為直角三角形，且斜邊為，.將以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，則，即.二面角是直二面角，即平面平面.又平面平面，平面，平面.平面，因此，平面平面；（2）在中，，斜邊，且.由（1）知，平面，所以，直線與平面所成的角為.在中，，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)取最大值，且.因此，，即直線與平面所成角的正弦的最大值為.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國(guó)高考真題（理））在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤?，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D2.【多選題】（2021·全國(guó)高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.3．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是__________.①②③④【答案】①③④【解析】對(duì)于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為；若與相交，則交點(diǎn)在平面