2022年初升高暑期數(shù)學(xué)講義04 不等式重難點(diǎn)突破【含答案】

專(zhuān)題04不等式

初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法.高中階段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不

等式和分式不等式等知識(shí).本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識(shí).

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖

二、學(xué)法指導(dǎo)與考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)一一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系

判別式/二--4%/>02)=0d<0

二次函數(shù)y=ax+bx4￡必

+c（a>0）的圖象

一元二次方程有兩相等實(shí)數(shù)根加二

有兩相異實(shí)數(shù)根M,

+bx+c-0b沒(méi)有實(shí)數(shù)根

<垃）&=~2a

俗>0）的根

一元二次不等式

+bx+c>0或*>M}R

缶>0）的解集

一元二次不等式

a"+bx+c<0{MM<x<龍}00

缶>0）的解集

考點(diǎn)二恒成立問(wèn)題

由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問(wèn)題的方法

1.一元二次不等式aV+"+。>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立°：八

[d-4<?c<0.

,(a<0,

2一元二次不等式去+hx+c<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，八

Iif-4ac<0.

三、重難點(diǎn)題型突破

重難點(diǎn)題型突破1、含有字母系數(shù)的一元一次不等式

一元一次不等式最終可以化為cix>b(a^O)的形式.

b

(1)當(dāng)。>0時(shí)，不等式的解為：工>一

〃

8

(2)當(dāng)。<0時(shí)，不等式的解為：x<4一

(3)當(dāng)。=0時(shí)，不等式化為：0-x>力；

①若人>0,則不等式的解是全體實(shí)數(shù)；②若〃40,則不等式無(wú)解.

例1.(1)、(2022?海南省直轄縣級(jí)單位?二模)不等式3x+5>8的解集在數(shù)軸上表示正確的是()

A.—?1B.11(?1

-1012-1012

D.

2

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可.

【詳解】

解不等式3x+5>8,得41.

???不等式的解集在數(shù)軸上表示為：

-1----------1------------------L

-1012

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是胡木題的關(guān)鍵

x-3<2x

（）、（?山東濱州?中考真題）把不等式組中每個(gè)不等式的解集在同一條數(shù)軸上表示出

22022x+-->---

I3-2

【答案】C

【解析】

【分析】

先解不等式組求出解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可.

【詳解】

x-3<2XD

32

解①得x>-3,

解②得

，不等式組的解集為-3vxW5,在數(shù)軸上表示為：

—614?，

-305

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元一次不等式組及在數(shù)軸上表示解集，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2-x>l

（3）.關(guān)于1的一元一次不等式組1冗+5中兩個(gè)不等式的解集在同一數(shù)軸上的表示如圖所示，則該

---<m

2

不等式組的解集是加的值為.

因此，根據(jù)題目條件，h的取值應(yīng)該滿(mǎn)足：392>92,解這個(gè)不等式，得3>2,

對(duì)照一次函數(shù)的一般形式尸Ax+女0）,在直線片T+b中，A=-l<0,h>2>0可知，

直線產(chǎn)-x+h應(yīng)該經(jīng)過(guò)第一、二、四象限.即不經(jīng)過(guò)第三象限.故答案為三.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元一次不等式組有解的知識(shí)，考查一次函數(shù)經(jīng)過(guò)的象限問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

【變式訓(xùn)練1-2】、（2022?江蘇南京?二模）不等式2（x-1）+1<3的解集是.

【答案】x<2

【解析】

【分析】

去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1,即可.

【詳解】

2（x-l）+l<3

去括號(hào)，得：2x-2+l<3,

移項(xiàng)，得：2x<3+2-l.

合并同類(lèi)項(xiàng)，得：2x<4,

系數(shù)〃為1,得x<2,

故答案為：x<2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的解法.

【變式訓(xùn)練1-3】?（2022?安徽蕪湖模擬預(yù)測(cè)）不等式2%-4>-6的解集為_(kāi)___.

【答案】x>-l##-l<x

【解析】

【分析】

移項(xiàng)、合并、系數(shù)化為L(zhǎng)即可求解.

【詳解】

解：移項(xiàng)得：2r>-6+4,

合并得：法>?2,

系數(shù)化為1,得：x>-l.

故答案為：x>-l.

【點(diǎn)睛】

此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解木題的關(guān)鍵.

重難點(diǎn)題型突破2、一元二次不等式及其解法

例2⑴、不等式9『+6.1+1遼0的解集是()

111

A.XW----B.----<x<-

333

1

C.。D.x=——

3

【答案】D

1

【解析】[(3x+l)2C0,.*.3x4-1=0,/.x=-3]

【變式訓(xùn)練2?1】?求下列不等式的解集.

⑴3X2+5X-2<0；

Q1

⑵-4X2+18X——>0;

4

(3)-2X2+3X-2<0；

(4)—x24-3x—5>0.

2

【解析】(1)因?yàn)?d+5x-2=(x+2乂3工一1),所以原不等式等價(jià)于(x+2)(3x—l)K0,

解傳-—,所以原不等式的解集為〈x-2WxW1>.

33

(2)原不等式可化為4*218xi7工0,配方得<0,

4I2)

9c9c99

又(2A-1)2N0,所以(2x—1)2=0,解得％=q,所以原不等式的解集為Jxx=W??

(3、7

(3)原不等式可化為2/一31+2>0,因?yàn)?/—3X+2=2X--+」>0恒成立，

I4j8

所以原不等式的解集為R.

(4)原不等式可化為丁一61+10<0，因?yàn)?一6工+10=(%-3『+1>0恒成立，

所以原不等式無(wú)解，即原不等式的解集為0.

【變式訓(xùn)練2-2】?(2022?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，拋物線產(chǎn)0+c與直線產(chǎn)的+〃交于4(-1,

p),B(3,q)兩點(diǎn)，則不等式“+m+c<〃的解集是()

A.-l<x<3或x>3C.-3<JI<1D.x<-3或x>l

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意易得拋物線yud+c與直線y=?，nx+〃交于(1.p).(-3,q)兩點(diǎn),觀察圖象,從而可得不等

式加+c，<?蛆+〃的解集為最后可求得結(jié)果.

【詳解】

:拋物線)二以2+c與直線y=〃Lt+〃交于A(-1,p),B⑶q)兩點(diǎn)，

」?拋物線產(chǎn)加+。與直線>=-〃吠+〃交7(1.p),(-3,q)兩點(diǎn)，

觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)-3<x<l時(shí)，直線y=-〃在拋物線產(chǎn)底+(?的上方，

?.?不等式"2+。<-/wx+〃的解集為-3<K<1,

即不等式o^+zzir+c<n的解集是-3<x<1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是本題的關(guān)鍵，直線y=〃a+〃與直線)，=-"LV+〃關(guān)于)，軸對(duì)

稱(chēng)，從而不等式的解集轉(zhuǎn)化為拋物線與直線,y=-〃吠+〃的關(guān)系是本題的難點(diǎn).

【變式訓(xùn)練2-3】?(2022?山東?濟(jì)寧市兗州區(qū)教學(xué)研究室二模)如圖，拋物線y=of+c?與直線)，=皿十〃

交于4(Tp)，8(2,q)兩點(diǎn)，則不等式辦2-^fnx+on的解集是

【解析】

【分析】

作直線產(chǎn)加r+〃關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)直線CO：y=-〃a+〃，點(diǎn)C、。是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的的對(duì)稱(chēng)

性，點(diǎn)。(1.p),D(-2,q),觀察圖象即可求解.

【詳解】

解：作直線廣皿+〃關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)直線CO：y=-nix+n,

點(diǎn)C、。是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的的對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)C(1,p),D(-2,q),

由圖象可以看出，曲凹^:^^內(nèi)的解集即不等式公^+“比+^”的解集為：-2<x<l,

故答案為：-2<x<l.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與不等式，要非常螂函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)所代表的意義、圖象上點(diǎn)的坐

標(biāo)特征等.作直線4B關(guān)于)，軸的對(duì)稱(chēng)直線C。是問(wèn)題的關(guān)鍵與難點(diǎn)，注意數(shù)形結(jié)合.

重難點(diǎn)題型突破3、簡(jiǎn)單分式不等式的解法

例3、不等式=<0的解是________.

x-2

【答案】2<x<3

x—3…X—3>0X—3<0

【解析】不等式一^<0等價(jià)于｛。八或｛。八解得2cx<3

x-2x-2<0x-2>0

【變式訓(xùn)練3?1】、不等式二20的解是________.

x-1

【答案】l<x<5

—x+5x—5

【解析】原不等式化為一->o,--<0,解得1VXW5

x-1X-1

重難點(diǎn)題型突破4、簡(jiǎn)單分式不等式的解法

例4、(2022?浙江杭州九年級(jí)期末)設(shè)二次函數(shù))，=加+法-3(4方是常數(shù)，。工0),部分對(duì)應(yīng)值如下

表：

X