2025版高考數(shù)學一輪復(fù)習第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布理第八講n次獨立重復(fù)試驗與二項分布學案理含解析新人教版

PAGE第八講n次獨立重復(fù)試驗與二項分布(理)學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一條件概率及其性質(zhì)條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A、B為兩個事務(wù)，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的條件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)若B、C是兩個互斥事務(wù)，則P((B∪C)|A)＝__P(B|A)＋P(C|A)__學問點二事務(wù)的相互獨立性設(shè)A、B為兩個事務(wù)，假如P(AB)＝__P(A)P(B)__，則稱事務(wù)A與事務(wù)B相互獨立．若事務(wù)A、B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)；事務(wù)A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)都相互獨立．學問點三獨立重復(fù)試驗與二項分布(1)獨立重復(fù)試驗：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝__P(A1)P(A2)P(A3)…P(A(2)二項分布：在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事務(wù)A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱隨機變量X聽從二項分布，記為X～B(n，p)．若X～B(n，p)，則E(X)＝__np__，D(X)＝__np(1－p)__．eq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)1．A，B中至少有一個發(fā)生的事務(wù)為A∪B．2．A，B都發(fā)生的事務(wù)為AB．3．A，B都不發(fā)生的事務(wù)為eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))．4．A，B恰有一個發(fā)生的事務(wù)為(Aeq\o(B,\s\up6(－)))∪(eq\x\to(A)B)．5．A，B至多有一個發(fā)生的事務(wù)為(eq\x\to(A)B)∪(Aeq\o(B,\s\up6(－)))∪(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若事務(wù)A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．(√)(2)P(B|A)表示在事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的概率；P(BA)表示事務(wù)A，B同時發(fā)生的概率，肯定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(×)(3)二項分布是一個概率分布列，是一個用公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨立重復(fù)試驗中事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)的概率分布．(√)(4)二項分布是一個概率分布，其公式相當于(a＋b)n二項綻開式的通項公式，其中a＝p，b＝1－p．(×)(5)袋中有5個小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，其次次取到白球的概率是0.5．(√)(6)小王通過英語聽力測試的概率是eq\f(1,3)，他連續(xù)測試3次，那么其中恰好第3次測試獲得通過的概率是P＝Ceq\o\al(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3－1＝eq\f(4,9)．(×)題組二走進教材2．(P55T3)天氣預(yù)報，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為(C)A．0.2 B．0.3C．0.38 D．0.56[解析]設(shè)甲地降雨為事務(wù)A，乙地降雨為事務(wù)B，則兩地恰有一地降雨為Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B，∴P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38．或1－P(A)·P(B)－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝0.38題組三走向高考3．(2024·全國Ⅱ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝__1.96__．[解析]由題意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×0.98＝1.96．4．(2024·課標Ⅲ，8)某群體中的每位成員運用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設(shè)X為該群體的10位成員中運用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝(B)A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3[解析]由題知X～B(10，p)，則D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或0.6．又∵P(X＝4)＜P(X＝6)，即Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6＜Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4?(1－p)2＜p2?p＞0.5，∴p＝0.6，故選B．5．(2024·天津，13)已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為eq\f(1,2)和eq\f(1,3)．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為__eq\f(1,6)__；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為__eq\f(2,3)__．[解析]設(shè)“甲、乙兩球都落入盒子”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)．設(shè)“甲、乙兩球至少有一個落入盒子”為事務(wù)B，則P(B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)．或P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)．考點突破·互動探究考點一條件概率——自主練透例1(1)(2024·山東日照一中期中)依據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風的概率為eq\f(7,30)，既吹東風又下雨的概率為eq\f(1,10)．則在吹東風的條件下下雨的概率為(B)A．eq\f(3,11) B．eq\f(3,7)C．eq\f(7,11) D．eq\f(1,10)(2)(2024·重慶市診斷)某班組織由甲、乙、丙等5名同學參與的演講競賽，現(xiàn)采納抽簽法確定演講依次，在“學生甲不是第一個出場，學生乙不是最終一個出場”的前提下，學生丙第一個出場的概率為(A)A．eq\f(3,13) B．eq\f(4,13)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)(3)(2024·遼寧沈陽模擬)已知甲、乙、丙三名同學同時獨立地解答一道導(dǎo)數(shù)試題，每人均有eq\f(2,3)的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率(C)A．eq\f(13,20) B．eq\f(9,20)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,20)[解析](1)記“某地四月份吹東風”為事務(wù)A，“某地四月份下雨”為事務(wù)B．則P(A)＝eq\f(7,30)，P(AB)＝eq\f(1,10)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(7,30))＝eq\f(3,7)．故選B．(2)公式法：設(shè)事務(wù)A為“學生甲不是第一個出場，學生乙不是最終一個出場”；事務(wù)B為“學生丙第一個出場”則P(A)＝eq\f(A\o\al(4,4)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(78,A\o\al(5,5))，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(18,A\o\al(5,5))，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(18,78)＝eq\f(3,13)，本題選A．干脆法：“學生甲不是第一個出場，學生乙不是最終一個出場”有Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝78種；“學生丙第一個出場，學生乙不最終一個出場”有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18種，故所求概率為P＝eq\f(18,78)＝eq\f(3,13)．(3)記“三人中至少有兩人解答正確”為事務(wù)A；“甲解答不正確”為事務(wù)B，則P(A)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(20,27)；P(AB)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,27)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,5)．故選C．名師點撥條件概率的求法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)．這是通用的求條件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)n(A)，再在事務(wù)A發(fā)生的條件下求事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(2024·江蘇淮安淮陰中學測試)小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事務(wù)A為“4個人去的景點不完全相同”，事務(wù)B為“小趙獨自去一個景點”，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B|A))＝(A)A．eq\f(3,7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(5,7) D．eq\f(6,7)(2)(2024·陜西交大附中、龍崗中學聯(lián)考)甲、乙兩人同時向同一目標射擊一次，已知甲命中目標概率0.6，乙命中目標概率0.5，假設(shè)甲、乙兩人射擊命中率互不影響．射擊完畢后，獲知目標至少被命中一次，則甲命中目標概率為(B)A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.48[解析](1)設(shè)事務(wù)A＝“4個人去的景點不完全相同”，事務(wù)B＝“小趙獨自去一個景點”，則P(A)＝eq\f(44－4,44)＝eq\f(63,64)，P(B)＝eq\f(4×33,44)＝eq\f(27,64)，P(AB)＝eq\f(4×33,44)＝eq\f(27,64)，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,7)，故選A．(2)設(shè)事務(wù)A為“目標至少被命中一次”，事務(wù)B為“甲命中目標”，則P(A)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，P(AB)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＝0.6，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝0.75，故選B．考點二相互獨立事務(wù)——多維探究角度1相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率例2(1)(2024·石家莊質(zhì)檢)甲、乙獨立地解決同一數(shù)學問題，甲解決這個問題的概率是0.8，乙解決這個問題的概率是0.6，那么其中至少有1人解決這個問題的概率是(D)A．0.48 B．0.52C．0.8 D．0.92(2)(2024·全國)甲、乙兩隊進行籃球決賽，實行七場四勝制(當一隊贏得四場成功時，該隊獲勝，決賽結(jié)束)．依據(jù)前期競賽成果，甲隊的主客場支配依次為“主主客客主客主”，設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場競賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是__0.18__．(3)(2024·課標Ⅱ)11分制乒乓球競賽，每贏一球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局競賽結(jié)束．甲、乙兩位同學進行單打競賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局競賽結(jié)束．①求P(X＝2)；②求事務(wù)“X＝4且甲獲勝”的概率．[解析](1)1－0.2×0.4＝0.92，選D項．(2)前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，綜上所述，甲隊以4∶1獲勝的概率是P＝0.108＋0.072＝0.18．(3)①X＝2就是10∶10平后，兩人又打了2個球該局競賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5．②X＝4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個球該局競賽結(jié)束，且這4個球的得分狀況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1．[引申](1)本例(1)中恰有一人解決這個問題的概率為__0.44__，至多有一人解決這個問題的概率為__0.52__．(2)本例(2)中乙以4∶0獲勝的概率為__0.04__，甲以4∶2獲勝的概率為__0.171__．[解析](1)記“恰有一人解決這個問題”為事務(wù)A，則P(A)＝0.8×(1－0.6)＋(1－0.8)×0.6＝0.44，記“至多有一人解決這個問題”為事務(wù)B，則P(B)＝1－0.8×0.6＝0.52，或P(B)＝0.8×(1－0.6)＋(1－0.8)×0.6＋(1－0.8)×(1－0.6)＝0.52．(2)P1＝0.42×0.52＝0.04；P2＝(Ceq\o\al(2,3)0.42×0.6×0.52＋0.63×0.52＋Ceq\o\al(1,3)0.4×0.62×Ceq\o\al(1,2)0.52)×0.5＝0.171．角度2與相互獨立事務(wù)相關(guān)的數(shù)學期望(4)(2024·陜西西安八校聯(lián)考)某單位聘請職員，共有三輪考核，每輪考核回答一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則被淘汰．已知甲選手能正確回答第一、二、三輪問題的概率分別是eq\f(4,5)、eq\f(3,5)、eq\f(2,5)．且各輪問題能否正確回答互不影響．①求該選手被淘汰的概率；②該選手在被考核中回答問題的個數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學期望．[解析]①設(shè)“該選手能正確回答第i輪問題”為事務(wù)Aieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i＝1，2，3))，“該選手被淘汰”為事務(wù)M．則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1))＝eq\f(4,5)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2))＝eq\f(3,5)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3))＝eq\f(2,5)．Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(M))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A1)＋A1\x\to(A2)＋A1A2\x\to(A3)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A1)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1))Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A2)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1))Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2))Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A3)))＝eq\f(1,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(101,125)∴該選手被淘汰的概率是eq\f(101,125)．②X的可能取值為1,2,3．Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝1))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A1)))＝eq\f(1,5)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝2))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1\x\to(A2)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1))Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A2)))＝eq\f(4,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(8,25)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝3))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1))Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2))＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(12,25)．∴X的分布列為X123Peq\f(1,5)eq\f(8,25)eq\f(12,25)∴E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(8,25)＋3×eq\f(12,25)＝eq\f(57,25)．名師點撥利用相互獨立事務(wù)求困難事務(wù)概率的解題思路(1)將待求困難事務(wù)轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥簡潔事務(wù)的和．(2)將彼此互斥簡潔事務(wù)中的簡潔事務(wù)，轉(zhuǎn)化為幾個已知(易求)概率的相互獨立事務(wù)的積事務(wù)．(3)代入概率的積、和公式求解．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2024·四川資陽診斷)某項羽毛球單打競賽規(guī)則是3局2勝制，運動員甲和乙進入了男子羽毛球單打決賽，假設(shè)甲每局獲勝的概率為eq\f(2,3)，則由此估計甲獲得冠軍的概率為__eq\f(20,27)__．(2)(角度2)(2024·廣東新高考適應(yīng)性測試)某電視臺“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)須要回答三個問題，其中前兩個問題回答正確各得10分，回答不正確得0分，第三個問題回答正確得20分，回答不正確得－10分，假如一位挑戰(zhàn)者回答前兩個問題正確的概率都是eq\f(2,3)，回答第三個問題正確的概率為eq\f(1,2)，且各題回答正確與否相互之間沒有影響，若這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總分不低于10分就算闖關(guān)成功．①求至少回答對一個問題的概率；②求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分X的分布列；③求這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率．[解析](1)因為甲獲勝的方式有2∶0和2∶1兩種，所以甲獲得冠軍的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(20,27)．故答案為：eq\f(20,27)．(2)①設(shè)至少回答對一個問題為事務(wù)A，則P(A)＝1－eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(17,18)．②這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分X的全部可能取值為－10,0,10,20,30,40，依據(jù)題意，P(X＝－10)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,18)，P(X＝0)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(2,9)，P(X＝10)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,9)，P(X＝20)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,18)，P(X＝30)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(2,9)，P(X＝40)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,9)．這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分X的分布列為X－10010203040Peq\f(1,18)eq\f(2,9)eq\f(2,9)eq\f(1,18)eq\f(2,9)eq\f(2,9)③設(shè)這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功為事務(wù)B，則P(B)＝eq\f(2,9)＋eq\f(1,18)＋eq\f(2,9)＋eq\f(2,9)＝eq\f(13,18)．考點三,獨立重復(fù)試驗的概率與二項分布——師生共研例3(1)(2024·“四省八?！甭?lián)考)已知隨機變量ξ聽從二項分布B(n，p)，若E(ξ)＝12，eq\r(Dξ)＝3，則n＝__48__．(2)(2024·山東新高考質(zhì)量測評聯(lián)盟聯(lián)考)甲、乙兩位同學參與詩詞大會，設(shè)甲、乙兩人每道題答對的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)．假定甲、乙兩位同學答題狀況互不影響，且每人各次答題狀況相互獨立．①用X表示甲同學連續(xù)三次答題中答對的次數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；②設(shè)M為事務(wù)“甲、乙兩人分別連續(xù)答題三次，甲同學答對的次數(shù)比乙同學答對的次數(shù)恰好多2”，求事務(wù)M[解析](1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Eξ＝np＝12,Dξ＝np1－p＝9))，解得n＝48．(2)①X的全部可能取值為0,1,2,3，則P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,27)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(2,9)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,9)；P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)．∴隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)∴E(X)＝0×eq\f(1,27)＋1×eq\f(2,9)＋2×eq\f(4,9)＋3×eq\f(8,27)＝2或E(ξ)＝np＝eq\f(2,3)．②設(shè)Y為乙連續(xù)3次答題中答對的次數(shù)，由題意知Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,4)))，P(Y＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＝eq\f(1,64)，P(Y＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(9,64)，所以P(M)＝P(X＝3且Y＝1)＋P(X＝2且Y＝0)＝eq\f(8,27)×eq\f(9,64)＋eq\f(4,9)×eq\f(1,64)＝eq\f(7,144)．即事務(wù)M發(fā)生的概率為eq\f(7,144)．名師點撥獨立重復(fù)試驗概率求解的策略(1)獨立重復(fù)試驗是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗．在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事務(wù)要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且每次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的．(2)二項分布滿意的條件：①每次試驗中，事務(wù)發(fā)生的概率是相同的；②各次試驗中的事務(wù)是相互獨立的；③每次試驗只有兩種結(jié)果：事務(wù)要么發(fā)生，要么不發(fā)生；④隨機變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事務(wù)發(fā)生的次數(shù)．(3)解此類題時常用互斥事務(wù)概率加法公式，相互獨立事務(wù)概率乘法公式及對立事務(wù)的概率公式．〔變式訓(xùn)練3〕(1)(2024·湖北黃岡模擬)一批產(chǎn)品的二等品率為0.03，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝__2.91__．(2)(2024·遼寧六校協(xié)作體聯(lián)考)“新高考方案：3＋1＋2”模式，其中統(tǒng)考科目：“3”指語文、數(shù)學、外語三門，不分文理：學生依據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長愛好，“1”指首先在物理、歷史2門科目中選擇一門；“2”指再從思想政治、地理、化學、生物4門科目中選擇2門．某校依據(jù)統(tǒng)計選物理的學生占整個學生的eq\f(3,4)；并且在選物理的條件下，選擇地理的概率為eq\f(2,3)；在選歷史的條件下，選地理的概率為eq\f(4,5)．①求該校最終選地理的學生概率；②該校甲、乙、丙三人選地理的人數(shù)設(shè)為隨機變量X．求X的概率分布表以及數(shù)學期望．[解析](1)由于是有放回的抽樣，所以抽到二等品的件數(shù)符合二項分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100，0.03))，由二項分布的方差公式可得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))＝npeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－p))＝100×0.03×0.97＝2.91．(2)①該校最終選地理的學生為事務(wù)A，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A))＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(7,10)；②Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))3＝eq\f(27,1000)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝1))＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))2＝eq\f(189,1000)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝2))＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))＝eq\f(441,1000)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝3))＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))3＝eq\f(343,1000)，X0123Peq\f(27,1000)eq\f(189,1000)eq\f(441,1000)eq\f(343,1000)E(X)＝1×eq\f(189,1000)＋2×eq\f(441,1000)＋3×eq\f(343,1000)＝eq\f(21,10)．另解：明顯X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7,10)))，∴E(X)＝3×eq\f(7,10)＝eq\f(21,10)．名師講壇·素養(yǎng)提升概率中的“停止型”問題例4(2024·甘肅天水一中階段測試)甲、乙兩隊進行一場排球競賽，依據(jù)以往閱歷，單局競賽甲隊勝乙隊的概率為eq\f(2,3)．本場競賽采納五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，競賽結(jié)束．設(shè)各局競賽相互間沒有影響且無平局．求：(1)前三局競賽甲隊領(lǐng)先的概率；(2)設(shè)本場競賽的局數(shù)為ξ，求ξ的概率分布和數(shù)學期望．(用分數(shù)表示)[解析](1)設(shè)“甲隊勝三局\”為事務(wù)A，“甲隊勝二局\”為事務(wù)B，則P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(B)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,9)，所以，前三局競賽甲隊領(lǐng)先的概率為P(A)＋P(B)＝eq\f(20,27)(2)甲隊勝三局或乙勝三局，P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,3)．甲隊或乙隊前三局勝2局，第4局獲勝P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(10,27)．甲隊或乙隊前四局勝2局，第5局獲勝P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(8,27)．∴ξ的