2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記·巧練（湘教版）第三章 因式分解（壓軸題專練）（原卷版）

第三章因式分解（壓軸題專練）一、選擇題1．（2022·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）在數(shù)學(xué)中為了書寫簡(jiǎn)便，18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉就引進(jìn)了求和符號(hào)“∑”，如記＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，則m的值是（）A．45 B．63 C．54 D．不確定2．（2019下·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2018上·山東·八年級(jí)?？计谀┮阎猘=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(

)A．0 B．1 C．2 D．34．（2021下·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知滿足，則的值為（

）A．1 B．－5 C．－6 D．－75．（2021上·重慶萬州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知滿足，，則的值為（

）A．4 B．1 C．0 D．-8二、填空題6．（2024上·四川內(nèi)江·八年級(jí)?？计谥校┰O(shè)為正整數(shù)，且，則等于．7．（2023上·重慶·九年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谥校┤绻粋€(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位自然數(shù)，滿足，則稱這個(gè)四位數(shù)為“倍差等和數(shù)”．例如：四位數(shù)，，，是“倍差等和數(shù)”；又如：四位數(shù)，，不是“倍差等和數(shù)”．最大的“倍差等和數(shù)”為，將“倍差等和數(shù)”的個(gè)位數(shù)字去掉后得到一個(gè)三位數(shù)，該三位數(shù)和的個(gè)位數(shù)字之差能整除，令，若為整數(shù)，則滿足條件的數(shù)的最小值為．8．（2021·浙江·九年級(jí)自主招生）已知，則．9．（2019下·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：.10．（2023下·浙江寧波·七年級(jí)寧波市海曙外國(guó)語學(xué)校?？计谥校┮阎?，為自然數(shù)，且，若，則，．11．（2023下·浙江寧波·七年級(jí)?？计谀┮阎?，且互不相等，則．12．（2014·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果為完全平方數(shù)，則正整數(shù)n為．13．（2018上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，則．14．（2018上·上海楊浦·七年級(jí)?？计谀┤鬭,b,c滿足，則15．（2015·福建泉州·統(tǒng)考一模）已知：，且則．三、解答題16．（2024上·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：將因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式；解法二：原式．【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請(qǐng)用分組分解法將因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請(qǐng)用分組分解法將因式分解；（3）若，，請(qǐng)用分組分解法先將因式分解，再求值．17．（2020上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值，最小值等．例分解因式：；又例如：求代數(shù)式的最小值：；又；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：___________；(2)已知的三邊長(zhǎng)、、都是正整數(shù)，且滿足求邊長(zhǎng)的最小值；(3)當(dāng)、為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最大值？并求出這個(gè)最大值．18．（2018上·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面材料，解答后面的問題：“十字相乘法”能將二次三項(xiàng)式分解因式，對(duì)于形如的關(guān)于，的二次三項(xiàng)式來說，方法的關(guān)鍵是將項(xiàng)系數(shù)分解成兩個(gè)因數(shù)，的積，即，將項(xiàng)系數(shù)分解成兩個(gè)因式，的積，即，并使正好等于項(xiàng)的系數(shù)，那么可以直接寫成結(jié)果：例：分解因式：解：如圖1，其中，，而所以而對(duì)于形如的關(guān)于，的二元二次式也可以用十字相乘法來分解．如圖2．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式例：分解因式解：如圖3，其中，，而，，所以請(qǐng)同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）分解因式：①．②．（2）若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求的值．19．（2019下·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解呢？我們已經(jīng)知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1c2．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成，常數(shù)項(xiàng)c分解成，并且把a(bǔ)1，a2，c1，c2如圖①所示擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么就可以分解為a1xc1a2xc2，其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項(xiàng)－6也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按圖②所示的擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)－1，于是就可以分解為(x2)(x3)．請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：=．【理解與應(yīng)用】請(qǐng)你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：（1）=；（2）=．【探究與拓展】對(duì)于形如的關(guān)于x，y的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解．如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=mxpyjnxqyk，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：（1）分解因式=；（2）若關(guān)于x，y的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求m的值；（3）已知x，y為整數(shù)，且滿足，請(qǐng)寫出一組符合題意的x，y的值．20．（2022下·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┡浞椒ㄊ且环N重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等，請(qǐng)用配方法解決以下問題．(1)試說明：、取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式的值總為正數(shù)；(2)分解因式：；(3)已知實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值．21．（2022下·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．例1用配方法因式分解：a2＋6a＋8．原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，∴當(dāng)a＝b＝1時(shí)，M有最小值1．請(qǐng)根據(jù)上述自主學(xué)習(xí)材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2＋10a＋________；(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．(3)若M＝a2－3a+1，則M的最小值為________；(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，則a＋b＋c的值為________；22．（2022上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）方法探究：已知二次多項(xiàng)式，我們把代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（x＋3）．設(shè)另一個(gè)因式為（x＋k），多項(xiàng)式可以表示成，則有，因?yàn)閷?duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)是對(duì)應(yīng)相等的，即，解得，因此多項(xiàng)式分解因式得：．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問題解決：(1)對(duì)于二次多項(xiàng)式，我們把x＝代入該式，會(huì)發(fā)現(xiàn)成立；(2)對(duì)于三次多項(xiàng)式，我們把x＝1代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（），設(shè)另一個(gè)因式為（），多項(xiàng)式可以表示成，試求出題目中a，b的值；(3)對(duì)于多項(xiàng)式，用“試根法”分解因式．23．（2023下·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）材料一：一個(gè)正整數(shù)x能寫成（a，b均為正整數(shù)，且），則稱x為“雪松數(shù)”，a，b為x的一個(gè)平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，則稱a，b為x的最佳平方差分解，此時(shí)．例如：，24為“雪松數(shù)”，7和5為24的一個(gè)平方差分解，，，因?yàn)?，所?和7為32的最佳平方差分解，；材料二：若一個(gè)四位正整數(shù)，它的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，百位數(shù)字與十位數(shù)字相同，但四個(gè)數(shù)字不全相同，則稱這個(gè)四位數(shù)為“南麓數(shù)”．例如4334，5665均為“南麓數(shù)”．根據(jù)材料回答：(1)請(qǐng)直接寫出兩個(gè)“雪松數(shù)”，并分別寫出它們的一對(duì)平方差分解；(2)試證明10不是：“雪松數(shù)”；(3)若一個(gè)數(shù)t既是“雪松數(shù)”又是“南麓數(shù)”，并且另一個(gè)“南麓數(shù)”的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)恰好是t的一個(gè)平方差分解，請(qǐng)求出所有滿足條件的數(shù)t中的最大值．24．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)?？计谥校┪覀兌x：一個(gè)整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．[解決問題](1)已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成（a、b是整數(shù)）的形式______；(2)若可配方成（m、n為常數(shù)），則______；[探究問題](3)已知，則______；(4)已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說明理由．[拓展結(jié)論](5)已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的最值．25．（2019上·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）填空：____________；（2）閱讀，并解決問題：分解因式解：設(shè)，則原式這樣的解題方法叫做“換元法”，即當(dāng)復(fù)雜的多項(xiàng)式中，某一部分重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，我們用字母將其替換，從而簡(jiǎn)化這個(gè)多項(xiàng)式，換元法是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法，不少問題能用換元法解決.請(qǐng)你用“換元法”對(duì)下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：①②26．（2019上·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）【閱讀材料】因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法.【問題解決】（1）因式分解：；（2）因式分解：；（3）證明：若為正整數(shù)，則代數(shù)式的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．27．（2019下·江蘇蘇州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）你會(huì)對(duì)多項(xiàng)式(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12分解因式嗎？對(duì)結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的多項(xiàng)式，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，用新字母代替(即換元)，能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、明朗化．從換元的個(gè)數(shù)看，有一元代換、二元代換等．對(duì)于(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12．解法一：設(shè)x2+5x＝y(tǒng)，則原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y(tǒng)2+5y﹣6＝(y+6)(y﹣1)＝(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)＝(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1)．解法二：設(shè)x2+5x+2＝y(tǒng)，則原式＝y(tǒng)(y+1)﹣12＝y(tǒng)2+y