專題2.5特殊三角形（二）（勾股定理與直角三角形及其全等的判定十大題型）重難點題型（原卷版）

專題2.5特殊三角形（二）（勾股定理與直角三角形及其全等的判定十大題型）重難點題型注意：該部分包含2.6節(jié)2.8節(jié)的重難點題型題型1.勾股樹與面積問題再探究解題技巧:解決此類問題要熟練運用勾股定理，結合正方形、三角形、半圓的面積公式即可解決問題.1．（2022·河南八年級期末）如圖，正方形的邊長為2，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）A． B． C． D．2．（2022·廣東揭陽·七年級期末）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的邊長為4．若按照圖①至圖③的規(guī)律設計圖案，則在第個圖中所有等腰直角三角形的面積和為（）A． B． C． D．323．（2022·重慶市求精中學校八年級期中）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A、B、C的面積分別是，，，則正方形D的面積是______．4．（2022·浙江省初三學業(yè)考試）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖的方式放置在最大正方形內．若圖中陰影部分的面積為，且，則的長為（）圖1圖2A． B． C． D．5．（2021·浙江省八年級期中）如圖，以的三邊為直徑，分別向外作半圓，構成的兩個月牙形面積分別為、，的面積．若，，則的值為________．6．（2021·湖北鄂州市·八年級期末）如圖，在中，在同一平面內，分別以、、為邊向形外作等邊、等邊、等邊，若，且，，則（）A． B． C． D．題型2.趙爽弦圖相關問題解題技巧:解決此類問題要熟練運用勾股定理及完全平方公式，結合趙爽弦圖利用面積之間的關系即可解決問題.1．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為3，圖2中陰影部分的面積為S，那么S的值為______．2．（2022·浙江·溫州市第十二中學八年級期中）如圖1，我國漢代趙爽在注解《周牌算經(jīng)》時給出四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，人們稱它為“趙爽弦圖”如圖2，連結，，，，記陰影部分面積為，空白部分面積為，若，則________；如圖3，連結，相交于點，與相交于點．若，則________．3．（2022·北京東城·八年級期末）如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（

）A．19 B．44 C．52 D．764．（2021·浙江九年級）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若，則S2的值是（）A．9 B．8 C．7 D．65．（2021·浙江杭州·八年級期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如圖，作三個等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC為斜邊，陰影部分的面積分別記為S1，S2，S3，S4．(1)當AC＝6，BC＝8時，①求S1的值；②求S4﹣S2﹣S3的值；(2)請寫出S1，S2，S3，S4之間的數(shù)量關系，并說明理由．6．（2022·河北省初二期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．給出四個結論：①a2+b2=49；②ab=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正確的結論是（）A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④題型3.勾股定理的應用梯子滑動問題解題技巧:梯子滑動問題解題步驟：1）運用勾股定理求出梯子滑動之前在墻上或者地面上的距離；2）運用勾股定理求出梯子滑動之后在墻上或者地面上的距離；3）兩者相減即可求出梯子在墻上或者地面上滑動的距離。注意：梯子長度為不變量。主要題型：常見題型有梯子滑動、繩子移動等題型。1．（2022·江蘇八年級月考）如圖，一架25米長的梯子斜靠在一豎直的墻上，梯子底端離墻有7米．（1）求梯子靠墻的頂端距地面有多少米？（2）小燕說“如果梯子的頂端沿墻下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑動了4米．”她的說法正確嗎？若不正確，請說明理由．2．（2022·江蘇八年級期中）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻腳的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，求小巷的寬度．3．（2022·吉林九臺·八年級期末）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從移動到，同時小船從移動到，且繩長始終保持不變．、、三點在一條直線上，．回答下列問題：（1）根據(jù)題意可知：（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若米，米，米，求小男孩需向右移動的距離（結果保留根號）．4．（2022·福建·龍巖二中八年級期中）一梯子長2.5m，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子底端離墻0.7m．(1)這架梯子的頂端離地面有多高？(2)設梯子頂端到水平地面的距離為，底端到垂直墻面的距離為，若，根據(jù)經(jīng)驗可知：當時，梯子最穩(wěn)定，使用時最安全．若梯子的頂端下滑了，請問這時使用是否安全．5．（2022·成都市棕北中學八年級月考）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5米．（1）梯子的長是多少？（2）求小巷的寬．6．（2022·新疆·烏魯木齊市八年級期中）太原的五一廣場視野開闊，是一處設計別致，造型美麗的廣場園林，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校八年級（1）班的小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得圖中風箏的高度，他們進行了如下操作：①測得的長為15米（注：）；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明身高1.7米．(1)求風箏的高度．(2)過點D作，垂足為H，求的長度．題型4.勾股定理的應用風吹草動和折竹抵地問題解題技巧:風吹蓮動問題解題步驟：1）根據(jù)問題設出“水深”或者“蓮花”的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。折竹抵地問題解題步驟：1）根據(jù)問題設出“竹子”折斷之前或者折斷之后距離地面的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。注意：1）“蓮花”高度為不變量。2）“竹子”高度為不變量。主要題型：常見題型有蓮花、蘆葦、吸管、筷子、有竹子、風箏線、旗桿繩等題型。1．（2021·江蘇九年級二模）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭蹴．良工高士素好奇，算出索長有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地距離的長為1尺，將它向前水平推送10尺時，即尺，秋千踏板離地的距離和身高5尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”，設秋千的繩索長為x尺，根據(jù)題意可列方程為___________．2．（2021·廣西八年級期末）《九章算術》中的“引葭赴岸”問題：今有池方一丈，葭（一種蘆葦類植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，水深幾何？其大意是：有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長在它的正中央，高出水面1尺．如果把該蘆葦拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叄ㄈ鐖D所示），則水深________尺．3．（2021·湖北八年級期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端離地面2m，則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為_____m．4．（2021·湖南中考真題）《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有下列問題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何？”其意思為：今有一門，高比寬多6尺8寸，門對角線距離恰好為1丈．問門高、寬各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如圖，設門高為尺，根據(jù)題意，可列方程為________．5．（2021·安徽八年級期中）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，作者是我國明代數(shù)學家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾．”(注：1步＝5尺)譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問繩索有多長．”6．（2022·云南廣南·八年級期末）如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．題型5.勾股定理的應用臺風（噪音）和爆破問題解題技巧:臺風（噪音）、爆破問題解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計算爆破點或臺風中心到目的地的最短距離；2）將計算出的最短距離跟爆破或臺風的影響范圍的半徑作比較；3）若最短距離大于影響半徑則不受影響，若最短距離小于半徑則受影響。注意：通常會用到垂線段最短的原理。主要題型：常見題型有爆破、臺風（爆破）等題型。1．（2022·山西八年級期末）如圖，原來從A村到B村，需要沿路A→C→B（）繞過兩地間的一片湖，在A，B間建好橋后，就可直接從A村到B村．已知，，那么，建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為（）A．2km B．4km C．10km D．14km2．（2022·江蘇）如圖，鐵路MN和公路PQ在O點處交匯，公路PQ上A處點距離O點240米，距離MN120米，如果火車行駛時，周圍兩百米以內會受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN上沿ON方向，以144千米/時的速度行駛時，A處受噪音影響的時間是_______s3．（2022·全國九年級專題練習）拖拉機行駛過程中會對周圍產(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一臺拖拉機沿公路AB由點A向點B行駛，已知點C為一所學校，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，拖拉機周圍130m以內為受噪聲影響區(qū)域．（1）學校C會受噪聲影響嗎？為什么？（2）若拖拉機的行駛速度為每分鐘50米，拖拉機噪聲影響該學校持續(xù)的時間有多少分鐘？4．（2022·江蘇八年級期中）臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風中心沿東西方向AB由點A行駛向點B，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為300km和400km，又AB=500km，以臺風中心為圓心周圍250km以內為受影響區(qū)域．（1）海港C受臺風影響嗎？為什么？（2）若臺風的速度為20km/h，臺風影響該海港持續(xù)的時間有小時．5．（2022·山西省運城市八年級階段練習）如圖第4號臺風“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于境內的B處，最大風力有9級（23m/s），中心最低氣壓為990百帕，臺風中心沿東北（BC）方向以25km/h的速度向D移動在距離B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距離AD＝70km，那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心70km的圓形區(qū)域內都將有受到臺風破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾個小時內撤離才可脫離危險？題型6.勾股定理的應用位置問題（航行和信號塔）解題技巧:航行問題解題步驟：1）根據(jù)航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根據(jù)航行速度和時間表示出直角三角形兩直角邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解航行角度、速度或距離。信號塔、中轉站題型解題步驟：1）根據(jù)問題設出未知量（一般情況下求誰設誰），并根據(jù)設出的未知量表示出兩個直角三角形的直角邊長；2）在兩個直角三角形中分別用勾股定理表示出斜邊長；3）根據(jù)斜邊長相等建立方程求解。注意：1）輪船航行的題目要注意兩船終點之間的距離通常為直角三角形的斜邊長；2）信號塔和中轉站等題型要注意兩個目的地到信號塔或中轉站的距離是相等的。主要題型：常見題型有輪船航行、信號塔、中轉站等題型。1．（2022·湖北省崇陽縣八年級期中）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16nmile，“海天”號每小時航行12nmile，它們離開港口一個半小時后相距30nmile，且知道“遠航”號沿東北方向航行，那么“海天”號航行的方向是_______．2．（2021·河南·鶴壁市外國語中學八年級期中）為了積極響應國家新農(nóng)村建設，遂寧市某鎮(zhèn)政府采用了移動宣講的形式進行宣傳動員．如圖，筆直公路MN的一側點A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離為600米，假使宣講車P周圍1000米以內能聽到廣播宣傳，宣講車P以200米/分的速度在公路MN上沿PN方向行駛時，問村莊是否能聽到？若能，請求出總共能聽到多長時間的宣傳？3．（2021·廣東·佛山市九年級階段練習）如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號．已知A、B兩船相距海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上．（1）分別求出A與C，A與D之間的距離AC和AD（如果運算結果有根號，請保留根號）．（2）已知距觀測點D處100海里范圍內有暗礁．若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險﹖請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，精確到1海里）4．（2021·成都八年級期中）如圖，鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應建在距A站多少千米處？5．（2022·全國·八年級專題練習）如圖所示，MN以左為我國領海，以右為公海，上午9時50分我國緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時13海里的速度偷偷向我國領海開來，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時間進入我國海域？6．（2021·湖北八年級期末）如圖，在一條東西走向河流的一側有一村莊河邊原有兩個取水點其中由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點在同一條直線上），并新修一條路測得千米，千米，千米．（1）問是否為從村莊到河邊的最近路．請通過計算加以說明；（2）求新路比原路少多少千米．題型7.勾股定理及逆定理的相關計算1．（2021·江西八年級期中）如圖，在中，，，，的垂直平分線分別交、于點，．（1）求的長度；（2）求的長．2．（2021·安徽八年級期末）如圖，在△ABC中．D是AB邊的中點，DE⊥AB于點D，交AC于點E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）試說明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的長．3．（2021·蘇州高新區(qū)第五初級中學校九年級月考）如圖，在中，，是的平分線，于點E．（1）求證：；（2）若，求線段的長度．4．（2021·河南八年級期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝17cm，D是腰BA延長線上一點，連接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．（1）判斷△BDC的形狀，并說明理由；（2）求△ABC的周長．5．（2022·江蘇）如圖，在中，，，，的垂直平分線交于點D，交于點E，連接．（1）求的長．（2）求的長．題型8.網(wǎng)格中的勾股定理解題技巧：網(wǎng)格中，根據(jù)勾股定理，可求解出三角形或四邊形的長度，然后根據(jù)長度判斷多邊形是否是特殊圖形。1．（2022·陜西九年級）如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，于點D，則AD的長為（）A．1 B．2 C． D．2．（2022·湖南長沙市·八年級期末）如圖，每個小正方形的邊長都為．（1）求四邊形的面積；（2）證明：．3．（2022·浙江溫嶺）如圖，5×5網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點均為網(wǎng)格上的格點（1）AB2＝．BC2＝．AC2＝．（2）∠ABC＝°（3）在格點上存在點P，使∠APC＝90°，請在圖中標出所有滿足條件的格點P（用P1、P2……表示）4．（2022·天津濱海新·八年級期末）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點，，都在格點上．（1）線段的長為______；（2）請用無刻度的直尺，在網(wǎng)格中畫出點，使與面積相等，且．簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）___________________________．5．（2022·安徽六安·八年級期中）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，請按要求完成下列各題．(1)線段AB的長為______；(2)若三角形ABC是直角三角形，且邊BC的長度為5，請在圖中確定點C的位置，并補全三角形ABC．6．（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）（1）已知三邊長分別為，，，小迪在解決這一問題時有以下思路：先畫如圖①的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為1），再畫出格點三角形ABC，利用外接長方形面積減去周圍三個直角三角形的面積，即可求出的面積．請你幫助小迪計算出的面積；（2）若三邊長分別為，，，在圖②的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為a）中，畫出格點三角形DEF，并求出的面積；（3）若三邊長分別為，，，在圖③的長方形網(wǎng)格（小長方形長均為m，寬均為n）中，畫出格點三角形OPQ，并求出的面積．題型9.勾股數(shù)與直角三角形的判定解題技巧：常見勾股數(shù)有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；勾股數(shù)組規(guī)律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）21．（2021·湖北）世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學著作《九章算術》，其勾股數(shù)組公式為a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互質的奇數(shù)，則a，b，c為勾股數(shù)．我們令n＝1，得到下列順序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…根據(jù)規(guī)律寫出第⑥個等式為______________．2．（2021·南寧市第八中學八年級月考）可以構成直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學著作《九章算術》，其勾股數(shù)公式為其中m＞n＞0，m、n是互質的奇數(shù)，當n＝1時，則有一邊長為13的直角三角形的另外兩條邊長為___．3．（2021·安徽八年級期中）在學習“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明設計了如下表格：n23456....a4581012.....b38152435.....c510172637......請回答下列問題：（1）當n＝7時，a＝，b＝，c＝；（2）請你分別觀察a，b，c與n之間的關系，并用含自然數(shù)n（n＞1）的代數(shù)式表示：a＝，b＝，c＝；（3）猜想：以a，b，c為邊長的三角形是否為直角三角形？并對你的猜想加以證明．4．（2021·福建省福州一中貴安學校初二期中）大家見過形如x+y＝z，這樣的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是適合該方程的一個正整數(shù)解，法國數(shù)學家費爾馬早在17世紀還研究過形如x2+y2＝z2的方程．（1）請寫出方程x2+y2＝z2的兩組正整數(shù)解：．（2）研究直角三角形和勾股數(shù)時，我國古代數(shù)學專著（九章算術）給出了如下數(shù)：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇數(shù)），那么，以a，b，c為三邊的三角形為直角三角形，請你加以驗證．5．（2022·山西八年級期末）閱讀材料，并解決問題．有趣的勾股數(shù)定義：勾股數(shù)又名畢氏三元數(shù)．凡是可以構成一個直角三角形三邊長的一組正整數(shù)，稱之為勾股數(shù)．一般地，若三角形三邊長，，都是正整數(shù)，且滿足，那么數(shù)組稱為勾股數(shù)．公元263年魏朝劉徽著《九章算術注》，文中除提到勾股數(shù)以外，還提到，，，等勾股數(shù)．數(shù)學小組的同學研究勾股數(shù)時發(fā)現(xiàn)：設，是兩個正整數(shù)，且，三角形三邊長，，都是正整數(shù)．下表中的，，可以組成一些有規(guī)律的勾股數(shù)．213453251213411581743724255221202954940416135123765116061724528537433566576138485通過觀察這個表格中的數(shù)據(jù)，小明發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)可以寫成．解答下列問題：（1）表中可以用，的代數(shù)式表示為_______．（2）若，，則勾股數(shù)為__________．（3）小明通過研究表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：若，則勾股數(shù)的形式可表述為（為正整數(shù)），請你通過計算求此時的．(用含的代數(shù)式表示)6．（2022·北京四中初二期中）常常聽說“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形兩直角邊長a，b與斜邊長c之間滿足等式：a2+b2＝c2”的一個最簡單