專題2.5特殊三角形（二）（勾股定理與直角三角形及其全等的判定十大題型）重難點(diǎn)題型（原卷版）

專題2.5特殊三角形（二）（勾股定理與直角三角形及其全等的判定十大題型）重難點(diǎn)題型注意：該部分包含2.6節(jié)2.8節(jié)的重難點(diǎn)題型題型1.勾股樹與面積問題再探究解題技巧:解決此類問題要熟練運(yùn)用勾股定理，結(jié)合正方形、三角形、半圓的面積公式即可解決問題.1．（2022·河南八年級(jí)期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）A． B． C． D．2．（2022·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)期末）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的邊長(zhǎng)為4．若按照?qǐng)D①至圖③的規(guī)律設(shè)計(jì)圖案，則在第個(gè)圖中所有等腰直角三角形的面積和為（）A． B． C． D．323．（2022·重慶市求精中學(xué)校八年級(jí)期中）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，正方形A、B、C的面積分別是，，，則正方形D的面積是______．4．（2022·浙江省初三學(xué)業(yè)考試）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖的方式放置在最大正方形內(nèi)．若圖中陰影部分的面積為，且，則的長(zhǎng)為（）圖1圖2A． B． C． D．5．（2021·浙江省八年級(jí)期中）如圖，以的三邊為直徑，分別向外作半圓，構(gòu)成的兩個(gè)月牙形面積分別為、，的面積．若，，則的值為________．6．（2021·湖北鄂州市·八年級(jí)期末）如圖，在中，在同一平面內(nèi)，分別以、、為邊向形外作等邊、等邊、等邊，若，且，，則（）A． B． C． D．題型2.趙爽弦圖相關(guān)問題解題技巧:解決此類問題要熟練運(yùn)用勾股定理及完全平方公式，結(jié)合趙爽弦圖利用面積之間的關(guān)系即可解決問題.1．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為5，短直角邊為3，圖2中陰影部分的面積為S，那么S的值為______．2．（2022·浙江·溫州市第十二中學(xué)八年級(jí)期中）如圖1，我國(guó)漢代趙爽在注解《周牌算經(jīng)》時(shí)給出四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，人們稱它為“趙爽弦圖”如圖2，連結(jié)，，，，記陰影部分面積為，空白部分面積為，若，則________；如圖3，連結(jié)，相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．若，則________．3．（2022·北京東城·八年級(jí)期末）如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（

）A．19 B．44 C．52 D．764．（2021·浙江九年級(jí)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若，則S2的值是（）A．9 B．8 C．7 D．65．（2021·浙江杭州·八年級(jí)期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如圖，作三個(gè)等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC為斜邊，陰影部分的面積分別記為S1，S2，S3，S4．(1)當(dāng)AC＝6，BC＝8時(shí)，①求S1的值；②求S4﹣S2﹣S3的值；(2)請(qǐng)寫出S1，S2，S3，S4之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．6．（2022·河北省初二期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．給出四個(gè)結(jié)論：①a2+b2=49；②ab=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④題型3.勾股定理的應(yīng)用梯子滑動(dòng)問題解題技巧:梯子滑動(dòng)問題解題步驟：1）運(yùn)用勾股定理求出梯子滑動(dòng)之前在墻上或者地面上的距離；2）運(yùn)用勾股定理求出梯子滑動(dòng)之后在墻上或者地面上的距離；3）兩者相減即可求出梯子在墻上或者地面上滑動(dòng)的距離。注意：梯子長(zhǎng)度為不變量。主要題型：常見題型有梯子滑動(dòng)、繩子移動(dòng)等題型。1．（2022·江蘇八年級(jí)月考）如圖，一架25米長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，梯子底端離墻有7米．（1）求梯子靠墻的頂端距地面有多少米？（2）小燕說“如果梯子的頂端沿墻下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑動(dòng)了4米．”她的說法正確嗎？若不正確，請(qǐng)說明理由．2．（2022·江蘇八年級(jí)期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻腳的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，求小巷的寬度．3．（2022·吉林九臺(tái)·八年級(jí)期末）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從移動(dòng)到，同時(shí)小船從移動(dòng)到，且繩長(zhǎng)始終保持不變．、、三點(diǎn)在一條直線上，．回答下列問題：（1）根據(jù)題意可知：（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若米，米，米，求小男孩需向右移動(dòng)的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．4．（2022·福建·龍巖二中八年級(jí)期中）一梯子長(zhǎng)2.5m，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子底端離墻0.7m．(1)這架梯子的頂端離地面有多高？(2)設(shè)梯子頂端到水平地面的距離為，底端到垂直墻面的距離為，若，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：當(dāng)時(shí)，梯子最穩(wěn)定，使用時(shí)最安全．若梯子的頂端下滑了，請(qǐng)問這時(shí)使用是否安全．5．（2022·成都市棕北中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為1.5米．（1）梯子的長(zhǎng)是多少？（2）求小巷的寬．6．（2022·新疆·烏魯木齊市八年級(jí)期中）太原的五一廣場(chǎng)視野開闊，是一處設(shè)計(jì)別致，造型美麗的廣場(chǎng)園林，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場(chǎng)所，某校八年級(jí)（1）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得圖中風(fēng)箏的高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得的長(zhǎng)為15米（注：）；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.7米．(1)求風(fēng)箏的高度．(2)過點(diǎn)D作，垂足為H，求的長(zhǎng)度．題型4.勾股定理的應(yīng)用風(fēng)吹草動(dòng)和折竹抵地問題解題技巧:風(fēng)吹蓮動(dòng)問題解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出“水深”或者“蓮花”的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。折竹抵地問題解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出“竹子”折斷之前或者折斷之后距離地面的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。注意：1）“蓮花”高度為不變量。2）“竹子”高度為不變量。主要題型：常見題型有蓮花、蘆葦、吸管、筷子、有竹子、風(fēng)箏線、旗桿繩等題型。1．（2021·江蘇九年級(jí)二模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離的長(zhǎng)為1尺，將它向前水平推送10尺時(shí)，即尺，秋千踏板離地的距離和身高5尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長(zhǎng)？”，設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可列方程為___________．2．（2021·廣西八年級(jí)期末）《九章算術(shù)》中的“引葭赴岸”問題：今有池方一丈，葭（一種蘆葦類植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，水深幾何？其大意是：有一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長(zhǎng)在它的正中央，高出水面1尺．如果把該蘆葦拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叄ㄈ鐖D所示），則水深________尺．3．（2021·湖北八年級(jí)期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端離地面2m，則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）為_____m．4．（2021·湖南中考真題）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何？”其意思為：今有一門，高比寬多6尺8寸，門對(duì)角線距離恰好為1丈．問門高、寬各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如圖，設(shè)門高為尺，根據(jù)題意，可列方程為________．5．（2021·安徽八年級(jí)期中）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾．”(注：1步＝5尺)譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問繩索有多長(zhǎng)．”6．（2022·云南廣南·八年級(jí)期末）如圖，一棵豎直生長(zhǎng)的竹子高為8米，一陣強(qiáng)風(fēng)將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．題型5.勾股定理的應(yīng)用臺(tái)風(fēng)（噪音）和爆破問題解題技巧:臺(tái)風(fēng)（噪音）、爆破問題解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計(jì)算爆破點(diǎn)或臺(tái)風(fēng)中心到目的地的最短距離；2）將計(jì)算出的最短距離跟爆破或臺(tái)風(fēng)的影響范圍的半徑作比較；3）若最短距離大于影響半徑則不受影響，若最短距離小于半徑則受影響。注意：通常會(huì)用到垂線段最短的原理。主要題型：常見題型有爆破、臺(tái)風(fēng)（爆破）等題型。1．（2022·山西八年級(jí)期末）如圖，原來從A村到B村，需要沿路A→C→B（）繞過兩地間的一片湖，在A，B間建好橋后，就可直接從A村到B村．已知，，那么，建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為（）A．2km B．4km C．10km D．14km2．（2022·江蘇）如圖，鐵路MN和公路PQ在O點(diǎn)處交匯，公路PQ上A處點(diǎn)距離O點(diǎn)240米，距離MN120米，如果火車行駛時(shí)，周圍兩百米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN上沿ON方向，以144千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，A處受噪音影響的時(shí)間是_______s3．（2022·全國(guó)九年級(jí)專題練習(xí)）拖拉機(jī)行駛過程中會(huì)對(duì)周圍產(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一臺(tái)拖拉機(jī)沿公路AB由點(diǎn)A向點(diǎn)B行駛，已知點(diǎn)C為一所學(xué)校，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，拖拉機(jī)周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響嗎？為什么？（2）若拖拉機(jī)的行駛速度為每分鐘50米，拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有多少分鐘？4．（2022·江蘇八年級(jí)期中）臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為300km和400km，又AB=500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有小時(shí)．5．（2022·山西省運(yùn)城市八年級(jí)階段練習(xí)）如圖第4號(hào)臺(tái)風(fēng)“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于境內(nèi)的B處，最大風(fēng)力有9級(jí)（23m/s），中心最低氣壓為990百帕，臺(tái)風(fēng)中心沿東北（BC）方向以25km/h的速度向D移動(dòng)在距離B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距離AD＝70km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾個(gè)小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？題型6.勾股定理的應(yīng)用位置問題（航行和信號(hào)塔）解題技巧:航行問題解題步驟：1）根據(jù)航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根據(jù)航行速度和時(shí)間表示出直角三角形兩直角邊長(zhǎng)；3）根據(jù)勾股定理列方程求解航行角度、速度或距離。信號(hào)塔、中轉(zhuǎn)站題型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出未知量（一般情況下求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)），并根據(jù)設(shè)出的未知量表示出兩個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)；2）在兩個(gè)直角三角形中分別用勾股定理表示出斜邊長(zhǎng)；3）根據(jù)斜邊長(zhǎng)相等建立方程求解。注意：1）輪船航行的題目要注意兩船終點(diǎn)之間的距離通常為直角三角形的斜邊長(zhǎng)；2）信號(hào)塔和中轉(zhuǎn)站等題型要注意兩個(gè)目的地到信號(hào)塔或中轉(zhuǎn)站的距離是相等的。主要題型：常見題型有輪船航行、信號(hào)塔、中轉(zhuǎn)站等題型。1．（2022·湖北省崇陽(yáng)縣八年級(jí)期中）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12nmile，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30nmile，且知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，那么“海天”號(hào)航行的方向是_______．2．（2021·河南·鶴壁市外國(guó)語(yǔ)中學(xué)八年級(jí)期中）為了積極響應(yīng)國(guó)家新農(nóng)村建設(shè)，遂寧市某鎮(zhèn)政府采用了移動(dòng)宣講的形式進(jìn)行宣傳動(dòng)員．如圖，筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離為600米，假使宣講車P周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車P以200米/分的速度在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，問村莊是否能聽到？若能，請(qǐng)求出總共能聽到多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳？3．（2021·廣東·佛山市九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號(hào)．已知A、B兩船相距海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得船C正好在觀測(cè)點(diǎn)D的南偏東75°方向上．（1）分別求出A與C，A與D之間的距離AC和AD（如果運(yùn)算結(jié)果有根號(hào)，請(qǐng)保留根號(hào)）．（2）已知距觀測(cè)點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線AC去營(yíng)救船C，在去營(yíng)救的途中有無觸暗礁危險(xiǎn)﹖請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，精確到1海里）4．（2021·成都八年級(jí)期中）如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多少千米處？5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，MN以左為我國(guó)領(lǐng)海，以右為公海，上午9時(shí)50分我國(guó)緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我國(guó)領(lǐng)海開來，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測(cè)得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)海域？6．（2021·湖北八年級(jí)期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)其中由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)在同一條直線上），并新修一條路測(cè)得千米，千米，千米．（1）問是否為從村莊到河邊的最近路．請(qǐng)通過計(jì)算加以說明；（2）求新路比原路少多少千米．題型7.勾股定理及逆定理的相關(guān)計(jì)算1．（2021·江西八年級(jí)期中）如圖，在中，，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)，．（1）求的長(zhǎng)度；（2）求的長(zhǎng)．2．（2021·安徽八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中．D是AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）試說明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的長(zhǎng)．3．（2021·蘇州高新區(qū)第五初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，在中，，是的平分線，于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若，求線段的長(zhǎng)度．4．（2021·河南八年級(jí)期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝17cm，D是腰BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．（1）判斷△BDC的形狀，并說明理由；（2）求△ABC的周長(zhǎng)．5．（2022·江蘇）如圖，在中，，，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．（1）求的長(zhǎng)．（2）求的長(zhǎng)．題型8.網(wǎng)格中的勾股定理解題技巧：網(wǎng)格中，根據(jù)勾股定理，可求解出三角形或四邊形的長(zhǎng)度，然后根據(jù)長(zhǎng)度判斷多邊形是否是特殊圖形。1．（2022·陜西九年級(jí)）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．2．（2022·湖南長(zhǎng)沙市·八年級(jí)期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為．（1）求四邊形的面積；（2）證明：．3．（2022·浙江溫嶺）如圖，5×5網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)均為網(wǎng)格上的格點(diǎn)（1）AB2＝．BC2＝．AC2＝．（2）∠ABC＝°（3）在格點(diǎn)上存在點(diǎn)P，使∠APC＝90°，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出所有滿足條件的格點(diǎn)P（用P1、P2……表示）4．（2022·天津?yàn)I海新·八年級(jí)期末）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上．（1）線段的長(zhǎng)為______；（2）請(qǐng)用無刻度的直尺，在網(wǎng)格中畫出點(diǎn)，使與面積相等，且．簡(jiǎn)要說明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）___________________________．5．（2022·安徽六安·八年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題．(1)線段AB的長(zhǎng)為______；(2)若三角形ABC是直角三角形，且邊BC的長(zhǎng)度為5，請(qǐng)?jiān)趫D中確定點(diǎn)C的位置，并補(bǔ)全三角形ABC．6．（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期中）（1）已知三邊長(zhǎng)分別為，，，小迪在解決這一問題時(shí)有以下思路：先畫如圖①的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長(zhǎng)均為1），再畫出格點(diǎn)三角形ABC，利用外接長(zhǎng)方形面積減去周圍三個(gè)直角三角形的面積，即可求出的面積．請(qǐng)你幫助小迪計(jì)算出的面積；（2）若三邊長(zhǎng)分別為，，，在圖②的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長(zhǎng)均為a）中，畫出格點(diǎn)三角形DEF，并求出的面積；（3）若三邊長(zhǎng)分別為，，，在圖③的長(zhǎng)方形網(wǎng)格（小長(zhǎng)方形長(zhǎng)均為m，寬均為n）中，畫出格點(diǎn)三角形OPQ，并求出的面積．題型9.勾股數(shù)與直角三角形的判定解題技巧：常見勾股數(shù)有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；勾股數(shù)組規(guī)律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）21．（2021·湖北）世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互質(zhì)的奇數(shù)，則a，b，c為勾股數(shù)．我們令n＝1，得到下列順序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…根據(jù)規(guī)律寫出第⑥個(gè)等式為______________．2．（2021·南寧市第八中學(xué)八年級(jí)月考）可以構(gòu)成直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)公式為其中m＞n＞0，m、n是互質(zhì)的奇數(shù)，當(dāng)n＝1時(shí)，則有一邊長(zhǎng)為13的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)為___．3．（2021·安徽八年級(jí)期中）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，愛動(dòng)腦的小明設(shè)計(jì)了如下表格：n23456....a4581012.....b38152435.....c510172637......請(qǐng)回答下列問題：（1）當(dāng)n＝7時(shí)，a＝，b＝，c＝；（2）請(qǐng)你分別觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n＞1）的代數(shù)式表示：a＝，b＝，c＝；（3）猜想：以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是否為直角三角形？并對(duì)你的猜想加以證明．4．（2021·福建省福州一中貴安學(xué)校初二期中）大家見過形如x+y＝z，這樣的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是適合該方程的一個(gè)正整數(shù)解，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬早在17世紀(jì)還研究過形如x2+y2＝z2的方程．（1）請(qǐng)寫出方程x2+y2＝z2的兩組正整數(shù)解：．（2）研究直角三角形和勾股數(shù)時(shí)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著（九章算術(shù)）給出了如下數(shù)：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇數(shù)），那么，以a，b，c為三邊的三角形為直角三角形，請(qǐng)你加以驗(yàn)證．5．（2022·山西八年級(jí)期末）閱讀材料，并解決問題．有趣的勾股數(shù)定義：勾股數(shù)又名畢氏三元數(shù)．凡是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)的一組正整數(shù)，稱之為勾股數(shù)．一般地，若三角形三邊長(zhǎng)，，都是正整數(shù)，且滿足，那么數(shù)組稱為勾股數(shù)．公元263年魏朝劉徽著《九章算術(shù)注》，文中除提到勾股數(shù)以外，還提到，，，等勾股數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)研究勾股數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：設(shè)，是兩個(gè)正整數(shù)，且，三角形三邊長(zhǎng)，，都是正整數(shù)．下表中的，，可以組成一些有規(guī)律的勾股數(shù)．213453251213411581743724255221202954940416135123765116061724528537433566576138485通過觀察這個(gè)表格中的數(shù)據(jù)，小明發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)可以寫成．解答下列問題：（1）表中可以用，的代數(shù)式表示為_______．（2）若，，則勾股數(shù)為__________．（3）小明通過研究表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：若，則勾股數(shù)的形式可表述為（為正整數(shù)），請(qǐng)你通過計(jì)算求此時(shí)的．(用含的代數(shù)式表示)6．（2022·北京四中初二期中）常常聽說“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形兩直角邊長(zhǎng)a，b與斜邊長(zhǎng)c之間滿足等式：a2+b2＝c2”的一個(gè)最簡(jiǎn)單