第12章全等三角形（壓軸必刷30題4種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）（原卷版）

第12章全等三角形（壓軸必刷30題4種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）一．全等三角形的判定（共4小題）1．（2022秋?高郵市期中）如圖，在△ABC與△ABD中，BC＝BD，∠ABC＝∠ABD．點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD中點(diǎn)，連接AE，AF求證：△ABE≌△ABF．2．（2022秋?廣州期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直線l經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相交．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動．點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為1cm/s和2cm/s，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并開始計(jì)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束．在某時(shí)刻分別過點(diǎn)P和點(diǎn)Q作PE⊥l于點(diǎn)E，QF⊥l于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，則當(dāng)t＝秒時(shí)，△PEC與△QFC全等．3．（2022秋?天河區(qū)校級期中）如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動．它們運(yùn)動的時(shí)間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由．4．（2022秋?源城區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？二．直角三角形全等的判定（共1小題）5．（2022秋?洛龍區(qū)期中）CD經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個(gè)問題：①如圖1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則BECF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立．（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．三．全等三角形的判定與性質(zhì)（共23小題）6．（2022秋?衡陽縣期中）如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE交于點(diǎn)F，且AD＝CD．（1）求證：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的長．7．（2022秋?永春縣期中）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)出發(fā)，沿A→B→A方向以2cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以lcm/s的速度運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（s）．（1）求證：AB∥DE．（2）寫出線段AP的長（用含t的式子表示）．（3）連接PQ，當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求t的值．8．（2022秋?新昌縣校級期中）如圖，已知AD為△ABC的中線，延長AD，分別過點(diǎn)B，C作BE⊥AD，CF⊥AD．（1）求證：△BED≌△CFD．（2）若∠EAC＝45°，AF＝12，DC＝13，求EF的長．9．（2022秋?余慶縣期中）已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BD．（1）求證：△BAD≌△CAE；（2）請判斷BD、CE有何大小、位置關(guān)系，并證明．10．（2022秋?高郵市期中）如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．（1）求證：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝17，AD＝9，求AE的長．11．（2022秋?新賓縣期中）如圖（1）所示，A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，AE＝CF，過E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．（1）求證：EG＝FG．（2）若將△DEC的邊EC沿AC方向移動，變?yōu)閳D（2）時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論是否成立？請說明理由．12．（2022秋?和平區(qū)校級期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由．13．（2022秋?綦江區(qū)期中）（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE＝BD+CE．（2）組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點(diǎn)I，求證：I是EG的中點(diǎn)．14．（2022秋?薩爾圖區(qū)校級期中）如圖，CD是經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上．①如圖1，若∠BCA＝90°，α＝90°，則BECF；②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于α與∠BCA關(guān)系的條件，使①中的結(jié)論仍然成立，并說明理由；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，α＝∠BCA，請?zhí)岢鲫P(guān)于EF，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并簡述理由．15．（2022秋?余杭區(qū)校級期中）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE＝BA．（1）AD與CB相等嗎？請證明你的結(jié)論．（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度數(shù)；（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，則α、β之間滿足一定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出這個(gè)結(jié)論．16．（2022秋?柘城縣期中）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．17．（2022秋?藍(lán)山縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C→B→C做勻速移動，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．（1）證明：AD∥BC．（2）在移動過程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動速度取某個(gè)值時(shí)，有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，請你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動速度取哪些值時(shí)，會出現(xiàn)△DEG與△BFG全等的情況．18．（2022秋?玉林期中）已知：如圖，D為△ABC外角∠ACP平分線上一點(diǎn)，且DA＝DB，DM⊥BP于點(diǎn)M（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面積；（2）求證：AC＝BM+CM．19．（2022秋?陽東區(qū)期中）如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BD＝CD．（1）圖中與△BDE全等的三角形是，請加以證明；（2）若AE＝8cm，AC＝5cm，求BE的長．20．（2022秋?陽新縣期中）已知△ABC和△DEF為等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在射線AC上．（1）如圖1，若∠BAC＝60°，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，求證：AF＝AE+AD；（2）如圖2，若AD＝AB，求證：AF＝AE+BC．21．（2022秋?潮安區(qū)期中）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，交AB于點(diǎn)F，且EF⊥AB于點(diǎn)F，AB＝DE．（1）求證：△ACB≌△EBD．（2）若DB＝10，求AC的長．22．（2022秋?蘭溪市期中）如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動．它們運(yùn)動的時(shí)間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由．23．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，CD與BM相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接MD，過點(diǎn)D作DN⊥MD，交BM于點(diǎn)N．（1）求證：△DBN≌△DCM；（2）請?zhí)骄烤€段NE、ME、CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．24．（2022秋?上杭縣期中）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且BD＝AD．（1）求證：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E為AD延長線上的一點(diǎn)，且CE＝CA．①求證：DE平分∠BDC；②若點(diǎn)M在DE上，且DC＝DM，請判斷ME、BD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；③若N為直線AE上一點(diǎn)，且△CEN為等腰三角形，直接寫出∠CNE的度數(shù)．25．（2022秋?瀏陽市期中）如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB交AB于E，F(xiàn)在AC上，∠B＝∠CFD．證明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．26．（2022秋?天門期中）如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．求證：（1）EC＝BF；（2）EC⊥BF．27．（2022秋?邢臺期中）在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在直線AB上，且DE＝CE．（1）如圖（1），若∠DEC＝∠A＝90°，BC＝3，AD＝2，求AB的長；（2）如圖（2），若DE交BC于點(diǎn)F，∠DFC＝∠AEC，猜想AB、AD、BC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．28．（2022秋?三臺縣期中）如圖，已知：CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中線，求證：AC＝2AE．四．全等三角形的應(yīng)用（共2小題）29．（2022秋?盧龍縣期中）如圖，操場上有兩根旗桿間相距12m，小強(qiáng)同學(xué)從B點(diǎn)沿BA走向A，一定時(shí)間后他到達(dá)M點(diǎn)，此時(shí)他測得CM和DM的夾角為90°，且CM＝DM，已知旗桿AC的高為3m，小強(qiáng)同學(xué)行走的速度為0.5m/s，則：（1）請你求出另一旗桿BD的高度；（2）小強(qiáng)從M點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)還需要多長時(shí)間？30．（2022秋?南康區(qū)期中）【問題背景】在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是．【探索延