2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)（華師版）教案 第23章圖形的相似23.3.1相似三角形

第23章圖形的相似23.3相似三角形1相似三角形教學(xué)目標(biāo)1.理解并掌握相似三角形的定義.2.掌握由平行線判定兩個(gè)三角形相似.3.經(jīng)歷三角形相似的定義及由平行線判定兩個(gè)三角形相似的探究過(guò)程.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：相似三角形的定義，由平行線判定兩個(gè)三角形相似.難點(diǎn)：根據(jù)兩個(gè)三角形相似求線段的長(zhǎng)或角的度數(shù).教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)鞏固1.什么叫相似多邊形呢？?jī)蓚€(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的各邊對(duì)應(yīng)成比例，各角對(duì)應(yīng)相等，就稱這兩個(gè)多邊形相似.2.什么叫相似比？相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.3.平行線分線段成比例基本事實(shí)可以得到結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.導(dǎo)入新課【問(wèn)題1】活動(dòng)1（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）【思考】1.（1）觀察你與老師的直角三角尺，相似嗎?（2）這兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小有什么關(guān)系？（3）這兩個(gè)三角形的三條對(duì)應(yīng)邊有什么關(guān)系？2.三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定相似嗎？【答案】1.（1）相似.（2）三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等.（3）對(duì)應(yīng)成比例.2.相似.教師：你能類似的給相似三角形下一個(gè)定義嗎？教師引出課題：23.2相似三角形1相似三角形探究新知探究點(diǎn)一相似三角形活動(dòng)2（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）1.相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的就是相似三角形，它們是對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等的三角形.如圖所示，在△ABC與△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝，此時(shí)△ABC與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′，讀作：△ABC相似于△A′B′C′.2.相似比：如果記，那么這個(gè)比值k就表示這兩個(gè)相似三角形的相似比.【注意】對(duì)應(yīng)線段寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置.探究點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)【問(wèn)題2】活動(dòng)3（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）【思考】已知:△ABC∽△DEF，你能得到哪些結(jié)論？∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F；＝＝.【總結(jié)】相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例.探究點(diǎn)三由平行線判定兩個(gè)三角形相似【問(wèn)題3】閱讀教材第62頁(yè)“做一做”學(xué)生回答：這兩個(gè)三角形相似.老師點(diǎn)評(píng)后，提出如何來(lái)驗(yàn)證此結(jié)論成立？探究：在△ABC中，DE∥BC，且DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，△ABC與△ADE有什么關(guān)系？結(jié)論：△ABC∽△ADE.理由：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，因?yàn)镈E∥BC，EF∥AB，所以ADAB＝因?yàn)樗倪呅蜠BFE是平行四邊形，所以DE＝BF.所以DEBC所以ADAB因?yàn)椤螦＝∠A，∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.所以△ABC∽△ADE.活動(dòng)4（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）【總結(jié)】平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.符號(hào)語(yǔ)言表示：如圖所示，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.活動(dòng)5典例講解（師生互動(dòng)）例1如圖，△ABC∽△AB′C′，∠A＝35°，∠B＝72°，求∠AC′B′的度數(shù).【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）已知相似三角形及2個(gè)角，如何運(yùn)用相似三角形的定義求出未知的角度？∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝35°，∠B＝72°，∴∠C＝180°-35°-72°＝73°.∵△ABC∽△AB′C′，∴∠AC′B′＝∠C＝73°.【題后總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等.例2如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，則圖中相似三角形共有多少對(duì)？【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）利用相似三角形的預(yù)備定理解題.∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC，∴圖中相似三角形共有3對(duì).【題后總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）解決此類問(wèn)題一般運(yùn)用“平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”來(lái)解題.【即學(xué)即練】（學(xué)生獨(dú)學(xué)）如圖，在ABCD中，過(guò)點(diǎn)B的直線與對(duì)角線AC、邊AD分別交于點(diǎn)E和F.過(guò)點(diǎn)E作EG∥BC，交AB于G，則圖中相似三角形共有多少對(duì)？圖中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA，共5對(duì).理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，BC＝DA，∠ABC＝∠D，AB＝CD，∴△ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA.∵GE∥BC，∴△AGE∽△ABC∽△CDA.∵GE∥BC，AD∥BC，∴GE∥AD，∴△BGE∽△BAF.∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE.課堂練習(xí)1.如圖所示，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD邊AB上一點(diǎn)，射線CP交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中相似的三角形有（）A.0對(duì)B.1對(duì)C.2對(duì)D.3對(duì)2.如圖所示，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，（1）請(qǐng)找出圖中所有的相似三角形；（2）如果AD＝1，DB＝3，那么DG∶BC＝_____.3.如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于點(diǎn)Ｏ，則圖中與△ABC相似的三角形共有多少個(gè)?請(qǐng)你寫(xiě)出來(lái).4.如圖所示，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且△ACP∽△PDB.（1）求∠APB的大??；（2）說(shuō)明線段AC、CD、BD之間的數(shù)量關(guān)系.5.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB的三等分點(diǎn)，DE//BC，DE＝5.求BC的長(zhǎng).參考答案1.D2.（1）△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC（2）1:43.與△ABC相似的三角形有3個(gè)

，分別是△ADE，△GFC，△GOE.4.（1）∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD＝60°，∴∠A+∠APC＝60°.∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠B，∴∠A+∠B＝60°，∴∠APB＝120°.（2）∵△ACP∽△PDB，∴＝.∵△PCD是等邊三角形，∴CD＝PC＝PD，∴CD2＝AC·BD.5.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴∴課堂小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的三角形是相似三角形.表示方法：相似用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”，如果△ABC與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′.判斷方法：平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.布置作業(yè)教材第63頁(yè)練習(xí)題第1，2，3題.板書(shū)設(shè)計(jì)課