高中數(shù)學(xué)必修5之解三角形

高中數(shù)學(xué)必修5第一單元解三角形

【第一部分】基礎(chǔ)知識提要

1.1正弦定理和余弦定理

i.i.i正弦定理

1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

sinAsinBsinC

正弦定理推論：①_J=/_=」=2R（R為三角形外接圓的半徑〕

sinAsinBsinC

@a=2/?sinAyb=2/?sinB,c=2/?sinC

asinAhsinBasinA

@-=----,-=-----,-=-----

bsinBcsinCcsinC

④a:Z?:c=sin4:sin8:sinC

@-￡_=-±_=_^=__Q+b+c

sinAsinBsinCsinA+sin8+sinC

2、解三角形的概念：一般地，我們把三角形的各個(gè)角即他們所對的邊叫做三角形的元素。任何一個(gè)三角形

都有六個(gè)元素：三條邊（a,b,c）和三個(gè)內(nèi)角（A,8,C）.在三角形中，己知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過

程叫做解三角形。

3、正弦定理確定三角形解的情況

圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)

A?a=bsinA

V為a一解

A/②aNb

銳

B4R

bsinA<a<b兩解

?BB：

a<bsinA無解

AB

A

為a>b一解

ABA

鈍

角

Jbc

或\

a<b無解

直A81B

角

4、任意三角形面積公式為:

—besinA=-ocsinB=—absinC=----

“ABC2224K

1.1.2余弦定理

5、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩

倍,艮］

a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.

1221

A.生nA班、八~+C—a"a+c—b"「a-\-b~-

余弦定理推論：cosA=-------------->cosBD=--------------,cosC=----------

2bclac2ah

6、不常用的三角函數(shù)值

15°75°105°165°

V6-V2V6+V2V6+V2V6-V2

sina

4444

叵V6+V2

COS6Z

4444

tana2-百2+V3—2—^3—2+y/3

1.2應(yīng)用舉例（瀏覽即可）

1、方位角：如圖1,從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角。

2、方向角：如圖2,從指定線到目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角。（指定方向線是指正北或正南或正

西或正東）

3、仰角和俯角：如圖3,與目標(biāo)線在同一錯(cuò)垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線

上方時(shí)叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫做俯角。

水平面/

（1）方位角（2）方向角（3）仰角和俯角（4）視角（5）坡角與坡比

4、視角：如圖4,觀察物體的兩端，視線張開的角度稱為視角。

5、鉛直平行：與海平面垂直的平面。

6、坡角與坡比：如圖5,坡面與水平面所成的夾角叫坡角，坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫坡比

【小結(jié)及補(bǔ)充】

1、三角形三角關(guān)系：A+B+C=180°；C=180°-（A+B）；

2、三角形三邊關(guān)系：a+b>c;a-b<c

3、三角形中的基本關(guān)系：sin（A+B）=sinC,cos（A+B）=-cosC,tan（A+B）=-tanC,

.A+BCA+B.CA+BC

sin-----=cos—,cos------=sin—,tan------=cot—

222222

4、正弦定理:在AABC中，。、b、c分別為角A、B、C的對邊，R為AABC的外接圓的半徑，則

有，一=」一=，一=2R.

sinAsinBsinC

5、正弦定理的變形公式:

①化角為邊：a=2RsinA,Z?=2/?sinB,c=2/?sinC；

②化邊為角：sinA=tsinB=,sinC二」一；

2R2R2R

③。:b:c=sinA:sinB:sinC；?-----.——=a=，=——.

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

6、兩類正弦定理解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.

②已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.(對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況(一

解、兩解、三解))

7、余弦定理：在AABC中，有儲=從+c?-2Z?ccosA,b2*456=a2+c2-laccosB,

c2=a2+從一labcosC.

f22222i22i22

A壯上xmvli仕,A.Aa~-b~「a~+b~-c~

8O、余弦定理1的推論：cosA=---------,cosB=----------,cosC=----------.

2bc2aclab

(余弦定理主要解決的問題：1.已知兩邊和夾角，求其余的量。2.已知三邊求角)

9、余弦定理主要解決的問題：①已知兩邊和夾角，求其余的量。②已知三邊求角)

10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角

的形式設(shè)。、b、c是AABC的角A、B、。的對邊，則：

①若片+"=/,則。=90。；②若/+從＞。2,則c〈90°；③若/+從＜「2,則。＞90。.

11、三角形面積公式：

(1)S=-ah=-bh=-ch(hxh.人分別表示。、b、c上的高)：

2o2b2cob

(2)S=-absinC=-bcsiriA="crcsinB：

222

(3)S=a2sini?sinC_b2sinCsinA_c2sin＞1sin

2sin(8+C)2sin(C+A)2sin(^+B)'

2

(4)S=2/?sin4sin8sinCo(月為外接圓半徑)

(5)S=—；

4R

(6)S=y/p(p-a)(p-b)(p-c)：(〃=；(a+b+c))

12、三角形的四心：

垂心一一三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)

重心一一三角形三條中線的相交于一點(diǎn)（重心到頂點(diǎn)距離與到對邊距離之比為2:1）

外心一一三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)（外心到三頂點(diǎn)距離相等）

內(nèi)心一一三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)（內(nèi)心到三邊距離相等）

13、三角函數(shù)中誘導(dǎo)公式及輔助角公式（和差角、倍角等）。

特殊角的三角函數(shù)值

角度a0°30c45°60。90。120°135c150:ISO0270°3600

戶TXX2jr3JT5j

a的弧度0我2x

64323462

33

sina2叵叵2

010-10

222222

32272

COSa1互0-101

22222

3_V7

tana016-100

33

【第二部分】典型例題及?？碱}型精講

考察點(diǎn)1:利用正弦定理解三角形

例1

在△ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a:b:c.

【點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中邊與角的互化，利用三角形內(nèi)角和定理及正弦定理的變形形

式a:b:c=sinA:sinB:sinC求解。

?.,4:5:。=1:2:3,而人+5+。=%.

:.a:b:=sinA:sinB:sinC=sin—:sin—:sin—=—:——:1=1:\/5:2.

解：63222

【解題策略】要牢記正弦定理極其變形形式，要做到靈活應(yīng)用。

例2在ABC中，已知c=^+痣，C=30°,求a+b的取值范圍。

【點(diǎn)撥】此題可先運(yùn)用正弦定理將a+b表示為某個(gè)角的二角函數(shù)，然后再求解。

a_b_c_V2+V6

解：VC=30°,c=&十遍,???由正弦定理得：面人sinBsinCsin30°

:.a=2（也+遍）sinA,b=2（血+#）sinB=2（拒+6）sin（1500-A）.

Aa+b=2（+）［sinA+sin（1500-A）］=2（也+#）?2sin750?cos（750-A）=

①當(dāng)75°-A=0°,即A=75°時(shí)，a+b取得最大值)=8+4后;

(2)VA=180°-(C+B)=150°-B,.\A<150c,A00<A<150°,

/.-75°<75°-A<75°,.,.cos75°<cos(75°—A)W1,

”（昆網(wǎng)c°s75」（員對X丐立.口卡

綜合①②可得a+b的取值范圍為（血+逐,8+46>

考察點(diǎn)2：利用正弦定理判斷三角形形狀

例3

在AABC中，a2?tanB=b2.tanA,判斷三角形ABC的形狀。

【點(diǎn)撥】通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用角的關(guān)系判斷AABC的形狀。

解：由正弦定理變式a=2RsinA,b=2Rsir）B得：

/.sinAcosA=sin8cosB,

即sin2A=sin25,..24=23或24+25=萬，

:.A=B^A+B=-

2.

???SBC為等腰三角形或直角三角形。

【解題策略】“在AABC中，由sin2A=sin2B得/八二NB”是常犯的錯(cuò)誤，應(yīng)認(rèn)真體會上述解答過程中“N

7C

A二NB或NA+NB=2”的導(dǎo)出過程。

例4

在AABC中,如果lga-lgc=lgsin3=一館應(yīng).并且B為銳角,試判斷此匚角形的形狀.

【點(diǎn)撥】通過正弦定理把邊的形式轉(zhuǎn)化為角的形式，利用兩角差的正弦公式來判斷AABC的形狀。

1gsin8=—1g>/2,/.sinB=

解：2.

又YB為銳角，???B=45°.

lg?-lgc=-lg\/2,W-=^-.

由〃2

sinA_>/2

由正弦定理，得sinC2,

..?4=180。-45。-C,代入上式得：

V2sinC=2sin(1350-C)

=2(sinl35°cosC-cos135°sinC)

=應(yīng)cosC+V2sinCy

cosC=0,/.C=90°,/.A=45°.

」.△ABC為等腰直角三角形。

考察點(diǎn)3：利用正弦定理證明三角恒等式

例5

a2-b2加一。2天一"

--------------------1----------------------1--------------------=0

在aABC中，求證cosA+cosBcosB-cosCcosC+cosA

【點(diǎn)覆】觀察等式的特點(diǎn)，有邊有角要把邊角統(tǒng)一，為此利用正弦定理將/轉(zhuǎn)化為

sin2A,sin2B,sin2C

證明：由正弦定理的變式a=2RsinA,b=27?sin8得：

/-y_44、sin?A-sin?B

cosA+cosBcosA+cosB

_4R1(1—COS2A)-(1-COS2B)]

cosA+cosB

=(COS^-COS^)=4/?2(COSBCOS4)

cosA+cosB

1-e2

----------：——=47?2(COSC-cosB)、

cosB+cosC

22

——-——-----=4/?2(cosA-cosC).

同理cosC+cosA

左邊=47?2(cosB-cosA+cosC-cosB+cosA-cosC)

=0=右邊

二.等式成立。

【解題策略】在三角形中，解決含邊角關(guān)系的問題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，然后利用三角知識

去解決，要注意體會其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。

例6

在AABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，C=2B,求證/一從二?！?/p>

【點(diǎn)撥】本題考查正弦定理與倍角公式的綜合應(yīng)用.

證明.?.?A+B+C=180°,...B+C=1800-A.

又?；C=2B,;.C-B=B.

,/sin(B+C)=sin(l80°-A)=sin4,

c2-Z?2=4/e2(sin2C-sin2B)

=4*(sinC+sinB)(sinC-sinB)

=4R~2sin上?8sU?28s好?sin3

2222

=4R2sin(C+B)sin(C-B)=4R2sinAsin3="=右邊.

?.等式成立.

【解題策略】有關(guān)三角形的證明題中，要充分利用三角形本身所具有的性質(zhì)。

(1)A+B+C=7r,A+B=7r-C,^^-=---.2A+

222

2B=2TT-2C.

(2)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)

=-tanC.

(3)sin^-^CA+BCA+B

=cos——,cos=sin—aan

2222

C

cot—?

2

(4)sin(2A+2B)=-sin2C,cos(2A+2B)=cos2C,

tan(2A+2B)=-tan2C.

考察點(diǎn)4：求三角形的面積

例7

、「冗B2正

〃=2,C=—,cos-=------

在AABC中，a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，若425，求AABC的面積S.

【點(diǎn)撥】先利用三角公式求出sinB,sinA及邊c,再求面積。

B275-2臺?3

cos—=------cosn=2cos-----1=-,

解：由題意25,得25

sinB=—,sinA=sin(〃-B-C)=sin(--B)=1航,

???B為銳角，5410

10

c=---

由正弦定理得7'

1.11048

Sc=-acsmnB=一n一?一=一.

22757

【解題策略】在^ABC中，以下三角關(guān)系式在解答三角形問題時(shí)經(jīng)常用到，要記準(zhǔn)、記熟，并能靈活應(yīng)用,

A+5

A+3+C=;r,sin(A+8)=sinC,cos(A+5)=-cosC;sin--------=

2

CA+B.C

cos—,cos--------=sin—.

222

例8

已知AABC中a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，AABC的外接圓半徑為12,且3,求^ABC的面

積S的最大值。

【點(diǎn)撥】本題主要考察正弦定理與三角形面積公示的綜合應(yīng)用。

^1^sinC=1.2/?sinA.2/?sinB?inC

解：22

/o

=6R2AsinB=—R21COS(4-B)-cos(A+B)]

sin2

苕MCOS(A—8)+:].

22

當(dāng)cos(4—B)=l,即A=BD寸，

⑸胸)耐=￥甯=哈44=1086

【解題策略】把三角形的面積公式和正弦定理相結(jié)合，通過討論三角函數(shù)值的取值，求得面積的最大值。

考察點(diǎn)5：與正弦定理有關(guān)的綜合問題

例9

已知AABC的內(nèi)角A,B極其對邊a,b滿足0+匕=〃cotA+〃cotB,求內(nèi)角c

【點(diǎn)撥】本題主要考察解三角形中的正弦定理、和差化積公式等基礎(chǔ)知識，考察運(yùn)算能力、分析能力和轉(zhuǎn)

化能力。

解法1：

,/a+b=?cotA+Z?cotB,且〃='=2R

sinAsin3(R為AABC的外接圓半徑)，

/.sinA-cosA=cosB-sinl-sin2A=l-cos2B.

「.cos2A-cos28=0

又,/sin2A—sin28=2cos(A+B)sin(A-B).

cos(i4+B)sin(A-B)=0,

/.cos(A+8)=0或sin(A-B)=0.

..A-\-B=—或A=R,

又???A,B為三角形的內(nèi)角，2

當(dāng)A+8=1時(shí)，C=J

22

cotA=1,/.A+B=—C=—.

當(dāng)A=3時(shí)，由已知得42

C=-

綜上可知，內(nèi)角2.

解法2：

由a+b=acotA+Z?cotB及正弦定理得，

sinA+sinB=cosA+cosB,

sinA-cos4=cosB-sin

.7C.7C.兀.兀

sinAcos---cosAsin—=cosBsin---sinBcos—,

從而4444

sin(A--)=sin(--B).

即44

A---=---B,

XV0<A+B<JT,44

22

【解題策略】切化弦、邊化角是三角關(guān)系化簡的常用方法，熟練運(yùn)用三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵。

例10

cosA_Z;_4

在△ABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=10,cosBa3,求a,b及AABC的內(nèi)切圓半徑。

【點(diǎn)撥】欲求邊，應(yīng)將已知條件中的邊角統(tǒng)一，先求角再求邊。

,,cosAb—J-ZEJcosAsinB

由----二一，可得-----=----,

解：cos3acosBsinA

變形為sinAcosA=sin8cosB,/.sin2A=sin2B

7C

■:。*b,:.2A=九一2B,A+B=—,

又2

???△ABC是直角三角形。

a2+/=102

<b_4_

由二解得a=6,8=8.

勺內(nèi)切圓半徑為『空=6+8-10=2

22

【解題策略】解此類問題應(yīng)注意定理與條件的綜合應(yīng)用。

【易錯(cuò)疑難辨析】

易錯(cuò)點(diǎn)利用正弦定理解題時(shí)，出現(xiàn)漏解或增解

【易錯(cuò)點(diǎn)辨析】本節(jié)知識在理解與運(yùn)用中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：(1)已知兩邊和其中一邊的對角，利用正弦定

理求另一邊的對角時(shí)，出現(xiàn)漏解或增解；(2)在判斷三角形的形狀時(shí)，出現(xiàn)漏解的情況。

例1

(1)在AABC中，〃=2石,。=6,4=30。,求8;

(2)在AABC中，〃=2石*=2,A=60。,求8;

【錯(cuò)解】

..sinAsin30°百

sinB—bx------—6x------=———Z?—60

（1）由正弦定理得a2,32

。或匕。。

sinB==2xsm60°=j_.⑶=30

（2）由正弦定理得a2j32

?AG

sinB=———

【點(diǎn)撥】（1）漏解，由2（0。<B<180°）可得⑶=60。或120°因?yàn)閎>a,所以兩解都存在。（2）

?1

sinBR=-t、

增解。由2（0。<B<180°）可得3=30?；?50。，因?yàn)閎Va,根據(jù)三角形中大邊對大角可知BV

A,所以8=150。不符合條件，應(yīng)舍去。

【正解】

.入；sinA/sin30°5/3

sinB=bx------=6x------=-=——.

（1）由正弦定理得a2j32

又?.?0。<B<180°

.?.3=60?；?20。（經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意）

.八.sinA八sin60°1

sinB=bx------=2x-----尸=

(2)由正弦定理得a2j32

XV0°<B<180°AB=30°WC150°

???bV九根據(jù)三角形中大邊對大角可知BVA,

???5=150°不符合條件,.-.5=30°0

易錯(cuò)點(diǎn)忽略三角形本身的隱含條件致錯(cuò)

【易錯(cuò)點(diǎn)解析】解題過程中，忽略三角形本身的隱含條件，如內(nèi)角和為180。等造成的錯(cuò)誤。

例2

在△ABC中，若。=3民求］的取值范圍。

【錯(cuò)解】

由正弦定理得

c_sinC_sin3B_sin(B+2B)

bsinBsinBsinB

_sinBcos2B+cosBsin2B

sinB

=cos2B+2cos2B=4cos2B-\.

?/0<cos2B<1-1<4cos2B-1<3,/.0<—<3

￡=4COS?B—1

【點(diǎn)撥】在上述解題過程中，得到了〃后，忽略了三角形的內(nèi)角和定理及隱含的4注C均為

正角這一條件。

【正解】

由正弦定理可知

c_sinC_sin38_sin(8+28)

bsinBsinBsinB

sinBcos2B+cosBsin28

=cos2B+2cos2B=4cos2B-l.

vA+B+C=180°,C=3R

V2

A0°<B<45°,2vcos3〈I.

2

A1<4COSB-1<3,故IV〃V3.

【高考真題評析】

（2010?廣東高考）已知a,b,c分別是AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=Lb=5A+C=2B

則sinC------------

【命題立意】本題主要考察正弦定理和三角形中大邊對大角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定角C的值。

n九.,asinB1

B=—sinA=--------=一,

【點(diǎn)撥】在AABC中，A+"+C=匹又A+C=28,故3,由正弦定理知b2又a

<b,因此6從而可知2,即sinC=l。故填1.

【名師點(diǎn)評】解三角形相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)靈活掌握邊角關(guān)系，實(shí)現(xiàn)邊角互化。

例2

b=[,c=>/3,C=—,

（2013?北京高考）如圖1?9所示，在△ABC中，若3

【命題立意】本題考查利用正弦定理解決三角形問題，同時(shí)要注意利用正弦定理得到的兩解如何取舍。

【點(diǎn)撥】由正弦定理得，3

???C為鈍角，???B必為銳角，

B=—A=—.:.a=b=\.

66

故填I(lǐng)

【名師點(diǎn)評】

j_

在（°"）范圍內(nèi)，正弦值等于5的角有兩個(gè)，因?yàn)榻荂為鈍角，所以角B必為銳角，防止忽略角的范圍而

出現(xiàn)增解

A

▲c

G

圖1-9

例3

（2013?湖北高考）在4ABC中，a=15,8=10,A=60°,則cos5等于（）

A「迎B.也C「顯D曲

3333

【命題立意】本題考查正弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是確定角B的范圍。

10x迎向

1510.W.sin60°______2__^3

------=-----,二sinB=-------------

【點(diǎn)撥】由正弦定理得sin60。sin815153丁?…，A=60。，...B

...cosB=-sin28=J1-[3]=—

為銳角。V13J3,故選D

【名師點(diǎn)評】根據(jù)三角形性質(zhì)大邊對大角準(zhǔn)確判斷角B的范圍，從而確定角B的余弦值。

例4

cos

-A--C--=------B--

（2013?天津高考）在4ABC中，ABcosC

（1）求證B=C；

cosA=--sin|48+g

（2）若3,求〈3’的值.

【命題立意】本題主要考察正弦定理、兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦

與余弦等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考察基本運(yùn)算能力。

sinB_cosB

證明：（1）在AABC中，由正弦定理及已知，得sinCcosC。

于是sin8cosc-cos8sinC=0,即sin（B-C）=（）.

因?yàn)橐蝗f＜B-C＜乃,從而B-C=O,所以B=C.

八「,cos2B=-cos（^-2B）=-cosA=-

解：（2）由A+8+C=4和（i）得4=乃_28,故3

sin2B=Vl-cos22B=-----sin48=2sin28cos2B=----

又0V2BV）.于是3從而9.

71

、7?（AD-An40-7石

cos4S=cos?22B-sin22B=一一sin4B+—=sin4Bcos—=---------.

9。所以I3）318

【名師點(diǎn)評】（1）證角相等，故由正弦定理化邊為角。（2）在（1）的基礎(chǔ)上找角A與角B的函數(shù)關(guān)系，在

求2B的正弦值時(shí)要先判斷2B的取值范圍。

【第三部分】習(xí)題精煉

1.1.1正弦定理

第1課時(shí)正弦定理(1)

梟2⑥對點(diǎn)練

知識點(diǎn)一已知兩邊及一邊的對角解三角形

1.在△ABC中，。=3,b=5,sin4=^,則sin8=()

5

A-Ca

B.9

案

答B(yǎng)

35

析由

解

知---

?1夕9.故選B.

S1

2.在△ABC中，若4=120。，AB=5fBC=7,貝I」sinB=.

答案嚕

解析由正弦定理，得泰=/，即sinC=*=誓￡=罌?

由題意可知C為銳角，cosC=yl1—sin2C=y^.

：?sinfi=sin(180°-120°-Q=sin(60°-Q

=sin60°cosC—cos60°sinC=^y^.

知識點(diǎn)二已知兩角及一邊解三角形

3.一個(gè)三角形的兩內(nèi)角分別為45。與60。，如果45。角所對的邊的長是6,那么60。角所對

的邊的長是()

A.3#B.3/C.3小D.2^6

答案A

解析設(shè)60c角所對的邊的長為刖由就尹=肅嬴，

近

6sin600°2r-

x-sin45°=蛆-3\6,故選A.

2

4.在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,。的對邊，若A=105。，8=45。，b=2p,則

邊c=.

答案2

解析由4+8+C=180。，知。=30。，

L1

1cb_gsinC_2_

由量=市豆'^C=~^B=^2

2

知識點(diǎn)三判斷三角形解的個(gè)數(shù)

5.aABC中，8=30,c=15,C=26。，則此三角形解的情況是（）

A.一解B.兩解C.無解D.無法確定

答案B

解析??》=30,c=15,C=26°,.*.c=Z?sin30o>Z?sinC,又c<b,如圖，

???此三角形有兩解.

6.在△A5C中，〃=80,6=100,4=45°,則此三角形解的情況是（）

A.一解B.兩解

C.一解或兩解D.無解

答案B

解析?"sinAv〃<b,???此三角形有兩解，故選B.

7.已知在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為小b,c,A=60。，b=4小,若此三

角形有且只有一個(gè)，則。的取值范圍是（）

A.0<a<4y[3B.a=6

C.4或4=6D.0Va&4#

答案C

解析當(dāng)〃=bsinA=4、/5x坐=6時(shí)，

△ABC為直角三角形，有且只有一解；

當(dāng)小時(shí)，此三角形只有一解，

此時(shí)8WA=60。.綜上，或。=6時(shí)，此三角形有且只有一解.故選C.

易錯(cuò)點(diǎn)一忽視三角形中的邊角關(guān)系

8.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=15,。=10,A=60°,則cusB

=()

X也B處c―亞D小

易錯(cuò)分析本題在求出sin8=坐后，對cos8的符號判斷不清，誤選A或C.

答案D

解析根據(jù)正弦定理癮=心，得sin8="￥=W，又a>b,所以角8為銳角，所以

sin/isiriDciD

cos8=坐.故選D.

9.在△ABC中，已知〃=25，b=2,A=60。，貝ij8=.

易錯(cuò)分析(1)由sin8=E，得8=30。或150。，而忽視b=2<a=2事,從而易出錯(cuò).

(2)在求出角的正弦值后，要根據(jù)“大邊對大角”和“內(nèi)角和定理”討論角的取舍.

答案300

解析由正弦定理，得sin8=Z?X巖A=2X果詈=；.

,.,0°<B<180o,1.3=30?；?=150°.

,：b<a,根據(jù)三角形中大邊對大角可知3<4,，8=150。不符合條件，應(yīng)舍去，,5=30。.

易錯(cuò)點(diǎn)二解三角形時(shí)忽略對角的討論

10.已知在△ABC中，a=y[3,力=啦，8=45。，求角A,C和邊c

易錯(cuò)分析本題易出現(xiàn)求出角4的正弦值后默認(rèn)A為銳角，從而漏解A=120。的情況.

解由正弦定理——=七，得羽="為

sinAsinBqsinAsin45°

A

：.sinA=^f.\A=60?；駻=120。.

當(dāng)A=60。時(shí)，C=180°-45°-60°=75°.

A/2+,^6bsinC4^+，^

Vsin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos450+cos30°sin45°—*,?c=~2~,

當(dāng)4=120。時(shí)，。=180。-45。-120。=15。.

sin15°=sin(45°—30°)=sin450cos30°—cos45°sin30°="，彳蟲,/.c=粵等

/.A=60°,C=75°,c=Y2或A=120。,C=15°,

c-2?

野舟綜合練

一、選擇題

1.在鈍角三角形A8C中，AB=?AC=1,8=30。，則角A的大小為()

A.120°B.45°C.30°D.15°

答案C

解析由于6n將AB=y[^,AC=1,8=30。代入，求得s\nC=^~.又由AABC

是鈍角三角形，知C=120。，所以A=30。.故選C.

2.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若4=30。，a=小,則△ABC的

外接圓的半徑為()

A.1B.2c.小D.2小

答案c

A

解析由正弦定理，得2氏=§1砧=:=2、/5,則A="\/5.故選C.

2

3.在△ABC中，一定成立的等式是（）

A.asinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.?sinB=Z?sinAD.acosB=bcosA

答案C

解析由正弦定理急=導(dǎo)=點(diǎn)，得。sin“MM

4.在△ABC中，已知b=40,c=20,C=60。，則此三角形的解的情況是（）

A.有一解

B.有兩解

C.無解

D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定

答案C

,?.c40X里

解析由正弦定理'=磊，得sinB="F=F—=小>1???.B不存在.即滿足條

件的三角形不存在.

5.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為mb,c.若C=120。，c=W，貝U（）

A.a>b

B.a<b

C.ci=b

D.。與b的大小關(guān)系不能確定

答案C

解析由正弦定理可得急=總=整2G

2

所以sinA==又顯然A為銳角，可得4=30。.

所以8=180。-A-C=30。，所以〃=江故選C.

二、填空題

6.在△ABC中，已知a：。：c=4：3：5,則

答案1

?-r、,e2sirL4—sinB2X4A—3欠

解析設(shè)。左，b=3k,c=5k(k>0)i由正弦定理，付ZC3?=豆=

=4olnLxJIC1.

7.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=75。，8=45。，c=3也,

則邊。的值為.

答案2V5

..R36X乎

解析因?yàn)锳=75。，8=45。，所以。=60。，由正弦定理可得b=—2^3.

2

8.銳角三角形的內(nèi)角分別是4,B,C,并且A>8.下面三個(gè)不等式成立的是.

①sinA〉sin&

②cosA〈cos&

③sinA+sinB>cosA+cosB.

答案①②③

解析且函數(shù)y=sinr在(0,習(xí)上是增函數(shù)，，sinA>sin8,故①成立.

函數(shù)y=cosx在區(qū)間［0,兀］上是減函數(shù)，

：A>B,.\cosA<cosB,故②成立.

JT7T

在銳角三角形中，.*.A>Z—B,

則有sinA>sin修——8),BPsinA>cosB,

同理sinB>cosA,故③成立.

三、解答題

9.在3c中，已知。=10,4=45。，C=30°,解這個(gè)三角形.

解VA=45°,C=30°,???8=180。一(A+O=1050.

ac,日csinA10Xsin450r-

由而=菽'付『Tibsin30。=1岫?

,bccsinB1OXsin105°

得b=

由病=而乙sinCsin30°=20sin75°.

V2+V6*J2+A/61-

'.,sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos450+cos30°sin45°=4.二。=20X'J=5^/2

+5班.

10.在△ABC中，。=3,b=2#,ZB=2ZA.

⑴求cosA的值；

(2)求c的值.

解(1)因?yàn)閍=3,b=2雜,NB=2NA,

所以在^BC中，由正弦定理，得熹=慧，

”、、j2sinAcosA2灰,,,A/6

所以siM=3'故cosA=3?

(2)由(1),知cosA=乎，

________A

所以sinA=y]I-cos2A=號.

又因?yàn)镹8=2NA,所以COS8=2COS2A—1=上.

所以sinB=yl1—cos2B=^^,

在△ABC中，sinC=sin(A+B)

_.AD1A.,n5v5

SIFLACOSOi-cos/Asinfi9?

“sinC

所以c=

sinA

第2課時(shí)正弦定理(2)

,2?對點(diǎn)練

知識點(diǎn)一正弦定理的變形及應(yīng)用

1.在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.若acosA=bsinB,則sinAcosA+

COS2B=()

A.—B.C.-1D.1

答案D

解析VacosA=bs\nBf

sinAcosA=sin2B=1—cos2B,

sinAcosA+cos2B=1.

3

2.在△48。中，sinA=w，a=10,則邊長c的取值范圍是()

A.-y,4-00B.(10,H-°°)

C.(0,10)D.0,y

答案D

解析7sinC=sinX=T,Ac=ysinC-VCe(0,n),?.0<c^y.

3.在單位圓上有三點(diǎn)4,B,C,設(shè)△ABC的三邊長分別為小人c,則熹+大3+含

sin/izsirijD51nlz

答案7

解析..?△ABC的外接圓的直徑為2R=2,

?q=-=’-=2R=2,

"s\nAsinBsinC''

.??7^7+R+~^=2+1+4=7.

sinA/zsincsinC

知識點(diǎn)二判斷三角形的形狀

4.在△ABC中，若。=2Z?cosC,則這個(gè)三角形一定是(