第11講平方根與立方根（5種題型）（原卷版）

第11講平方根與立方根（5種題型）1．了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根．2．了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根．3.了解立方根的含義；4.會(huì)表示、計(jì)算一個(gè)數(shù)的立方根，會(huì)用計(jì)算器求立方根.一．平方根（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．（2）求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方．一個(gè)正數(shù)a的正的平方根表示為“a”，負(fù)的平方根表示為“-a”正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作a．零的算術(shù)平方根仍舊是零．平方根和立方根的性質(zhì)1．平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．2．立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0．二．算術(shù)平方根（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為a．（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根a本身是非負(fù)數(shù)．（3）求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，可以借助乘方運(yùn)算來(lái)尋找．三．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（1）非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有非負(fù)性．（2）利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值的問(wèn)題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，開方的結(jié)果也是非負(fù)數(shù)列出不等式求解．非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值問(wèn)題．四．立方根（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說(shuō)，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．（3）求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．注意：符號(hào)a3中的根指數(shù)“3”不能省略；對(duì)于立方根，被開方數(shù)沒(méi)有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一個(gè)立方根．【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)1．平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．2．立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0．五．計(jì)算器—數(shù)的開方正數(shù)a的算術(shù)平方根a與被開方數(shù)a的變化規(guī)律是：當(dāng)被開方數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)每向左或向右平移2位時(shí)，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)也相應(yīng)向左或向右平移1位，即a每擴(kuò)大（或縮小）100倍，a相應(yīng)擴(kuò)大（或縮?。?0倍．一．平方根（共6小題）1．（2022秋?泗陽(yáng)縣期末）16的平方根是（）A．4 B．±4 C．2 D．±22．（2023?沛縣三模）64的平方根是．3．（2022秋?高郵市期末）若﹣m是a的平方根，則（）A．m＝a2 B．m2＝a C．m＝﹣a2 D．﹣m2＝a4．（2022秋?常州期末）已知2（x﹣1）2＝18，求x的值．5．（2022秋?蘇州期末）求方程中x的值：（x﹣2）2＝3．6．（2021秋?常熟市校級(jí)月考）求下列各式中x的取值：（1）2x2﹣8＝0．（2）4（2x﹣1）2＝9．二．算術(shù)平方根（共10小題）7．（2022秋?南京期末）4的平方根是（）A． B．± C．2 D．±28．（2018秋?秦淮區(qū)期末）3的算術(shù)平方根是（）A．± B． C．﹣ D．99．（2022秋?玄武區(qū)期末）13的平方根是；9的算術(shù)平方根是．10．（2022秋?太倉(cāng)市期末）面積為2cm2的正方形的邊長(zhǎng)為cm．11．（2022秋?秦淮區(qū)月考）實(shí)數(shù)4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C． D．±212．（2023?淮陰區(qū)模擬）計(jì)算：＝．13．（2022秋?吳江區(qū)校級(jí)月考）已知2a﹣1的算術(shù)平方根為3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根為4，求a+2的平方根．14．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)期中）已知±是2a﹣1的平方根，3是3a+2b﹣3的算術(shù)平方根，求a+2b的平方根．15．（2022秋?建湖縣期中）小明的爸爸打算用如圖一塊面積為900cm2的正方形木板，沿著邊的方向裁出一個(gè)長(zhǎng)方形面積為768cm2的桌面．（1）求正方形工料的邊長(zhǎng)；（2）若要求裁出的桌面的長(zhǎng)寬之比為4：3，你認(rèn)為小明的爸爸能做到嗎？如果能，計(jì)算出桌面的長(zhǎng)和寬；如果不能，說(shuō)明理由．16．（2022秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）我們知道，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，但對(duì)于三個(gè)互不相等的負(fù)整數(shù)，若兩兩乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個(gè)數(shù)為“完美組合數(shù)”．例如：﹣9，﹣4，﹣1這三個(gè)數(shù)，，，，其結(jié)果6，3，2都是整數(shù)，所以﹣1，﹣4，﹣9這三個(gè)數(shù)稱為“完美組合數(shù)”．（1）﹣18，﹣8，﹣2這三個(gè)數(shù)是“完美組合數(shù)”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若三個(gè)數(shù)﹣3，m，﹣12是“完美組合數(shù)”，其中有兩個(gè)數(shù)乘積的算術(shù)平方根為12，求m的值．三．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（共12小題）17．（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知a，b滿足（a﹣1）2+＝0，則a+b的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．018．（2021秋?儀征市期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足（x﹣3）2++|z﹣5|＝0，則以x，y，z的值為邊長(zhǎng)的三角形的周長(zhǎng)是（）A．6 B．12 C．14 D．以上答案均不對(duì)19．（2022秋?高郵市期末）若與（ab+6）2互為相反數(shù)，則a﹣b的值為．20．（2022秋?大豐區(qū)期末）若+（1﹣y）2＝0，則xy的平方根＝．21．（2022秋?江都區(qū)期末）已知a，b都是實(shí)數(shù)，若，則a﹣b＝．22．（2022秋?江都區(qū)月考）如果，那么x+2y的算術(shù)平方根為．23．（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則代數(shù)式（x+y）2022的值為．24．（2022秋?鹽都區(qū)期中）已知x，y滿足，則x+y＝．25．（2022秋?蘇州期中）已知，則xy＝．26．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）若m，n滿足等式（m﹣2）2+＝0．（1）求m，n的值；（2）求4m﹣3n的平方根．27．（2021秋?無(wú)錫期末）已知與（x﹣y+3）2互為相反數(shù)，求（x2+y）的平方根．28．（2022春?綏棱縣校級(jí)期中）已知a、b滿足+|b﹣|＝0，解關(guān)于x的方程（a+2）x+b2＝a﹣1．四．立方根（共5小題）29．（2022秋?蘇州期末）若a3＝1，則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．030．（2022?射陽(yáng)縣校級(jí)二模）﹣8的立方根是（）A．﹣2 B． C． D．231．（2023?淮陰區(qū)三模）8的立方根是．32．（2022秋?無(wú)錫期末）已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別為a和2a﹣6．（1）求a的值，并求這個(gè)正數(shù)；（2）求10a+7的立方根．33．（2022秋?宿豫區(qū)期末）求下列各式中的x：（1）4x2＝25；（2）（x+1）3＝﹣8．五．計(jì)算器—數(shù)的開方（共4小題）34．（2022?惠陽(yáng)區(qū)校級(jí)開學(xué)）（1）用計(jì)算器計(jì)算：＝＝＝＝（2）觀察題（1）中各式的計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（3）試運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想：＝，并通過(guò)計(jì)算器驗(yàn)證你的猜想．35．（2016秋?灌云縣月考）按要求填空：（1）填表：a0.00040.044400（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)規(guī)律填空：已知：＝2.638，則＝，＝；已知：＝0.06164，＝61.64，則x＝．36．（2019春?濟(jì)寧期中）用計(jì)算器探索．已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：1，，，…，，，如果從中選擇出若干個(gè)數(shù)，使它們的和大于3，那么至少要選幾個(gè)數(shù)？37．（2017秋?靖江市校級(jí)期中）求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根，有些數(shù)可以直接求得，如，有些數(shù)則不能直接求得，如，但可以通過(guò)計(jì)算器求得．還有一種方法可以通過(guò)一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用規(guī)律求得，請(qǐng)同學(xué)們觀察表：n160.160.00161600160000…40.40.0440400…（1）表中所給的信息中，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（請(qǐng)將規(guī)律用文字表達(dá)出來(lái)）（2）運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問(wèn)題：已知≈1.435，求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：①0.0206；②2060000．一、單選題1．（2022秋·江蘇淮安·八年級(jí)?？计谀┑钠椒礁鶠椋?/p>

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若是a的平方根，則（）A． B． C． D．3．（2020春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)揚(yáng)州教育學(xué)院附中?？计谥校┗?jiǎn)的結(jié)果是()A． B． C．3 D．94．（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）36的算術(shù)平方根是（）A．6 B． C．18 D．5．（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)正方形的面積為29，則它的邊長(zhǎng)應(yīng)在（

）A．3到4之間 B．4到5之間 C．5到6之間 D．6到7之間6．（2023秋·江蘇鹽城·八年級(jí)?？计谀┮阎娜卆，b，c滿足，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．不能判斷二、填空題7．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期末）在做浮力實(shí)驗(yàn)時(shí)，小華用一根細(xì)線將一圓柱體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的溢水杯中，并用量筒量得從溢水杯中溢出的水的體積為60立方厘米，小華又將鐵塊從溢水杯中拿出來(lái)，量得溢水杯的水位下降了0.8厘米，則溢水杯內(nèi)部的底面半徑為______厘米（取3）．8．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根為和，則這個(gè)數(shù)為______．9．（2020秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）________10．（2023秋·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算______．11．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)正數(shù)x的平方根為和，那么這個(gè)正數(shù)x的值是______．12．（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則xy的平方根______．13．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若，均為實(shí)數(shù)，且，則=________.14．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知a、b、c滿足，則的平方根為____________．三、解答題15．（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算下列各題，(1)已知的平方根為，的算術(shù)平方根為4，求的立方根；(2)已知，，求．16．（2021秋·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）求式中x的值：(1)；(2)．17．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知m是144的平方根，n是125的立方根．(1)求m、n的值；(2)求的平方根．18．（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）小明的爸爸打算用如圖一塊面積為的正方形木板，沿著邊的方向裁出一個(gè)長(zhǎng)方形面積為的桌面．(1)求正方形工料的邊長(zhǎng)；(2)若要求裁出的桌面的長(zhǎng)寬之比為，你認(rèn)為小明的爸爸能做到嗎？如果能，計(jì)算出桌面的長(zhǎng)和寬；如果不能，說(shuō)明理由．19．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期中）我們知道，平方數(shù)的開平方運(yùn)算可以直接求得，如等，有些數(shù)則不能直接求得，如，但可以通過(guò)計(jì)算器求得．還有一種方法可以通過(guò)一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用規(guī)律求得，請(qǐng)你觀察下表：a…0.04440040000……x2yz…(1)表格中的三個(gè)值分別為：x＝；y＝；z＝；(2)用公式表示這一規(guī)律：當(dāng)a＝4×100n（n為整數(shù)）時(shí)，＝；(3)利用這一規(guī)律，解決下面的問(wèn)題：已知，則①≈；②≈．20．（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┮阎猘，b，c都是實(shí)數(shù)，且滿足，且，求代數(shù)式的值．一、單選題1．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)數(shù)的立方為，則這個(gè)數(shù)是（）A． B．3 C． D．2．（2023秋·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州中學(xué)校考期末）若，則的值為（）A． B．1 C． D．03．（2023春·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）面積為2的正方形的邊長(zhǎng)在（

）A．0和之間 B．和1之間 C．1和之間 D．和2之間4．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列實(shí)數(shù)，，，，，中無(wú)理數(shù)的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)5．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，則的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中計(jì)算正確的是：（

）A． B． C． D．7．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）16的算術(shù)平方根是（

）A．±8 B．±4 C．4 D．－48．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知x，y為實(shí)數(shù)，且滿足，則的值為（

）A．4 B．6 C．9 D．169．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）若a、b、c為三角形的三條邊，則+|bac|=(

).A．2b2c B．2a C．2 D．2a2c10．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在一個(gè)正方形的內(nèi)部按照如圖方式放置大小不同的兩個(gè)小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為2﹣6，則較小的正方形面積為（）A．11 B．10 C．9 D．8二、填空題11．（2023秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：______．12．（2023秋·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期末）實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根是_______________．13．（2023秋·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：＝_______14．（2023秋·江蘇泰州·八年級(jí)校考期中）已知實(shí)數(shù)、滿足，則的值為______________．15．（2023春·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）如圖，矩形中，兩個(gè)小正方形的面積分別為、，若，，則圖中陰影部分面積為__________．16．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則的值為_____17．（2023秋·江蘇徐州·八年級(jí)?？计谀┤艉褪且粋€(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根，則________．18．（2023春·江蘇·八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，將五個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的十字形紙板剪開，重新拼成一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)為______．19．（2023秋·江蘇蘇州·八年級(jí)期中）若，都為實(shí)數(shù)，且，則______．20．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列各式：＝＝＝2，即＝2＝＝＝3，即＝3，那么＝_____．三、解答題21．（2023秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）求下列各式中的x．(1)(2)(3)22．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．23．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）高空拋物嚴(yán)重威脅著人們的“頭頂安全”，即